课 题：《解直角三角形---方位角问题》
序 号： （ 9 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 94---95页例2
学习目标：
1.使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2.用三角函数有关知识解决方位角问题
重 点：：用三角函数有关知识解决方位角问题
难 点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 94---95页例2，完成下列各题：
（1）小明家在学校的北偏东20°方向，那么学校在小明家的______方向。
（2）西北方向即北偏西_______度，东南方向即东偏南_____度，西南方向即南偏西______度，东北方向即东偏北_______度。
（3）小明从A点出发向东走100m，再沿北偏西30°方向走100m，那么小明在A点_________方向，距A点_________m。
探究一 方位角
1请同学们在练习本上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
2依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线。
3根据你画的图，回答下列问题：
方位角是角吗？
角有哪些要素？
方位角具备这些要素吗？
我们通常以什么作为方位角的顶点？以什么作为方位角的边？
（5）什么是方位角？
4 方位角：指（ ）与（ ）的夹角。
注意：方位角通常是0----90的角。
(1)会认方位角:
（1）“四面八方”指的是哪四面？哪八方？分别用射线表示
出来。
（2）“东南方向”特指什么方向？
（3）“北偏西45”也可以说成什么？
(1)射线OA表示什么方向？
(2)射线OB表示什么方向？
(3)射线OC表示什么方向？
(4)射线OD表示什么方向？
(2)会画方位角：
(a).在茫茫大海上,我缉私艇正在执行任务,当行驶到某处时,发现有一只可疑船只,这时测得可疑船只B在我船A的北偏东40°的方向.
(b)货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西
10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D. 画出表示灯塔A,客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
(c)一只蚂蚁从O点出发,沿东北方向爬行2.5cm,碰到障碍物Ｂ后,折向北偏西60°方向爬行3cm到C，画出蚂蚁的爬行路线.
（d）潮阳实验学校元月6日将举行运动会，一名服务的同学往返于百米起跑点A、终点B（A、B位于东西方向）及检录处C，他在A处看C点位于北偏东60°的方向上，在B点处看C点位于西北方向上（即北偏西45 ° ），你能确定检录处C的位置么？
探究二 解决含有方位角的问题
问题1：某省将地处A、B的大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地间修一条笔直的公路，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.7km的公园，问该公路是否穿过公园？为什么？
问题2：一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°方向，货轮以20海里/小时的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°方向，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？
跟踪练习：一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以30海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求灯塔M与渔船B的距离是多少？
问题3：如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
1．某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°度方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间距离为100m，求A、B之间的距离。
（结果精确到1m，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85）
2上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)
预 习 检 测
课 堂 合 作
北
南
西
东
A
C
O
D
B
四面八方
O
北
B
D
东
西
南
C
A
30
20
60
30
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《解直角三角形--俯角仰角问题》
序 号： （ 8 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 课本95页读一读----96页结束
学习目标：
1 了解仰角、俯角的概念
2逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．
3巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．
重 点：用三角函数有关知识解决观测问题
难 点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本95页读一读----96页结束，完成下列问题：
1什么是俯角？什么是仰角？
2 从A点看B点的仰角是55°，则从B点看A点的俯角是_______。
3 两高楼A楼和B楼，从A楼顶端看B楼底端所成的角是______，从B楼底端看A楼顶端所成的角是______，它们的关系是_____。
