4.2.1指数函数的概念 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
4.2　指数函数
4．2.1　指数函数的概念
明确目标 发展素养
1.通过具体的实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念与意义． 2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 1.通过学习指数函数的概念和意义，培养数学抽象素养．
2.借助指数函数的实际应用，提升数学建模和数学运算素养.
(一)教材梳理填空
一般地，函数 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
[微思考]　为什么规定指数函数y＝ax的底数大于0且不等于1
y＝ax(a＞0，且a≠1)
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)y＝x2是指数函数． ( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数． ( )
(3)y＝2x－1是指数函数． ( )
答案：(1)×　(2)×　(3)×
3．我国2011年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2021年底我国人口总数是 (　　)
A．M(1＋p)8 B．M(1＋p)9
C．M(1＋p)10 D．M(1＋p)11
解析：从2010到2020年一共增长了10次．
答案：C
题型一　指数函数的概念　
【学透用活】
指数函数有四个特点
(1)定义域必须是实数集R.
(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项．
(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0，且a≠1)不是指数函数．
(4)底数a的范围必须是a>0，且a≠1.
[典例1]　给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是 (　　)
A．0　　　 　B．1　　　　 C．2　　　　 D．4
[解析]　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
[答案]　B
[方法技巧]
判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备，则该函数就不是指数函数．　　
[方法技巧]
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．　　
题型三　指数函数的实际应用　
[探究发现]
(1)什么是增长率？增长率与增加量有什么区别？
(2)若每次的增长率为p，经过n次后是原来的多少倍？
提示：n次增长后是原来的(1＋p)n倍．
【学透用活】
[典例3]　甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.
[解]　(1)1年后甲城市人口总数为
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，
2年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3，
…，
x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.
x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.
(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.
(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，其中甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型；乙城市人口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113 126 139
[方法技巧]
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型：
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型：
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数：
把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．　　
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．[好题共享——选自苏教版新教材]2000～2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%.按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2016年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍(结果取整数)．
请根据题设条件把下面的解析补充完整．
解：设2000年我国年国内生产总值是1，x年后我国年国内生产总值为y.
因为国内生产总值年平均增长7.8%，所以从2001年开始，每年的国内生产总值是上一年的1.078倍，则
经过1年，?y＝1×1.078＝1.078；
经过2年，?y＝1.078×1.078＝1.0782；
经过3年，?y＝1.0782×1.078＝1.0783；
……
一般地，经过x年，我国年国内生产总值为?y＝1.078x，x∈N*.
画出指数函数y＝1.078x的图象，如图所示．从图象上可以看出，当x＝16时，y≈3.