2022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.2.1 函数的单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最值
知识梳理
知识点 函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
注意点：
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标．
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值．
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性．
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．
习题精练
选择题
1.设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：由函数最大值的概念知②③正确．
2.函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( )
A.f(2)，f(－2) B.f()，f(－1)
C.f()，f(－) D.f()，f(0)
答案：C
解析：由图象可知最大值为f()，最小值为f(－).
3.函数y＝x＋的值域是( )
A.[0，＋∞) B.[2，＋∞) C.[4，＋∞) D.[，＋∞)
答案：B
解析：函数y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为2.
4.已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于( )
A. B.－ C.1 D.－1
答案：A
解析：可知函数f(x)＝在[1,2]上单调递减.∴A＝f(1)＝1，B＝f(2)＝，∴A－B＝.
5.函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，求m的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.[2,4] C.(－∞，2] D.[0,2]
答案：B
解析：f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值为1知m≥2.又最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.故选B.
6.已知函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对
答案：A
解析：∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8.又x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
7.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
答案：C
解析：令f(x)＝－x2＋2x,0≤x≤2.由函数f(x)的图象(图略)知0＝f(0)≤f(x)≤f(1)，因此a<0.
8.函数f(x)＝ax＋(2－x)，其中a>0，记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为( )
A. B.0 C.1 D.2
答案：D
解析：f(x)＝ax＋(2－x)＝x＋，①当a>1时，a>，f(x)是增函数，f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(0)＝，∴g(a)＝∈(0,2)；②当a＝1时，f(x)＝2，∴g(a)＝2；③当0
9.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关
答案：B
解析：f(x)＝2－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，故M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，故M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a，与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，故M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a，与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关．
10.已知函数f(x)＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－4] B.(－∞，－1]∪[2，＋∞) C.[2，＋∞) D.[－4，＋∞)
答案：C
解析：函数f(x)＝2x2－ax＋1图象的对称轴方程为x＝，当－10时，要使f(x)的最大值为f(a)，则f(a)≥f(－1)，即2a2－a2＋1≥2＋a＋1，解得a≤－1(舍)或a≥2.
二、填空题
11.函数y＝x－在[1,2]上的最大值为________．
答案：
解析：函数y＝x在[1,2]上是增函数，函数y＝－在[1,2]上是增函数，∴函数y＝x－在[1,2]上是增函数.当x＝2时，ymax＝2－＝.
12.函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)答案：f(－2) f(6)
解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)
13.记min{a，b}＝若f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________.
答案：6
解析：由题意，知f(x)＝，作出函数f(x)的图象如图所示.易知f(x)max＝f(4)＝6.
14.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，0)
解析：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.
15.设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．
答案：[1，＋∞)
解析：f(x)＝＝a－，定义域为{x|x≠－2a}，所以所以所以a≥1.
三、解答题
16.已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
解：∵对称轴x＝1，
(1)当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
(2)当t≤1(3)当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，则有g(t)＝
17.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，知当x＝1时，y取得最小值3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立．
于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
18.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，
∴f(x)在[1，a]上是减函数．
又∵f(x)的定义域和值域均为[1，a]，
∴即
解得a＝2.
(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，
又∵x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，
f(x)min＝f(a)＝5－a2，
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，
总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，
即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.
又∵a≥2，∴2≤a≤3.
10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由表格得方程组解得所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，日销售利润最大，最大值为432元，
即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
3.2.1 第2课时 函数的最值 1/12022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.2.1 函数的单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最值
知识梳理
知识点 函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
注意点：
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标．
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值．
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性．
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．
习题精练
选择题
1.设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( )
A.f(2)，f(－2) B.f()，f(－1)
C.f()，f(－) D.f()，f(0)
3.函数y＝x＋的值域是( )
A.[0，＋∞) B.[2，＋∞) C.[4，＋∞) D.[，＋∞)
4.已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于( )
A. B.－ C.1 D.－1
5.函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，求m的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.[2,4] C.(－∞，2] D.[0,2]
6.已知函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对
7.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
8.函数f(x)＝ax＋(2－x)，其中a>0，记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为( )
A. B.0 C.1 D.2
9.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关
10.已知函数f(x)＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－4] B.(－∞，－1]∪[2，＋∞) C.[2，＋∞) D.[－4，＋∞)
二、填空题
11.函数y＝x－在[1,2]上的最大值为________．
12.函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)13.记min{a，b}＝若f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________.
14.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
15.设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．
三、解答题
16.已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
17.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
18.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
3.2.1 第2课时 函数的最值 1/1