4如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机看地面控制点B的俯角α＝30°。求飞机A到控制点B的距离。（精确到1米）
1什么是解直角三角形？
2如图 解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
3解直角三角形的类型：
已知____________或已知___________________．
探究一 俯角、仰角的概念
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
探究二 利用俯角仰角的概念解决实际问题
问题1 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α＝22°。求电线杆AB的高。（精确到0.1米）
跟踪练习：如图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
问题2 如图，两个建筑物的水平距离为20米，从A点测得D点的俯角为45°，测得C点的俯角为60°，求较低建筑物CD的高为多少米？
跟踪练习：两建筑物AB与CD，其地面距离AC＝50米。从AB的顶端B测得CD的顶部D的仰角β＝30°，测得其底部C的俯角α＝45°。求两座建筑物AB与CD的高。（精确到0.1米）
问题3 如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向前走60米到C点，又测得仰角为45°，求该高楼的高度为多少米？
跟踪练习： 如图，在某建筑物AC上挂着一幅的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B， 测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果精确到0.1m）
问题4 如图，在甲、乙两楼底B、D所在直线的点A处测得甲乙两楼顶C、E的仰角分别为30°、45°，在甲楼顶C处测得乙楼顶E的仰角为60°，测得A处到B处距离AB＝50米，求乙楼高DE是多少米？
问题5 上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
1. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
2.如图，山顶CD高处有一铁塔，铁塔AD＝10米，在B处望铁塔底端D处的仰角为45°，望铁塔顶端A处的仰角为60°，求小山CD的高度。
预 习 检 测
课 前 准 备
课 堂 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《正弦》
序 号： （ 2 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 88---90页
学习目标：
1.知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实，进而认识正弦
（sinA）概念。
2.知道正弦的取值范围
3. 能根据正弦概念正确进行计算
重 点：能根据正弦概念正确进行计算
难 点：会运用参数法求正弦值
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习教材88---90页 例1结束，完成下列问题：
1. 如图（课本88页图25.2.1）,已知Rt△ABC中,∠C＝90°,
(1) ∠A的对边是 , ∠A的邻边是 ,斜边是 ；
(2) ∠B的对边是 , ∠B的邻边是 ；
（3）sinA= sinB=
Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，AB＝10，求sinA。
写出sinA 的取值范围：
探究一：直角三角形的边角间的位置关系
直角三角形ABC可以简记为：（ ），直角∠C所对的边AB称为（ ），用小写字母（ ）表示，另两条直角边AC与BC分别用小写字母（ ）和（ ）表示，
其中b叫∠A的（ ）边，a叫∠A的（ ）边。
思考：你能说出∠B的对边和邻边吗？
学以致用：如右图，在Rt△MNP中，∠N＝90.
∠P的对边是_______,∠P的邻边是_________;
∠M的对边是_______,∠M的邻边是_______;
想一想：∠P的对边、邻边与∠M的对边、邻边有什么关系？
探究二：锐角A固定不变时，它的对边与斜边的比值会改变吗？
含角的直角三角形，有什么性质？
2、上述结论与所选取的直角三角的大小有关吗？
3、含角的直角三角形中，角所对的直角边与斜边的比值为多少？
这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？
4、一般地，在中，为其一个锐角，当取一个固定的值的时，所对的直角边和斜边的比值固定吗？
分析：见下图
分别是哪几个直角三角形的内角？
在每个直角三角形中，的对边与斜边之比分别是什么？
这几个比值相等吗？为什么？
现在，你能回答“锐角A固定不变时，它的对边与斜边的比值会改变吗？”这个问题了吗？
归纳：
探究三：什么是正弦？
由探究二我们知道：“当锐角A固定不变时，它的对边与斜边的比值也固定不变”，
我们就把这个固定不变的比值叫做A的正弦。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠ A的正弦。记作sinA，即：
如：B的正弦表示为：sinB β的正弦表示为：sinβ
ABC的正弦表示为：sinABC 1的正弦表示为：sin1
如果ABC=30°，则sinABC=sin30°
问：你能照上面的方法表示出B的正弦吗？
注意：
1.sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角。
2.sinA是一个整体，不能拆开来理解（如：sinA不是 sin与A的乘积）。
3.sinA是一个比值 ，没有单位。
4.只用一个字母表示角时，书写正弦时通常省略角的符号“”，其它时候不能省略。例如：sin∠l不能写成sinl, sin∠BAC不能写成sinBAC。
探究三：正弦的取值范围是什么？
思考：对于任意锐角A,sinA的范围是什么呢？
提示：根据sinA的定义和直角三角形中直角边和斜边的大小关系。
