(共36张PPT)
1．3 集合的基本运算
第一课时 并集与交集
明确目标 发展素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义． 2.会求两个简单集合的并集和 交集． 3.能使用Venn图表达集合的并集与交集，体会图示对理解抽象概念的作用. 1.通过集合的交、并集运算，提高数学运算素养．
2.借助集合交、并集运算的符号语言及图形语言，培养数学抽象和直观想象素养．
3.通过运算结果逆向求参数，培养逻辑推理素养.
知识点一 并集
(一)教材梳理填空
文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 (读作“ ”)
符号语言 A∪B＝________________
图形语言
或
A∪B
A并B
{x|x∈A，或x∈B}
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素． ( )
(2)若A∪B＝A，B≠ ，则B中的每个元素都属于集合A. ( )
(3)并集定义中的“或”能改为“和”． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．填表：
答案： A B A A A∪B B B
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于 ( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
答案：B
∪ A B
A
B B∪A
知识点二 交集
(一)教材梳理填空
文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 (读作“ ______ ”)
符号语言 A∩B＝ ________________
图形语言
且
A∩B
A交B
{x|x∈A，且x∈B}
[微思考] 如何区别交集与并集？
提示：A与B的交集是由A与B两个集合中的所有公共元素组成的，即集合A∩B中的所有元素在A中与B中都必须同时拥有．
而A与B的并集是由A与B两个集合中的所有元素(重复元素只出现一次)组成的，即集合A∪B中的元素可能A与B两个集合都有，也可能A有B没有，或者A没有B有．
一般地，集合A∩B比A与B两个集合的范围都小或元素都少；集合A∪B比A与B两个集合的范围都大或元素都多．当且仅当A＝B时，A∩B＝A∪B＝A＝B.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若A∩B＝C∩B，则A＝C. ( )
(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合． ( )
(3)集合A∩B中的元素个数一定比任何一个集合的元素个数都少． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．填表：
答案： A B∩A B
∩ A B
A A∩B
B
3．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B等于 ( )
A．{1,3} B．{3,5}
C．{5,7} D．{1,7}
答案：B
题型一 并集的运算
【学透用活】
(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．如A＝{0,1}，B＝{2}，则A∪B＝{0,1,2}．
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x B”；“x∈B，但x A”；“x∈A，且x∈B”．可用下图形象表示．
[典例1] (1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∪B等于
( )
A．{1,3} B．{2,4}
C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}
(2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q等于 ( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜0} D．{x|1＜x＜2}
[解析] (1)依题意，得B＝{1,3,5,7}，因此A∪B＝{1,2,3,4,5,7}．
(2)因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，画出数轴如图，
所以A∪B＝{x|－1＜x＜2}．故选A.
[答案] (1)D (2)A
[方法技巧]
求两个集合的并集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．
【对点练清】
1．(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1解析：因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2答案：C
2．(多选)已知满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是 ( )
A．{5} B．{1,5}
C．{3} D．{1,3}
解析：由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，A {1,3,5}，且A中至少有1个元素5，故选A、B.
答案：AB
3．(多选)已知集合A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素可能在
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：A∪B＝{(x，y)|x＜0或y＜0}，表示的区域是平面直角坐标系中的第二、三、四象限和x，y轴的负半轴，故选B、C、D.
答案：BCD
题型二 交集的运算
【学透用活】
(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．
(2)交集概念中的“所有”两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝{2,3,4}，而不是{2,3}，{2,4}或{3,4}．
(3)当集合A和集合B没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是集合A与集合B的交集为空集．如A＝{0,1,2,3}，B＝{4,5,6}，则A∩B＝ .
[典例2] (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝ ( )
A． B．{－3，－2,2,3}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
(2)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N等于 ( )
A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜3} D．{x|－2＜x＜3}
[解析] (1)法一：因为A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|－3＜x＜3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，
B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＞1或x＜－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}，故选D.
