4.4.3不同函数增长的差异 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
4．4.3　不同函数增长的差异
明确目标 发展素养
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 2.区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异. 3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算和数学建模素养.
(一)教材梳理填空
函数 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1)
在(0，＋∞) 上的增减性 __________ __________ _________
随x的增大 函数图象 保持固定的增长速度 逐渐与 _____平行 逐渐与 _____平行
单调递增
单调递增
单调递增
y轴
x轴
增长速度的比较 共同点 在区间(0，＋∞)上，三种函数都是 ________ 不同点 保持不变 增长速度__________ 增长速度_________
存在一个正数x0，当x＞x0时，有ax0＞kx0＞logax0 增函数
越来越快
越来越慢
续表
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)对任意的x＞0，kx＞logax. ( )
(2)对任意的x＞0，ax＞logax. ( )
(3)函数y＝log2x增长的速度越来越慢． ( )
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是 (　　)
A．y＝ex　　　　　　　　 B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
答案：A
3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用 (　　)
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
答案：D
4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________．
题型一　三类函数模型增长差异的比较　
【学透用活】
[典例1]　(1)下列函数中，增长速度最快的是 (　　)
A．y＝2 021x　　　　 B．y＝x2 021
C．y＝log2 021x D．y＝2 021x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表所示：
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
[解析]　(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
[答案]　(1)A　(2)y2
[方法技巧]
比较函数增长情况的方法
(1)解析法：直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢．
(2)表格法：通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异．
(3)图象法：在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这几个函数增长速度的差异．　
【对点练清】
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是 (　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
答案：B　
2.“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是 (　　)
A．指数函数y＝2t
B．对数函数y＝log2t
C．幂函数y＝t3
D．二次函数y＝2t2
解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.
答案：A　
题型二　函数模型的选择　
【学透用活】
[典例2]　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
[方法技巧]
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．　　
【对点练清】
某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t/年 1 2 3 4 5 6
h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型
拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．
不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
题型三　不同增长的函数模型的图象特征　
【学透用活】
[典例3]　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解]　(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的；f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
[方法技巧]
由图象判断一次函数、指数函数和对数函数的方法
根据图象判断增长型的一次函数、指数函数和对数函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．　　
【课堂思维激活】
一、应用性——强调学以致用
1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图象如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2.已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速
直线运动，其位移y(单位：km)和运动时间x(单
位：h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：
①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；
②甲、乙运动的时间相同，开始运动后相等时间内甲的位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；
④当甲、乙运动了3 h后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．
其中正确的说法是 (　　)
A．③　　　　　　　　　 B．①②③
C．①③④ D．②③④
解析：经图象分析③是对的，故①错；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5 h，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始运动相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3 h后，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)．又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以④正确．
答案：D