学以致用：
1.如下图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，求∠A和∠B正弦 。
跟踪练习：
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。
（2）判断对错（根据右图）：
( ) ( )
( ) ( )
(3) 判断题： 如右图， （ ）
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB, AC=2, CD=1，求sin∠BCD.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°AC=2BC,求sinA的值。
跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：AB=4：5, 求sinA的值。
4. 已知在中，，，BC=4,求AC的长。
跟踪练习：已知在中，，, AB=10，求BC的长。
5.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值有什么变化？为什么？
6.如果sinA=，你能对这个式子进行变形吗？有几种？
跟踪练习：在△ABC中，∠C=90°，则在边角关系中不正确的是( )
A．a=c·sinA B．a=b·tanA C．b=c·cosB D．a=b·cotB
1在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则sinB的值是( )
2在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是( )
3 Rt△ABC中，∠C=90°AB=10，sinB= ，BC的长为( )
4如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于( )
5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与点D。
(1)sinB可以为哪两条线段之比？
(2)若AC=5，CD=3，求sinB的值
6.直角三角形的斜边和一条直角边的比为25∶24，求其中最小的角的正弦值。
预 习 检 测
A
C
B
课 堂 合 作
A
C
B
A
C
B
斜边
对边
A
C
B
A
C
B
5
13
A
10m
6m
B
C
达 标 检 测
x
o
y
P(a,b)
α
C
A
B
D
课 后 反 思课 题：《解直三角形--定义》
序 号： （ 7 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 93---95
学习目标：
理解直角三角形中五个元素的关系
知道什么叫解直角三角形
会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
重 点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用
难 点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本第93--95页练习结束,并完成下列各题：
1什么叫解直角三角形？
2.如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下,树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
3在Rt△ABC中,∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
且a=,c=2,解这个Rt△。
1三角形有六个元素,分别是___________和___________.
2. Rt△ABC中除直角之外的五元素: ___________和___________.
3.右图中，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所
对的边分别为a,b,c,那么除直角C外的5个元素之间有如下关系：
（1）三边之间的关系： a2 +b2 = (勾股定理)；
（2）两锐角之间关系：∠A+∠B= °；
（3）边角之间关系： ; ；
= ; = ;.
4.把锐角A的 、 、 、 都叫做∠A的锐角三角函数。
探究一 什么叫解直角三角形？
在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)根据∠A= 75°, 斜边AB=6 , 你能求出这个三角形的其他元素吗
（2）根据AC=2.4m, 斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗
注意：本书如无特别说明，角度精确到分。
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗
在直角三角形的六个元素中，除直角外还需要知道几个元素就能求出其它元素？
归纳：在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道（ ）个元素(其中至少有一个是边), 就可以求出其余（ ）个元素.
解直角三角形定义：在直角三角形中,由（ ）元素求未知元素的过程, 叫（ ）。
探究二 解直角三角形定义的应用
问题1 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°，b=20, 解这个直角三角形.(精确到0.1)
已知一边一角，如何解直角三角形？
点拨：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底
问题2 在RT中，,AC=, BC=,解这个直角三角形。
已知两边，如何解直角三角形？
跟踪练习：在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形.
a=30 ,b=20 （2）∠B=72°, c=14
问题3 如图，在△ABC，∠C＝90，D是BC的中点，∠ADC＝60，AC＝ ，求△ABD的周长.
