(共43张PPT)
5．5.2 简单的三角恒等变换
明确目标 发展素养
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但这三组公式不要求记忆). 1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养．
2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．半角公式：
续表
答案：(1)√ (2)× (3)√
答案：A
4．sin 15°sin 105°＝________.
2．化简三角函数式的基本思路
三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称．常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应满足以下几点：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．
[方法技巧] 三角恒等式证明的五种常用方法
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同
比较法 设法证明“左边－右边＝0”或“ ＝1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
[方法技巧]
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
题型四 三角函数的实际应用
[探究发现]
(1)用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数范围的影响．
(2)建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
【学透用活】
[典例4] 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方
形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[方法技巧]
应用三角函数解决实际问题的方法及注意点
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．
方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解
注意点 ①充分借助平面几何性质，寻找数量关系
②注意实际问题中变量的范围
③重视三角函数值的取值范围的影响
【对点练清】
1．在本例4条件下，求长方形面积的最大值．(共32张PPT)
第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
明确目标 发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用. 1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养．
2.借助运算求值，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
记法 公式
S2α sin 2α＝___________
C2α cos 2α＝____________
T2α
tan 2α＝__________________________
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2．余弦的二倍角公式的变形：
(sin α±cos α)2
答案：(1) √ (2) √ (3) × (4) ×
答案： A
答案：D
4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
[方法技巧]
对于给角求值问题的两种类型及解题策略
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
[方法技巧]
证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角．如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
试分析该解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并写出正确的解题过程．
提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．
二、应用性——强调学以致用
2.点P在直径为AB＝1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，
且PT＝1，∠PAB＝α，问：α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
[析题建模] 连接PB，由AB＝1，∠PAB＝α(数学运算)→PA，PB的值(直观想象)→作BC⊥PT，结合条件表示出BC(逻辑推理)→S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB(利用正弦函数)→求出四边形ABTP取最大值时α的值．(共26张PPT)
5．5 三角恒等变换
5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
明确目标 发展素养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程． 2.理解导出公式的主要步骤． 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．
2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空
公式 cos(α－β)＝____________________
简记符号 C(α－β)
适用条件 公式中的角α，β都是任意角
公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
cos αcos β＋sin αsin β
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)cos(45°－30°)＝cos 45°－cos 30°. ( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立． ( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立． ( )
(4)cos 30°cos 120°－sin 30°sin 120°＝0. ( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4) ×
4．若sin αsin β＝m，cos αcos β＝n，则cos(α－β)＝________.
答案：n＋m
(3)公式的“活”用
公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β.
②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．
[典例1] 求下列各式的值：
(1)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；
(2)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；
(3)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°.
[方法技巧]
运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符合公式
特征．
(3)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
题型二 给值(式)求值问题
[探究发现]
(1)若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
提示：cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
(2)利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．
[方法技巧]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角． (共33张PPT)
第二课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
明确目标 发展素养
1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式． 2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．
2.通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦 C(α－β) cos(α－β)＝ ____________________ α，β∈R
两角和的余弦 C(α＋β) cos(α＋β)＝ ____________________ α，β∈R
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝ ____________________ α，β∈R
cos α·cos β＋sin αsin β
cos α·cos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
续表
答案：(1) √ (2) √ (3) × (4)√ (5)× (6)√
答案：B
答案：A
题型一 给角求值
【学透用活】
1．两角和与差的正弦公式的一般使用方法
(1)正用：把sin(α±β)从左向右展开．
(2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用．
(3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．
[方法技巧]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次要注意角是否满足要求．
(3)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(4)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自苏教版新教材]
如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物
AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，求建筑物AB
和CD的底部之间的距离BD.
[析题建模] 作AE⊥CD于点E，有BD＝AE.设AE为x，只需建立关于x的方程即可．
解：如图，作AE⊥CD于点E.
因为AB∥CD，AB＝9 m，CD＝15 m，
所以DE＝9 m，EC＝6 m.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin(A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来．
(1)当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(2)当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小；
(3)由(1)(2)你能得到什么结论，并证明你的结论．
