3.3幂函数 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
3．3　幂函数
(一)教材梳理填空
1．幂函数的概念：
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．五个幂函数的图象与性质：
y＝xα
定义域 ____ ____ ____ ______ _________
值域 ____ __________ ____ _____ ____
奇偶性 函数 函数 函数 __ 函数 函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调_____ 在(－∞，0]上单调 ，在(0，＋∞)上单调____ 在(－∞，＋∞)上单调 _____ 在[0，＋∞)上单调 _____ 在(－∞，0)上单调 ，在(0，＋∞)上单调____
定点 ______ 续表
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
递增
递减
递增
递增
递增
递减
递减
(1,1)
[微思考]　通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
答案：2
题型一　幂函数的概念　
[探究发现]
幂函数的解析式有什么特征？
提示：(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项．　　　
[方法技巧]
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　
2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)为增函数，则m的值为
(　　)
A．1或3 B．3 C．2 D．1
解析：由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.
答案：D　
题型二　幂函数的图象及应用　
【学透用活】
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[方法技巧]
解决幂函数图象问题的原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．　　
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 (　　)
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
题型三　利用幂函数的单调性比较大小　
[探究发现]
幂函数y＝xa的单调性如何判断？
提示：(1)幂函数y＝xa 的单调性主要通过a的正负判断，并且在第一象限内单调性的规律体现得比较明显．
(2)a＞0时，幂函数y＝xa在第一象限内单调递增；a＜0 时，幂函数y＝xa在第一象限内单调递减．　　　
[方法技巧]
1．比较幂的大小的3种基本方法
2.利用幂函数单调性比较大小时的注意点
比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．　　
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小
中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
[方法技巧]
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．　　
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数．
(1)求实数m的值；
(2)请画出f(x)的大致图象；
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)是幂函数，
则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＝－2.
(2)由(1)知，f(x)＝x－2，
则f(x)的大致图象如图所示．
二、应用性——强调学以致用
2．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？