跟踪练习：在△ABC中，∠B＝60，AD⊥BC，AD＝ ，AC＝，求AB和BC的长。
问题4: 如图，在△ABC中，∠B=45°， ∠C=30°，AB= ，求AC和BC（用多种方法解）。
问题5 知识链接 94页例2
1、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
2、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
3、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA =________
4、在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，根据下列条件解直角三角形：
（1）a=30, b=30； (2) ∠B=60°,c=14。
5知识链接：课本95页练习第1题
6知识链接：课本95页练习第2题
预 习 检 测
课 前 准 备
课 堂 合 作
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
A
B
C
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《测量》
序 号： （ 1 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版86--87页
学习目标：
利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
重 点：探索测量距离的几种方法。
难 点：选择适当的方法测量物体的高度或长度
学法指导：自主预习，合作探究
学 习 过 程
三角形相似的判断方法有哪些？
相似三角形有什么性质？
有个三边长分别是3米，4米，5米的三角形花坛，请你按1:100的比例将它画在下面。
自主预习教材86---87页内容，完成下列题目：
小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
2． 请你设计一个切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度。
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你是否想过：这根旗杆有多高？我们能否用学过的知识来解决这个问题呢？
探究一：利用太阳光下的影子测量旗杆高度
如图25．1．1，选一名同学与旗杆一样立于操场阳光下。
思考：（1）图中的两个三角形相似吗？为什么？
（2）根据实际情况，两个三角形中有哪些边长可以直接测量出来？你用的测量工具是什么？
（3）本题中需要测量哪些边长就可以算出旗杆的高度？
(4)你是利用什么知识来计算旗杆高度的？
通过上面的探究，你能设计出用这种方法测量旗杆高度的方案吗？
但是如果就你一个人，又遇上阴天，这种方法还能用吗？
探究二：利用测角仪测量旗杆的高度
如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？（提示：先测量出教材上图25．1．2中B′C′的长度）
学以致用： 知识链接 教材87页 习题25.1 1 2 3题
拓展提高：
探究三：利用标杆测量旗杆的高度
选一名同学做观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，观测者适当调整自己所处的位置，当旗杆的顶部，标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离，以及观测者的脚到标杆底部的距离，然后，测得标杆的高，利用相似三角形相关知识计算。
探究四: 利用平面镜反射测量旗杆的高度
选一位同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做标记
观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子上的标记重合，测数据，利用相似
三角形的判定及性质可求出旗杆的长。
应用提高：
设计一种方案，测量学校教学楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。
分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三边对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。
解答：测量过程如下：
1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。
2、测出CF、CH的距离。
大楼 3、算出KE的长度。
4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。
标杆 5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴。
6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。
7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。
探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。
2．大楼的高度=AB+人高。
3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以致用。
1.如图1，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C， OB中点D，测得CD=31.4m 求AB长。 (AB=62.8m)
(2)
2. 如图2, 为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。 (在地面上另作 Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°, 测得 A’C’=16.35米，得 AC=16.35米 ).
预 备 知 识
预 习 检 测
课 堂 合 作
B
B’ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
C
C’
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT A’
d
D
H
h
g
h
d
镜子
D
H
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《余弦、正切、余切》
序 号： （ 3 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版88----90
学习目标：1.能记住余弦、正切、余切的定义
2.知道余弦、正切、余切的取值范围
3. 能根据余弦、正切、余切的定义进行计算
重 点：能根据余弦、正切、余切的定义进行计算
难 点：能根据余弦、正切、余切的定义进行计算
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1.正弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦,
记作sinA，
即:sinA=
2.根据右图，求sinA和sinB的值。
自主预习教材88---90页，完成下列各题：
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。则有：
sinA= cosA= tanA= cotA=
sinB= cosB= tanB= cotB=
2. 已知 在中，，，求的另外三个三角函数值。
探究一：余弦、正切、余切的定义
如图，Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’=α，
那么（1）有什么关系？
（2）有什么关系？
（3）有什么关系？
归纳：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的（ ）与（ ）、（ ）与（ ）、（ ）与（ ）的比值是唯一确定的。
余弦的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比
叫做∠ A的余弦。记作cosA，即
正切的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比
叫做∠ A的正切。记作tanA，即
余切的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比
叫做∠ A的余切。记作cotA，即
三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做锐角A的三角函数。
探究二：余弦、正切、余切的取值范围分别是什么？
（ 提示：根据它们的定义和直角三角形中直角边与斜边的大小关系）
结论是：
探究三：如何求锐角三角函数值？
1.如下图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求∠A的四个三角函数的值。
跟踪练习：求出1题中∠B的四个三角函数的值。
已知 在中，，，求的另外三个三角函数值．
跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求sinA、cosB的值。
3. 已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(2 ,3)，
求α的四个三角函数值。
4.在Rt△ABC中，∠C=90°,cosA=4/5 , AB=10, 求AC、tanB.
