第五章 导数及其应用
5.3.2极大值与极小值(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下列五个函数，①；②；③；④；⑤．在处取得极值的函数的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
2．若是函数的极值点，则的值为（ ）
A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2
3．函数在处取得极值，则（ ）
A．，且为极大值点 B．，且为极小值点
C．，且为极大值点 D．，且为极小值点
4．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
5．已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（ ）
A．无极小值 B．有极小值 C．无极大值 D．有极大值
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的极小值； B. 函数有且只有1个零点
C. 在上单调递减； D. 设，则.
8．关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．在单调递增 B．有极小值为0，无极大值
C．的值域为 D．的图象关于直线对称
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________.
10．已知函数在处取得极小值，则的极大值为___________
11．已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知的一个极值点为2．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值．
13．已知函数有两个极值点，则求实数a的取值范围.
14．设函数.
（1）求函数的极大值点；
（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.第五章 导数及其应用
5.3.2极大值与极小值(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下列五个函数，①；②；③；④；⑤．在处取得极值的函数的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】①在为单调递增，不存在极值点；
②，在单调递减，在单调递增，处函数取得极小值；
③，在单调递减，在单调递增，处函数取得极小值；
④在为单调递增，不存在极值点；
⑤在单调递增，在单调递减，处函数取得极小值；故选：C．
2．若是函数的极值点，则的值为（ ）
A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2
【答案】B
【解析】，由题意可知，或
当时，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；
当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选:B.
3．函数在处取得极值，则（ ）
A．，且为极大值点 B．，且为极小值点
C．，且为极大值点 D．，且为极小值点
【答案】B
【解析】∵，
∴，
又在处取得极值，
∴，得，
∴，
由得，，即，
∴，即，
同理，由得，，
∴在处附近的左侧为负，右侧为正，
∴函数在处取得极小值，故选：B．
4．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
【答案】A
【解析】函数的图象如图所示，
∴时，；时，；时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.
∴有极大值, 故选：A.
5．已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵函数既存在极大值，又存在极小值，
∴导函数有两个不相等的变号零点，
∴，即，解得或．
∴实数的取值范围是， 故选:B．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（ ）
A．无极小值 B．有极小值 C．无极大值 D．有极大值
【答案】AD
【解析】根据材料知：，
所以，
令得，当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以有极大值且为，无极小值,故选：AD.
7．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的极小值；
B. 函数有且只有1个零点
C. 在上单调递减；
D. 设，则.
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为，可知C错误，
对A，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，故A正确；
对B，，其定义域为，
，
所以函数在上单调递减，又时其函数值为，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对D，，其定义域为，
，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
所以，故D正确. 故选：ABD
8．关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．在单调递增 B．有极小值为0，无极大值
C．的值域为 D．的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
即函数在上单调递减，在单调递增，故选项不正确；
当时，函数有极小值，无极大值，故选项正确；
因为函数在上单调递减，在单调递增，则
函数有最小值，即的值域为，故选项不正确；
因为，
所以的图象不关于直线对称，故选项不正确；故选：ACD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________.
【答案】－
【解析】由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即
解得或经检验满足题意，故＝－.
故答案为：－
10．已知函数在处取得极小值，则的极大值为___________
【答案】
【解析】由题意得，，
，解得，
， ，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为. 故答案为：
11．已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
【答案】 (1). (2).
【解析】，
因为函数有两个不同的极值点,
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有：，解得.
,
设,
，故在上单调递增，
故，所以.
因此的取值范围是
故答案为：；
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知的一个极值点为2．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间，上单调递增；（2）最小值为，最大值为13．
【解析】（1）因为，所以，
因为的一个极值点为2，
所以，解得，
此时，，
令，得或，
令，得；令，得或，
故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增．
（2）由（1）知，在上为增函数，在上为减函数，
所以是函数的极大值点，又，，，
所以函数在区间上的最小值为，最大值为．
13．已知函数有两个极值点，则求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】，．
在时有两个根，
令，
令，
当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，且，
当时，，当时，，
与要有两个交点，
故答案为：.
14．设函数.
（1）求函数的极大值点；
（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，函数的极大值点为.
（2），可化为，
即在区间上有两个不同的实数根，
令，，
则在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，
所以，又，，
故原方程有两个不同实数解时的的取值范围为.
