1.4.2充要条件 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
1．4.2　充要条件
明确目标 发展素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义． 2．理解数学定义与充要条件的关系. 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件．
p q
q p
p q
充要
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p
与q互为 条件．
[微思考]　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法正确吗？
提示：正确．若p是q的充要条件，则p q.
即p等价于q.故此说法正确．
充要
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． ( )
(2)若p q和q p有一个成立，则p有可能是q的充要条件． ( )
答案：(1)√　(2)×
2．已知p：x＝1或x＝－1，q：x2－1＝0.则p是q的 (　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵x2－1＝0时，x＝1或x＝－1.
∴“x＝1或x＝－1” “x2－1＝0”，即p是q的充要条件，故选C.
答案： C　
3．设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A B”，则p是q的________条件，q是p的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
解析：∵A∩B＝A A B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件．
答案：充要　充要
题型一　充要条件的判断　
【学透用活】
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系 结论
p q，但q p p是q的充分不必要条件
q p，但p q p是q的必要不充分条件
p q且q p，即p q p与q互为充要条件
p q ，且q p p是q的既不充分也不必要条件
[解析]　在A、D中，p q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p，
∴p不是q的充要条件，故选A、D.
[答案]　AD
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
【对点练清】
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的 (　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3 A＝{－1,3,2} B A A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B B A {2,3} {2，－1，p} p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C　
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
解：(1)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，
∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．
(3)∵A∩B＝A A B UB UA，∴p是q的充要条件．
题型二　利用充分、必要条件求参数　
【学透用活】
从集合角度看充分、必要条件
如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．
记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 A B B A A＝B
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
续表
[典例2]　已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？
(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
[方法技巧]
由条件关系求参数的值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．　　
【对点练清】
1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？
解：若q是p的充分不必要条件，即q p，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)．
所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件．
2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？
解：若q是p的必要不充分条件，即p q，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)．
所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件．
题型三　充要条件的证明与探究　
【学透用活】
[典例3]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[方法技巧]
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.　　
【对点练清】
1．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有根的和为2的充要条件是________．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
(1)证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
(2)证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0.
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求上述两个方程的根都是整数的充要条件．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．
探究：若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在．