法二：A∩B＝{x|1＜|x|＜3，
x∈Z}＝{x|－3＜x＜－1或1＜x＜3，x∈Z}＝{－2,2}．
(2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示，
由图知M∩N＝{x|－1＜x＜1}．
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
【对点练清】
1．(2018·北京高考)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0，1,2}，则A∩B＝ ( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}
解析：∵A＝{x||x|<2}＝{x|－2答案：A
题型三 利用并(交)集的性质求参数的值或范围
[探究发现]
设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有什么关系？
提示：A∩B＝A A∪B＝B A B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A B三者为等价关系．
【学透用活】
[典例3] 已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求实数k的取值范围．
[方法技巧]
求解含有参数的集合运算的方法
(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，要做到不漏解．
(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效方法是合理运用数形结合思想帮助分析与求解．另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．
【对点练清】
1．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3＜x≤5}”，则实数k的值为________．
解析：由题意可知 解得k＝3，所以实数k的值为3.
答案：3
2．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，则实数k的取值范围为________．
3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________.
解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，解得a＝－1或4，当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．∴a＝4.
答案：4
提示：甲、乙都求解错误．甲的错误在于把集合A与集合B当成了两个点集，从而求出了两条曲线的交点，没有正确理解集合的含义．乙的错误在于没有正确理解A∩B的含义，A∩B是由同时属于A和B的所有元素组成的集合，因此，求解时，应分别求A和B两个集合的元素．
正确的解题过程如下：
A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}，
B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}＝{y|y＝－(x－1)2＋14，x∈R}＝{y|y≤14}，
因此，A∩B＝{y|－4≤y≤14}．
二、应用性——强调学以致用
我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.
结论：一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A
∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式：
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)．
2．某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外小组的有5人，至少参加一个课外小组的有25人．参加数学课外小组、物理课外小组的人数各是多少？
解：设参加物理课外小组的人数为x，则参加数学课外小组的人数为2x.
由card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)及题意，得25＝2x＋x－5，解得x＝10.所以参加数学课外小组的有20人，参加物理课外小组的有10人．(共29张PPT)
第二课时 补集
明确目标 发展素养
1.了解全集的含义及其符号表示． 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集. 1.通过补集的运算，培养数学运算素养．
2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
(一)教材梳理填空
1．全集：
(1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 .
[微思考] 数集问题的全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个相对概念，会因研究问题的不同而变化．如在实数范围内解不等式，全集为实数集R；在整数范围内解不等式，全集为整数集Z.
所有元素
U
2．补集：
文字语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作_____
符号语言 UA＝ _______________
图形语言
不属于
UA
{x|x∈U，且x A}
3.补集的性质：
(1)A∪( UA)＝__.
(2)A∩( UA)＝__.
(3) UU＝___， U ＝U， U( UA)＝ .
(4)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
(5)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
U
A
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)全集一定含有任何元素． ( )
(2)在全集U中存在某个元素x0，既有x0 A，又有x0 UA. ( )
(3)根据研究问题的不同，可指定不同的全集． ( )
(4)一个集合的补集中一定含有元素． ( )
(5)研究A在U中的补集时，A可以不是U的子集． ( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则 UM等于 ( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{1,2,4} D．U
答案：A
3．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x＜3，或x＞4}，则ab＝________.
解析：因为A∪( UA)＝R，A∩( UA)＝ ，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.
答案：12
题型一 补集的运算
【学透用活】
(1)对符号 UA的理解：
①A是U的子集，即A U；
② UA表示一个集合，且( UA) U；
③ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
(2)若x∈U，则x∈A或x∈ UA，二者必居其一．
[典例1] (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA为 ( )
A．{x∈R|0＜x＜2} B．{x∈R|0≤x＜2}
C．{x∈R|0＜x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
(2)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则 UA＝__________， UB＝________.
[方法技巧]
求解补集的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过程中注意端点值能否取到．
【对点练清】
若集合A＝{x|－3≤x＜1}，当U分别取下列集合时，求 UA.
