(共32张PPT)
5．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
明确目标 发展素养
1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2.会求正弦函数、余弦函数的周期，并会应用． 3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 1.通过理解函数的周期性，培养逻辑推理和数学抽象素养．
2.通过奇偶性的应用，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．函数的周期性：
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做f(x)的 ．
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
正数
正数
最小正周期
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性：
[微思考] (1)所有的函数都具有周期性吗？
提示：并不是每一个函数都是周期函数．
(2)周期函数的周期是唯一的吗？
提示：若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 _____ _____
奇偶性 _______ _______
2π
2π
奇函数
偶函数
答案：(1)× (2)× (3)×
3．函数y＝3sin x＋5的最小正周期是________．
解析：设f(x)＝3sin x＋5，x∈R.
因为f(x＋2π)＝3sin(x＋2π)＋5＝3sin x＋5＝f(x)，
所以y＝3sin x＋5的最小正周期是2π.
答案：2π
4．若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝2 021，则f(2)＝________.
解析：因为函数f(x)是周期为3的周期函数，
所以f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝2 021.
答案：2 021
题型一 三角函数的周期
【学透用活】
1．对函数最小正周期的两点说明
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x.
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
2．对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明
(1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
(2)余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
题型二 正弦、余弦函数的奇偶性
【学透用活】
正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
[方法技巧]
判断函数奇偶性的思路
提醒：判断函数奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
【对点练清】
1．(多选)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是 ( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是奇函数
C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
题型三 三角函数的奇偶性与周期的综合应用
[探究发现]
(1)你能举例说明怎样的三角函数具有奇偶性吗？
提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcos x等．偶函数有y＝cos 2x＋1，y＝3cos 5x，y＝sin x·sin 2x等．
(2)若函数y＝f(x)是周期T＝4的周期函数，也是奇函数，则f(8)的值是多少？
提示：f(8)＝f(0＋4×2)＝f(0)＝0.
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10.5 s时该弹簧振子相对平衡位置的位移．(共33张PPT)
第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
明确目标 发展素养
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值． 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小． 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间. 1.通过求三角函数的值域(最值)，培养数学运算素养．
2.通过三角函数单调性及应用，培养数学运算和逻辑推理素养．
3.结合函数图象解题，提升直观想象素养.
(一)教材梳理填空
正弦函数 余弦函数
图象
值域 _______ _______
[－1,1]
[－1,1]
续
表
[微思考] 正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法正确吗？为什么？
答案：(1)× (2)× (3)√
答案：C
3．函数y＝－2cos x的最大值为________，此时x＝________.
解析：因为－1≤cos x≤1，
所以当cos x＝－1时，ymax＝－2×(－1)＝2.
此时x＝2kπ＋π，k∈Z.
答案：2 2kπ＋π，k∈Z
答案：<
[方法技巧]
(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步，写出基本函数y＝sin x或y＝cos x的相应单调区间；
第二步，将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步，解关于x的不等式．
(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．
[方法技巧]
三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C(A≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝At2＋Bt＋C求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