跟踪练习：
Rt△ABC中，∠C=90°，, 求BC的长和∠A的三角函数值。
5.如图，在△ABC中， AB=BC=5，sinA=4/5，求ABC的面积。
在△ABC中，∠B=90 ，BC=3，AC=4，则tanA= （ ），cosA=（ ）
2根据右图，求∠A和∠B的三角函数值。
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，求cosB的值。
4.（拓展题）如图，在四边形ABCD中，∠BAD= ∠BDC=90°，且AD=3，, 求四边形ABCD的面积。
课 前 准 备
A
C
B
对边
斜边
B
6
C
8
A
预 习 检 测
A
C
B
课 堂 合 作
A
C
B
α
A’
C’
B’
α
A
C
B
对边a
邻边b
斜边c
A
C
B
x
o
y
P(2,3)
α
B
A
C
达 标 检 测
3
5
A
C
B
A
C
B
B
A
C
D
课 后 反 思课 题：《特殊角的三角函数5》
序 号： （ 5 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 90页探索开始----91页练习结束
学习目标：1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
3、了解锐角三角函数的增减性。
重 点：
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。
难 点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
学法指导：合作探究
学 习 过 程
预习教材90页探索开始----91页练习结束，完成下列各题：
1填表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
cotα
2求下列各式的值：
（1）sin30°+cos30° （2）sin 45°-cos30° (3)+tan60°-tan30°
在Rt△ABC中，∠C为直角，锐角A的三角函数是怎么定义的？
记 作 定 义
正 弦
余 弦
正 切
探索一：探索30°、45°、60°特殊角的三角函数值
1请同学们先分别画出含有30°45°60°的直角三角形,再分别求出它们的四个三角函数值。
（1）归纳结果:
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
cotA
（2）.请同学们熟记上表中的相关数据。
（3）.请同学们两个一组相互考考看，谁记得又快又准。
2.学以致用：
（1）求下列各式的值：
2sin30°- cos45° sin60°· cos60°
tans45°- sin30°-cos60°
跟踪练习：
（1）tan45°- sin30° （2）sin60°· tan30°-cos45°
(3)cos245°+tg60°·cos30° （4）
（2）求出下列各锐角的度数：
； ；
跟踪练习： ；
求出下列各锐角的度数：
跟踪练习：
如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
跟踪练习：如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α．．
（5）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，求sinB的值.
探究二：锐角三角函数的增减性
认真观察一下特殊角三角函数值表格,你能发现各种三角函数的增减性吗？
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
cotA
归纳：锐角三角函数的增减性
一个锐角的正弦值与正切值随着角度的增大而（ ）；
一个锐角的余弦值与余切值随着（ ）的增大而（ ）。
学以致用：
1比较大小：sin85° sin73° ， sin35° cos65°
跟踪练习：比较大小：tan27° tan73° ， cot35° tan47°
2已知∠A为锐角，且cosA≤ ，那么（ ）
A 0°<∠A≤60° B 60°≤∠A<90° C 0°<∠A≤30° D 30°≤ ∠A ≤ 90°
一填空：
1. ，则锐角∠A=
2.在锐角△ABC中sinA-=0，1-cosB=0，则∠C= .
2.比较大小：sin65° sin63° ， sin15° cos55°
二．求下列各式的值：
（1）3tan30°-tan45°+2sin60° （2）
(3)2sin30°+3tg30°+ctg45° （4）
解答题：
1在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，求∠A，∠B的度数
.
2如图，在四边形ABCD中，∠A=60°， ∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，
求四边形ABCD的面积.
