北师大版八年级上册数学 第一单元勾股定理 同步练习（PDF含解析）

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知识清单：
勾股定理
一、勾股定理
1.勾股定理
(1)性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平左：
如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.
(2)证明：
①赵爽弦图证明法
证法如下：c2=4×5ab+(b-a2,
b
化简得：a2+b2=c2
a
②毕达哥拉斯证明方法
O
D
如图，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°，得到长方形ABCD.
其中：AB=a,AD=b,BD=C.
证法如下：
a+b-b+5b+
2
化简得：a2+b2=c2
③总统证明法
证法如下：
C
化简得：a2+b2=c2
b
1
二、勾股定理的应用
1.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，
其主要应用是：
(1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边，
在△4BC中，∠C=90°，则c=Va2+b2,b=Ve2-a2,a=Vc2-b2;
(2)已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；
(3)可运用勾股定理解决一些实际问题（勾股树），
2.勾股数
(1)能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，
a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数；
(2)记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等；
(3)用含字母的代数式表示n组勾股数：
n2-1,2n,n2+1（n≥2，n为正整数)；
2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n为正整数)；
m2-n2,2mn,m2+n2（m>n,m,n为正整数).
3.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么该三角形为直角三角
形.
4.命题与逆命题：
如果两个命题，题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命
题.如果其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题
三、直角三角形
2
1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2.直角三角形的性质
(1)性质定理1：直角三角形的两个锐角互金.
(2)性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例：在直角△MBC中，点M是斜边AB的中点，则CM=BM=AM=
(3)性质定理3：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，
即如果a、b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则a2+b2=c2.
(4)性质定理4：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角
边等于斜边的一半.例：在直角△DEF中，若
∠D=90,∠E=30°，则=7，DF:EF:DE=1:2:V5
D
3.直角三角形的判定
(1)判定定理1：有两个角互余的三角形是直角三角形；
(2)判定定理2：勾股定理的逆定理：
即：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角
形
4.等腰直角三角形
(1)定义：有两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形，
(2)性质：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有等腰三角形和直角三角
形的性质.
即：两个锐角都是45°，斜边上中线、顶角角平分线、斜边上的高三线合一，高
又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形.
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