(共27张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
明确目标 发展素养
1.借助单位圆理解并掌握用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象. 2.正弦、余弦函数图象的简单应用. 3.正弦、余弦函数图象的区别与联系. 1.通过作正弦、余弦函数的图象,培养直观想象素养.
2.借助图象的综合应用,提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
函数 y=sin x y=cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
续表
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
图象
[微思考] 余弦曲线与正弦曲线完全一样吗?能否通过平移余弦曲线得到正弦曲线?
(二)基本知能小试
1.判断正误
(1)余弦函数y=cos x的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同. ( )
(2)正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称. ( )
(3)余弦函数y=cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
解析:观察y=cos x,x∈R的图象可知,直线x=0即y轴是一条对称轴.
答案:B
3.函数y=sin x,x∈[0,π]的图象与直线y=0.8的交点有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:观察图象(略)易知:有两个交点.
答案:B
答案:-1
题型一 用“五点法”画正弦、余弦函数的简图
【学透用活】
画正弦函数、余弦函数的图象应注意的问题
(1)无论采用什么方法作正弦、余弦函数的图象,函数自变量都要用弧度制,这样自变量的值为实数,任意角与x轴上的实数产生了一一对应关系,从而可以在平面直角坐标系中作出图象.
(2)正弦、余弦曲线形状相同,位置不同,均向左、向右无限延伸,与x轴有无数个交点,正弦曲线关于原点对称,而余弦曲线关于y轴对称.
(3)画图时要注意图象的对称性和凹凸方向.切忌把图象画成折线.
[典例1] 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=2+cos x,x∈[0,2π].
[解] (1)列表:
描点连线,如图所示.
(2)列表:
描点连线,如图所示.
[方法技巧]
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表:
【对点练清】
用“五点法”画出y=sin x+2,x∈[0,2π]的简图.
解:(1)列表:
题型二 正弦(余弦)函数图象的应用
[探究发现]
(1)方程sin x=x的实根个数有多少个?
提示:在同一坐标系内分别作出y=sin x,y=x的图象(略),可知当x∈(-∞,0)时,sin x>x;当x∈(0,+∞)时,sin x<x,当x=0时,sin x=x,所以方程只有一个实根为0.
(2)函数f(x)= -cos x在[0,+∞)内有多少个零点?
提示:令f(x)=0,所以 =cos x,分别作出y= ,y=cos x的图象(略),可知两函数只有一个交点,所以f(x)在[0,+∞)内只有一个零点.
[方法技巧]
解决三角函数图象应用问题的策略
(1)用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法:
①作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象.
②确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
③确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
(2)判断方程解的个数,或由方程解的个数确定参数的取值范围,可利用图象解题,当方程含有正、余弦函数时,可借助正、余弦曲线探究问题的解法.
【对点练清】
1.[变条件]本例(1)中的“sin x”改为“cos x”,应如何解答?
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2.结合函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图象,你能得到哪些结论?(答案不唯一)
解:作出函数f(x)的图象如图中粗实线所示.
由图象可以得到:
①奇偶性:f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),则函数f(x)是偶函数.
②图象的对称性:函数图象关于y轴对称.
⑤函数的值域为[0,2].
⑥f(x)在[-π,π]有3个零点.
当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sin x|=sin x+sin x=2sin x,
由f(x)=0得2sin x=0得x=0或x=π,
由f(x)是偶函数,得在[-π,π)上还有一个零点x=-π,即函数f(x)在[-π,π]有3个零点.
⑦若g(x)=a,则f(x)-g(x)=0有根的条件为0≤a≤2等等.(任选几个写出即可)