预 习 检 测
课 前 准 备
课 堂 合 作
达 标 检 测
2
3
A
B
C
D
E
60°
课 后 反 思课 题：《解直角三角形---坡度问题》
序 号： （ 10 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 97---98练习结束
学习目标：
1. 理解坡度的有关术语
2.用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度（坡比）问题。
3.进一步培养分析问题、解决问题的能力。
4.渗透数形结合的思想方法，进一步培养用数学的意识。
重 点：解决有关坡度的实际问题．
难 点：理解坡度的有关术语
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 97---98练习结束，完成下列各题
（1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
（2）已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度i=________，坡角=______度．
（3）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？说明理由．
坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，作图说明理由．
1.三角函数定义。
sinA=（ ）,cosA=（ ）, tanA=（ ），cotA=（ ）
2.直角三角形的边角关系:
（1）三边关系： 。
（2）两锐角关系： 。
（3）边角关系：
。
探究一 坡角与坡度的定义
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示，常写成ｉ＝（或写成i=1:m）的形式。
【结合图形思考】:
是的哪两边在相比？
这两边的比其实就是的什么三角函数？
归纳：坡度其实就是坡角的（ ）。
学以致用：
1已知一段坡面上，铅直高度为，水平宽度为1，则坡度i=（ ），坡角为（ ）。
2已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度i=（ ），坡角为（ ）。
3一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
4一段坡面的坡度i为3：2，换成1：m的形式为（ ）
5小明沿着坡度为1:3的山坡向上走了500m，则他升高了（ ）m.
探究二 解决与坡度有关的实际问题
问题1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
问题2 如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是l0米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为30°若新坡脚前需留2 ．5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除 请说明理由(参考数据)
问题3 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如下图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
引导点拨：
图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
问题4利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
1．如图，一水库迎水坡AB的坡度︰，则该坡的坡角HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"= 。
2．小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了__________m。
3．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )4．（江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，
同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
2．（ 四川泸州）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
预 习 检 测
课 前 准 备
课 堂 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《锐角三角函数间的关系》
序 号： （ 4）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 （补充内容）
学习目标： 1 知道互余两角的三角函数关系，并能用它把正弦、余弦和正切、余切互相转化。
2记住同角三角函数的关系，并能用它进行计算。
重 点：能用同角三角函数之间的关系进行相关计算。
难 点：互为余角的两个锐角三角函数之间的关系。
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习导学案上《课堂合作》部分内容，完成下列各题:
1.计算：
（1）sin231°+cos231°＝________ （2）sin245°+cos245°＝________
（3）sin266°+cos266°＝________ （4）tan37°·cot37°＝________
（5）tan49°·cot49°＝________ （6）tan67°·cot67°＝________
2.计算：
（1）sin229°+sin261°＝________ （2）sin245°+sin245°＝________
（3）cos255°+cos235°＝________ （4）cos275°+cos215°＝________
（5）tan30°·tan60°＝________ （6）tan71°·tan19°＝________
Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则
sinA=________， cosB=_________,
tanA=________， cotB=_________，
sinB=________， cosA=_________,
tanB=________， cotA=_________。
探究一：互余两角的三角函数关系
在Rt△ABC中,∠C=90°，sinA和cosB有什么关系
提示：先作图，再利用sinA和cosB的定义把sinA和cosB分别表示出来。
结论：
在Rt△ABC中,∠C=90°，tanA和cotB有什么关系
结论：
综上，可以归纳出正弦、余弦和正切、余切互相转化的余角公式：
若A为锐角，则有：
sinA=cos(90°-A) cosA=sin(90°-A)
语言表述：
tanA=cot(90°-A) cotA=tan(90°-A)
语言表述：
学以致用：
1.把下列正弦、余弦和正切、余切互化：
Sin35 cos27 tan49 cot76
计算 sin5-cos85 cot39-tan51
跟踪练习：
1.如果α是锐角，且cosα= ，那么sin(90°-α)=( )
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，求cosB的值。
探究二：同角三角函数的关系
利用三角函数定义证明（为锐角）：
(2) tanA·cotA=1
(3)
学以致用：
1计算：
sin255°+cos255°＝________ sin225°+sin265°＝________
Tan38°·cot38°＝________ cos2(50°+)+cos2(40°-)=________
2已知sin2α+cos231°＝1，则锐角α＝________。
跟踪练习：若tanα﹒tan35°＝1，则锐角α＝________。
3计算：sin21°+ sin22°+……+ sin288°+ sin289°
4在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，求sinA。
跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，求cosA。
5在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=, 求tanB。
跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=, 求cotA。
6在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=,求cotB。
跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,求tanB。
7若α为锐角，tana=3，求的值.
跟踪练习：若α为锐角，tana=，求的值.
