(共28张PPT)
第二课时 分段函数
(一)教材梳理填空
分段函数的定义及本质：
(1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数．
(2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段上“定义域”的 ，其值域是各段上“值域”的_____.
对应关系
并集
并集
[微提醒]
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数．解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．
(2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．
(3)分段函数在书写时要用“{”把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)分段函数由几个函数构成． ( )
(2)分段函数有多个定义域． ( )
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． ( )
(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示． ( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．f(x)＝|x－1|的图象是 ( )
答案：B
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为x2＋2x>2x，
即x≠0，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}．
[方法技巧]
1．求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪个区间．
(2)然后代入该区间对应的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[方法技巧]
1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
2．作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别要注意端点处是实心点还是空心圈．
【对点练清】
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
2．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为_______．
[方法技巧]
在写分段函数的解析式时，要注意各段自变量取值集合的交集为 ，当前后两段图象连续时，相连的区间端点可在这两段的任意一段上，不要漏掉端点值即可．
【对点练清】
某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式．
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
提示：不正确．含字母的自变量范围不确定，应分类讨论．
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数．
(2)当月产量为多少件时，自行车厂的利润最大？最大利润是多少？(共39张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
明确目标 发展素养
1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2.体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域． 4.能够正确使用区间表示数集. 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
知识点一 函数的有关概念
(一)教材梳理填空
1．函数的概念：
定义 一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的
，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 ______________和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数
记法 _____ ______
定义域 x叫做 ，x的 叫做函数的定义域
非空的实数集
任意一个数x
唯一确定的数y
f：A→B
y＝f(x)，x∈A
自变量
取值范围A
函数值 与 相对应的y值
值域 函数值的集合 叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集
x的值
{f(x)|x∈A}
续表
[微思考] (1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．同一个函数：
如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
定义域
对应关系
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． ( )
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. ( )
(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． ( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
知识点二 区间
(一)教材梳理填空
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ______
{x|a＜x＜b} 开区间 ___
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 ___
[a，b]
(a，b)
[a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间
{x|x≥a} _ _________
{x|x>a} __
{x|x≤b} __ _________
{x|x＜b} __
续表
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
(二)基本知能小试
1．区间(0,1)等于 ( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|0≤x≤1}
答案：C
2．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
3．设A＝(－6,1]，B＝(－1,9]，则A∩B＝________.
答案：(－1,1]
题型一 函数的概念
【学透用活】
[典例1] (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] (1)①中，因为在集合M中当1(2)对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应y，不是x的函数；对于B，M中每个元素在N中都有两个不同元素与之对应，y不是x的函数；对于C，M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；对于D，M中x＝0在N中没有元素对应，y不是x的函数，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
[深化探究]
(1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2]，则函数f(x＋1)定义域是什么？已知f(x)的定义域如何求f(g(x))的定义域？
提示：由1≤x＋1≤2，得0≤x≤1，由此得函数f(x＋1)定义域是[0,1]．
已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围．
(2)若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？已知f(g(x))的定义域如何求f(x)的定义域？
提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的取值范围[2,3]．
已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B，求g(x)的范围(值域)，即为f(x)的定义域．
[方法技巧] 求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[方法技巧]
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
解：f(1)＝13＋2×1＋3＝6，f(t)＝t3＋2t＋3，
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a，
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
题型三 同一个函数的判断问题
[探究发现]
在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备什么条件？
提示：起决定作用的是函数的对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定．当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数就相等．
[方法技巧]
判断两函数为同一个函数的方法
判断两函数是否为同一个函数，关键是坚持定义域优先的原则．
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等．
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
二、应用性——强调学以致用
2．有一个半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆上，写出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出其定义域．
[析题建模] 利用等腰梯形的性质，求出上底与腰长x之间的关系即可表示出周长y与腰长x之间的函数关系式，再根据实际意义求出x的取值范围．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－3，值域为{－1,5}的“孪生函数”共有 ( )
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
解析：由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝2x2－3，值域为{－1,5}，由2x2－3＝－1得，x＝±1；由2x2－3＝5得，x＝±2.则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“孪生函数”共有9个．
答案：C (共31张PPT)
3．1.2 函数的表示法
明确目标 发展素养
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法． 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．理解函数图象的作用． 3.通过具体实例，了解分段函数，并能简单应用. 1.通过用图象法表示函数，培养直观想象素养．
2.通过求函数解析式及分段函数求值，培养数学运算素养．
3.利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.
第一课时 函数的表示法
(一)教材梳理填空
解析法 用 表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用 表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
表格
图象
[微思考] 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
提示：要检验一个图形是否为函数的图象，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任何一个函数都可以用列表法表示． ( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示． ( )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线． ( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1,5]的图象是 ( )
A．直线 B．射线
C．线段 D．离散的点
解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1,5]，则此时图象为线段．故选C.
答案：C
5．已知下面表格表示的是函数w＝g(u)，则g(－1)＝________，g(0)＝________，g(2)＝________.判断2________(填“是”或“不是”)这个函数值域中的元素．
u －2 －1 0 1 2
w 3 4 5 6 7
题型一 函数表示法
【学透用活】
[典例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] (1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[方法技巧]
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
在用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
【对点练清】
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
答案：D
2．将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系．
②列表法：
③图象法：
[方法技巧]
描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
【对点练清】
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，
值域是________．
解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．
答案：[－3,3] [－2,2]
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．
解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图2.
题型三 函数解析式的求法
[探究发现]
(1)什么是函数解析式？
(2)一次函数、二次函数、反比例函数的解析式各是什么？
[方法技巧] 求函数解析式的四种常用求法
【对点练清】
1．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
二、应用性——强调学以致用
2．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为____________；当物体的质量为10 kg时，y＝________cm.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”；若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)求证：A B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
