2022秋新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用（一） 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
3．4　函数的应用(一)
明确目标 发展素养
1.掌握一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型及特点． 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．三类常见函数模型：
y＝kx＋b
k≠0
2.数学建模、解模的过程：
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有点． ( )
(2)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( )
(3)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)
变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．由图可知前
5 min温度增加越来越快． ( )
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为 (　　)
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
答案：C
题型一　一次函数模型　
【学透用活】
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图象解题时，应注意：
(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；
(2)一次函数的图象是一条直线．
[典例1]　某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元．
方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．
(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
[解]　设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，
则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000.
因为y1< y2，故应选择第2个方案处理污水．
(2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元．
因为y1> y2，故应选择第1个方案处理污水．
[方法技巧]
建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．　　
【对点练清】
车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)．
(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，
则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，
即2 100≤x≤2 625.
画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．
题型二　二次函数模型　
【学透用活】
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．
[典例2]　牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
[方法技巧] 解决二次函数模型应用题的4个步骤
题型三　幂函数模型　
【学透用活】
能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．
[典例3]　众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，试写出该种饼干900克装的合理售价．
[方法技巧]
解决幂函数模型的4个步骤
(1)认真阅读，理解题意．
(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
(4)转化成具体问题，给出解答．　　
【对点练清】
在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．
题型四　分段函数模型　
[探究发现]
什么是分段函数？分段函数的最值怎样求解？
提示：分段函数是自变量x在不同的取值范围内、函数有着不同的对应关系的函数．求最值时应求出每个范围内的最值再比较取最大最小．　　　
[方法技巧]
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数是刻画现实问题的重要模型．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 　　
【对点练清】
某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工多于30人，则给予优惠，每多一人，培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元．
(1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数解析式．
(2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．
(2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？
解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min.
(2)因为f(5)＝195，f(25)＝205，所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中．
(3)当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，
当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，
又28.57－4＝24.57＞24，所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目．