1．计算：
（1） sin261°+cos261°＝________ （2）tan28°·cot28°＝________
（3） sin233°+sin257°＝________
（4） cos2(50°+)+cos2(40°-)-tan(30°-)tan(60°+)＝_____
（5） sin2＋sin2(90°－) =_______(0°＜＜90°）
2.若：sin236° +sin2α＝1，则锐角α＝________。
3.若tan56°﹒cotβ＝1，则锐角β＝________。
4. 已知A为锐角，sinA=cos500 ， 则∠A＝______
5.计算：tan30°tan60°+cos230°+ cos260°-tan5°﹒tan85°
计算：sin266°－tan54°tan36°＋sin224°
计算：tan1°﹒tan2°﹒tan3°﹒……﹒tan89°
8.在△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，求tanB。
预 习 检 测
课 前 准 备
课 堂 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《用计算器求锐角三角函数值》
序 号： （ 6 ）
年 级： 九年级 单元名称：第25章解直角三角形
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容： 华东师大版 91---93
学习目标： 1利用计算器求出任意一个锐角的四个三角形函值；
2同时已知一个锐角的三角形函数值可求出这个锐角.
重 点：利用计算器求三角函数值和锐角.
难 点：用计数器求锐角三角函数值是要注意按键顺序.
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习教材91---93页，完成下列各题：
1求下列三角函数值（精确到0.0001）。
（1）Sin36, （2）cos3738′59″, （3）tαn56゜36′47″， （4）cot86゜56′33″
2已知锐角α的三角函数值，使用计算器求锐角α（精确到1′）。
（1）sinα=0.4657 （2）cosα=0.9536 （3）tanα=2.2579 （4）cotα=0.7467
1.30° 、45°、60° 的三角函数值.
2.计算：
2）
3.△ABC中，求△ABC的三个内角.
同学们, 前面我们学习了特殊角30°、45°、60°的三角函数值, 但一些非特殊角(如17°、56°、
89°等)的三角函数值又怎么求呢 这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
探究一：求已知锐角的三角函数值：
问题1、求下列三角函数值 （精确到0.0001）。
（1）sin63゜52′41″ （2）cos3728′58″, （3）tαn68゜46′
归纳步骤：
跟踪练习：求下列三角函数值（精确到0.0001）。
sin24, （2）cos5142′20″, （3）tαn30゜21′
问题2、求下列三角函数值 （精确到0.0001）。
（1 ）cot70゜45′ （2）cot48゜39′28″
归纳步骤：
跟踪练习：求下列三角函数值（精确到0.0001）。
（1）cot85゜35′22″ （2）cot79゜47′40″
探究二：由锐角三角函数值求锐角
问题3、求下列各锐角的值（精确到1′）。
（1）sina= 0.3859 （2）cosa=0.6793 （3）tan A=0.7410
归纳步骤：
跟踪练习： 求下列各锐角的值（精确到1′）。
（1）sina= 0.5890 （2）cosB=0.3746 （3）tan A=4.5376
问题4、求下列各锐角的值（精确到1′）。
（1）cot x=0.1950 （2）cot x=1.4794
归纳步骤：
跟踪练习：求下列各锐角的值（精确到1′）。
cot a=3.4573 （2）cot β=0.3797
注意：由角a的三角函数值求角a，它与求角a的三角函数值是一个“互逆”的过程.
问题5 在Rt△ABC中，∠C＝90，已知AC＝21，AB＝29，求∠A的度数
跟踪练习：在Rt△ABC中，∠C＝90，BC:AC＝3:4，求∠B的度数
问题6 一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.
1用计算器求下式的值.(精确到0.0001)
sin81°32′17″+cos38°43′47″+tan47°43′39″+cot78°27′38″
2根据下列条件求∠θ的大小（精确到1′）。
tanθ=2.988 8; (2)sinθ=0.395 7; (3)cosθ=0.785 0; (4)tanθ=0.897 2.
3一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m,其铅直高度上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.
4如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到1 ).
5等腰△ABC中，顶角∠ACB＝108， 腰AC＝10cm，求底边AB的长及△ABC的面积.
预 习 检 测
课 前 准 备
课 堂 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思
