一次函数专题[下学期]

一次函数专题
　　本节的常见类型有：
　　1.根据图象与性质解题.
　　2.用待定系数法求一次函数的解析式.
　　3.图象阅读型的实际应用问题.
　　4.结合平面直角坐标系、几何知识等求几何图形的面积.
　　现举例解析.
　　1.根据图象与性质解题
例1　下列图象中，不可能成为一次函数y＝mx－（m－3）的图象的是　（　　）
（A）　　　（B）　　　（C）　　　　（D）
　　分析：
　　本题要根据图象的倾斜方向和直线与y轴交点的位置来判定.
　　解：
　　由（A）可得故0＜m＜3.
　　由（B）可得故m＝3.
　　由（C）可得故不等式组无解，（C）不可能.
　　从而选（C）.
　　点评：
　　（1）在一次函数解析式y＝kx＋b中，k的大小决定着直线的倾斜方向，b的大小决定着直线与y轴交点的位置，所以可通过观察图象来判定k，b的范围.
　　（2）上面解法由每个图象及性质列出不等式组，再依据不等式组的解集情况来判定，是把形转化成了数，体现了转化、数形结合思想，这是解这类题的基本思想.
　　（3）与本题类似的其他变式题有：
　　①已知直线y＝kx＋b（k≠0）与x轴的交点在x轴的正半轴，且有下列结论：
　　ⅰ）k＞0，b＞0；ⅱ）k＞0，b＜0；ⅲ）k＜0，b＞0；ⅳ）k＜0，b＜0.
　　其中正确结论的个数是　（　　）
　　（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
　　②已知一次函数y＝kx－k，且y随x的增大而增大，则它的图象经过第（　）象限.
　　（A）一、二、三 （B）一、三、四
　　（C）一、二、四 （D）二、三、四
　　2.用待定系数法求一次函数的解析式
　　在y＝kx＋b（k≠0）中，有两个待定的系数k、b，故只要已知图象上两点坐标，即可运用方程组知识求出函数解析式.
例2　y＋b与x＋a（其中a，b是常数）成正比例，求证：（1）y是x的一次函数；（2）如果此函数图象过点（3，5），（2，2）求其解析式.
　　分析：
　　（1）依题意列出解析式y＋b＝k（x＋a），再适当变形后，即可运用定义判断出y为x的一次函数；（2）把x＝3，y＝5；x＝2，y＝2分别代入（1）中求得的解析式，求出k及ka－b的值，即可求解析式.
　　解：
　　依题意，设y＋b＝k（x＋a）（k≠0），
　　∴　y＝kx＋ka－b.
　　∵　k，a，b是常量，
　　∴　ka－b是常量，k≠0.
　　∴　y＝kx＋ka－b是一次函数.
　　（2）此函数图象过点（3，5），（2，2），
　　∴　
　　∴　
　　∴　所求函数的解析式为y＝3x－4.
　　点评：
　　（1）理解一次函数的定义y＝kx＋b（k≠0）时，不能简单地认为k，b主要是代表常量的单个字母，如本例中ka－b是个多项式，但它仍代表一个常量，仍符合定义.
　　（2）本题解法中渗透了数学的基本思想——整体思想.如（1）中整体把y＋b与x＋a分别看作变量，列出解析式；（2）整体求解ka－b的值，否则若想求出a、b的值再确定解析式会使解题陷入困境.
　　（3）与本题类似的其他变式题有：
　　已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7.
　　①写出y与x之间的函数关系式；
　　②画出这个函数的图象，并标出图象与x轴与y轴的交点坐标.
　　3.图象阅读型的实际应用问题
　　例3　长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量行李，如果超过规定，则需要购行李票，行李票y（元）是行李重量x（kg）的一次函数，其图象如图所示.求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的kg数.
　　分析：
　　观察图象可知，函数图象过（60，6），（80，10）两点，应用待定系数法可求得解析式，再计算图象与x轴交点坐标，即求y＝0时x的值，这个值就是免费携带行李的公斤数.
　　解：
　　（1）设解析式为y＝kx＋b，因图象过（60，6），（80，10）两点，则有
　　
　　解得
　　∴　y＝x－6.
　　（2）令y＝0，则x＝30，
　　∴　免费携带行李的重量为30 kg.
　　点评：
　　（1）解图象阅读题的关键是要挖掘图象中隐含的条件，如本例中图象过（60，6），
（80，10）两点等.
　　（2）对实际问题的图象阅读，要找准联系图象与实际意义的纽带，如本例中图象与x轴交点的横坐标的意义即免费携带物品的重量等.
　　（3）与本题类似的其他变式题有：
　　据调查，苹果园地铁自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元.若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是　（　　）
　　（A）y＝0.10x＋800（0≤x≤4000）
　　（B）y＝0.10x＋1200（0≤x≤4000）
　　（C）y＝－0.10x＋800（0≤x≤4000）
　　（D）y＝－0.10x＋1200（0≤x≤4000）
　　4.结合平面直角坐标系、几何知识求面积
例4　如图，正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴的正半轴上，A点的坐标是（1，0）.
　　（1）经过C点的直线y＝x－与x轴交于点E，求四边形ABCD的面积.
　　（2）若直线l经过点E且将正方形分成面积相等的两部分，求直线l的解析式.
　　分析：
　　由图可知，求直角梯形AECD的面积，关键在于确定E点坐标，即求直线y＝x－与x轴的交点坐标，解（2）时先要找到其中的隐含性质“过正方形对称中点的任一直线可将正方形分成面积相等的两部分”，这样就不难求了.
　　解：
　　（1）由x－＝0，得E的坐标为（2，0）.
　　∵　四边形AECD是直角梯形、
　　∴　S四边形AECD＝（AE＋CD）·AD＝×5×4＝10.
　　（2）∵　过正方形对称中心的直线，总是将正方形分成面积相等的两部分，
　　∴　连结AC、BD交于G点，依题意求得G点的坐标为（3，2）.
　　∴　经过G、E两点直线即为直线l.
　　设l的解析式为y＝kx＋b，
　　∴　
　　∴　
　　∴　直线l的解析式为y＝2x－4.
　　点评：
　　（1）求平面直角坐标系内几何图形的面积时，要注意线段长度与相应点的坐标的关系.如果点的坐标为正数，则相应线段长等于坐标大小；如果点的坐标为负数，则相应线段长等于坐标的相反数.
　　（2）本题中“过正方形对角线交点的直线把正方形分成面积相等的两部分”是个重要的隐含条件，挖掘这个隐含条件是解题的前提.
　　（3）与本题类似的其他变式题有：
　　已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（－3，－2），及点B（1，6）.
　　（1）求此一次函数的解析式，并画出它的图象.
　　（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.