(1)U＝R；
(2)U＝{x|x≤5}；
(3)U＝{x|－5≤x≤1}．
题型二 集合的交、并、补集的综合运算
[探究发现]
某校国际班有36名学生，会讲英语的有24人，会讲日语的有16人，既会讲英语又会讲日语的有10人．如何求既不会讲英语又不会讲日语的人数？
提示：设U＝{该班36名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}．
由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的学生有36－14－10－6＝6(人)．
【学透用活】
[典例2] 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}，P＝{x|x≤0或x≥5}．
(1)求A∩B， UB；(2)(A∩B)∪( UP)．
[方法技巧]
解决集合运算问题的方法
(1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：
交集元素仔细找，属于A且属于B；
并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；
全集U是大范围，去掉U中属于A的元素，剩余元素成补集．
(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求( UA)∩B时，先求出 UA，再求交集；求 U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．
(3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．
【对点练清】
1．[变设问]在本例的条件下，( UA)∩( UP)＝________.
2．[变条件]将本例中的集合P＝{x|x≤0或x≥5}改为P＝{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，则A∪( UB)＝________.
解析：∵ UB＝ PB＝{x|x≤－1或3＜x≤5}，
∴A∪( UB)＝{x|－4≤x＜2}∪{x|x≤－1或3＜x≤5}＝{x|x＜2或3＜x≤5}．
答案：{x|x＜2或3＜x≤5}
题型三 与补集有关的参数值(范围)问题
[探究发现]
(1)若A，B是全集U的子集，且( UA)∩B＝ ，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：B A.
(2)若A，B是全集U的子集，且( UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：A B.
【学透用活】
[典例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解] 法一：直接法
由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
法二：集合间的关系
由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
[方法技巧]
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
【对点练清】
1．[变条件]将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.所以m的取值范围是{m|m≤－4}．
答案：{m|m≤－4}
2．[变条件]将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，得－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
答案：{m|m≥2}
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．设全集U＝R，集合A＝{x|－5＜x＜4}，集合B＝{x|x＜－6或x＞1}，集合C＝{x|x－m＜0}，求实数m的取值范围，使其同时满足下列两个条件．
①C (A∩B)；②C ( UA)∩( UB)．
解：因为A＝{x|－5＜x＜4}，B＝{x|x＜－6或x＞1}，
所以A∩B＝{x|1＜x＜4}．
又 UA＝{x|x≤－5或x≥4}， UB＝{x|－6≤x≤1}，
所以( UA)∩( UB)＝{x|－6≤x≤－5}．
而C＝{x|x＜m}，因为当C (A∩B)时，m≥4；
当C ( UA)∩( UB)时，m＞－5，所以m≥4.
即实数m的取值范围为{m|m≥4}．
二、应用性——强调学以致用
2．某班共有26名同学参加了学校组织的数学、英语两科竞赛，其中两科都取得优秀的有8人，数学取得优秀但英语未取得优秀的有12人，英语取得优秀而数学未取得优秀的有4人，试求出数学取得优秀的人数、英语取得优秀的人数及两科均未取得优秀的人数．
[析题建模] 将本问题转化为纯数学问题：设全集U＝{某班26名同学}，集合A＝{数学取得优秀的同学}，集合B＝{英语取得优秀的同学}，且card(A)表示A中元素个数．
解：设全集U＝{某班26名同学}，集合A＝{数学取得优秀的同学}，集合B＝{英语取得优秀的同学}．
设任意集合X中的元素个数为card(X)，
则card(U)＝26，card(A∩B)＝8，card[A∩( UB)]＝12，card[B∩( UA)]＝4.
数学取得优秀的有
card(A)＝card(A∩B)＋card[A∩( UB)]＝8＋12＝20(人)．
英语取得优秀的有
card(B)＝card(A∩B)＋card[B∩( UA)]＝8＋4＝12(人)．
两科均未取得优秀的有
card[ U(A∪B)]＝card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)＝26－20－12＋8＝2(人)．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．[好题共享——选自苏教版新教材]我们知道，如果集合A S，那么S的子集A的补集为 SA＝{x|x∈S，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．
据此，试回答下列问题：
(1)S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，求S－A及 SA；
(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝ ，集合A与B之间具有怎样的关系？
解：(1)S－A＝ SA＝{x|x是高一(1)班的男同学}．
(2)如图所示：
(3)A B.
