4.4.2对数函数的图象和性质 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
4．4.2　对数函数的图象和性质
明确目标 发展素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象． 2.能结合图象分析对数函数的性质． 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．
2.借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理和数学运算素养.
知识点一　对数函数的图象与性质
(一)教材梳理填空
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0图象
定义域 __________ 值域 ___ 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈ ；x∈[1，＋∞)时，y∈ _________ x∈(0,1)时，y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，y∈
_________
对称性 函数y＝logax与y＝log x的图象关于 对称 续表
(0，＋∞)
R
(1,0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
[微思考]　对于底数a＞1的对数函数，在区间(0，＋∞)内，底数越大，图象越靠近x轴吗？
提示：是．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)． ( )
(2)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数． ( )
(3)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度可得y＝log2x＋1的图象．( )
(4)对数函数的图象一定在y轴右侧． ( )
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是 (　　)
解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
答案：C
知识点二　反函数
(一)教材梳理填空
指数函数 (a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
[微思考]　反函数有哪些性质？
提示： (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
y＝ax
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． ( )
(2)y＝4x与y＝log4x的图象关于y＝x对称． ( )
答案：(1)×　(2)√
题型一　对数函数的图象问题　
【学透用活】
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”
当a＞1时，对数函数的图象“上升”；
当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
(2)函数y＝logax与y＝log x(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低
无论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴；
②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
[典例1]　已知y＝lg x的图象，如图所示，由图象作出y
＝lg |x|和y＝|lg x|的图象，并解答以下问题：
(1)判断函数y＝lg |x|的奇偶性及单调性；
(2)函数f(x)＝|lg x|，若0f(b)．求证：ab<1.
[解]　分别作出y＝lg |x|和y＝|lg x|的图象如图①，图②所示．
(1)从图①可以看出，y＝lg|x|是偶函数且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由图②可以看出，若0f(b)，此时有ab<1成立；
若0因为f(a)>f(b)，所以－lg a>lg b，
即lg a＋lg b<0，lg(ab)<0，所以ab<1；
若1f(b)相矛盾．
综上可知，若0f(b)时，ab<1.
[方法技巧]
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质，即定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出．解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　
【对点练清】
1．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是 (　　)
解析：由f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C、D错误．又当x＞0时，f(x)＝lg(x－1)是(1，＋∞)上的增函数，故选B.
答案：B　
2.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1　　　　 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析：作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
答案：B　
3．画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．
解：函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示．
由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间是(0，＋∞)．
[方法技巧]
比较对数值的大小的策略
(1)比较两个底数为同一常数的对数的大小，首先要根据对数的底数来判断对数函数的单调性，然后比较真数的大小，再利用对数函数的单调性判断．
(2)比较两个对数值的大小，对于底数是相同字母的，需要对底数进行讨论．
(3)若不同底但同真，则可利用图象的位置关系与底数的大小关系解决或利用换底公式化为同底后再进行比较．
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．　　
【对点练清】
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则 (　　)
A．aC．c解析：因为a＝log20.220＝1,0答案：B　
[方法技巧]
对数不等式的三种考查类型
(1)形如logam>logan的不等式，借助y＝logax的单调性求解．
(2)形如logam>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
提醒：底数中若含有参数，一定要注意底数大于0且不等于1，同时要注意对底数是大于1还是大于0且小于1进行分类讨论．　　
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值差为1，求a的值时，有位同学的解题过程如下：
提示：他的思路是错误的．
二、应用性——强调学以致用
2．溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在[5,7]之间．食品监督部门检测到某品牌纯净水中氢离子浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升．
问：该品牌纯净水是否符合国家标准？
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．[好题共享——选自苏教版新教材]对于等式ab＝c(a＞0，且a≠1)，如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a(即x)的函数，记为y，那么y＝xb，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b(即x)的函数，记为y，那么y＝ax，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c(即x)的函数，记为y，那么y＝logax，是对数函数．
事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．
例如，如果c为常数e(e为自然对数的底数)，将a视为自变量x(x＞0，x≠1)，则b为x的函数，记为y，那么xy＝e.
(1)试将y表示成x的函数f(x)；
(2)研究函数f(x)的性质．
你还能运用这个等式得到什么样的函数？这些函数分别具有哪些性质？