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专题07：整式的加减
一、单选题
1．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
A． B． C． D．
2．化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ）
A．2b B．﹣2b C．4a D．4a
3．若代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，则m2019n2020的值为（ ）
A．﹣32019 B．32019 C．32020 D．﹣32020
4．若，则表示的多项式是（ ）
A． B． C． D．
5．对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1
C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
7．如图，将图1中的长方形纸片前成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（ ）
A．只需知道图1中大长方形的周长即可
B．只需知道图2中大长方形的周长即可
C．只需知道③号正方形的周长即可
D．只需知道⑤号长方形的周长即可
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步：同学拿出三张扑克牌给同学；
第二步：同学拿出四张扑克牌给同学；
第三步：同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学.
请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．当时，的值为18，则的值为（ ）
A．40 B．42 C．46 D．56
二、填空题
11．已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则2a+3b的值 _____．
12．单项式的系数是，次数是，则____．
13．若 ，则 =_____________．
14．若代数式的值与字母所取的值无关，代数式______．
15．润城枣糕是阳城的地方特产，小明妈妈做了m个枣糕售卖，有三个顾客先后来购买．第一位顾客买走了，小明妈妈又送给他一个；第二位顾客买走了剩下的，小明妈妈又送给她一个；第三位顾客再买走剩下的，小明妈妈又送给他一个，用代数式表示小明妈妈最后剩下的枣糕数是_____．
16．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______．
17．如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地．
（1）当修筑的道路宽为2米时，耕地面积为_________平方米．
（2）当修筑的道路宽为时，道路所占的面积为___________（用含a的式子表示）平方米．
18．若实数，满足，，则________．
19．若，求：=________．
20．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
三、解答题
21．计算：
(1)
(2)
22．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，化简：
23．已知，化简代数式并求值．
24．如图，将长和宽分别是a、b的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a、b、x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当，且剪去部分的正方形的边长为最小的正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积；
(3)当，若x取整数，以x作为高，将纸片剩余部分折成无盖长方体，求长方体的体积最大值．
25．阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．例如：计算时，可将看成一个整体，合并同类项得，再利用分配律去括号得．
(1)若已知，请你利用整体代换思想求代数式的值；
(2)一正方形边长为，将此正方形的边长均增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求的值．
26．已知多项式，．
(1)求A－B；
(2)若多项式A－B的值与字母x的取值无关，求a，b的值；
(3)在（2）的条件下，求：．
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专题07：整式的加减
一、单选题
1．两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差即可．
【详解】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即ym，
图①中阴影部分的周长为2（n﹣2y+m）＝2n﹣4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y，
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y﹣（2n﹣4y+2m）＝10y﹣2mm﹣2m．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ）
A．2b B．﹣2b C．4a D．4a
【答案】B
【分析】先去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：（2a﹣b）﹣（2a+b）
＝2a﹣b﹣2a﹣b
＝﹣2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键．
3．若代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，则m2019n2020的值为（ ）
A．﹣32019 B．32019 C．32020 D．﹣32020
【答案】A
【分析】根据关于字母x的代数式2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）的值与x的取值无关，可得x2、x的系数都为零，可求出m、n值，代入即可求得答案．
【详解】解：2mx2+4x﹣2（y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1）＝（2m+6）x2+（4+4n）x﹣2y2+6y﹣2．
由代数式的值与x值无关，得x2及x的系数均为0，
∴2m+6＝0，4+4n＝0，
解得：m＝﹣3，n＝﹣1．
所以m2019n2020＝（﹣3）2019（﹣1）2020＝﹣32019．
故选：A．
【点睛】本题考查整式值与字母无关类型问题，代数式求值，根据整式值与x取值无关求出m、n值是解的关键．
4．若，则表示的多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整式加减法的关系列式计算即可．
【详解】设表示的多项式是M，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减运算，熟记加数与和的关系是解题的关键，需要注意符号．
5．对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
6．定义运算：把缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！，4！．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1
C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
【答案】A
【分析】利用乘法分配律计算求值即可；
【详解】解：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n
=1！×1＋2！×（3-1）＋3！×（4-1）＋…＋n！×（n+1-1）
=1！＋3！-2！＋4！-3！＋…＋（n+1）！-n！
=1！ -2！＋（n+1）！
=（n＋1）！－1
故选： A．
【点睛】本题考查了数字规律的探索，利用乘法分配律变形求值是解题关键．
7．如图，将图1中的长方形纸片前成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（ ）
A．只需知道图1中大长方形的周长即可
B．只需知道图2中大长方形的周长即可
C．只需知道③号正方形的周长即可
D．只需知道⑤号长方形的周长即可
【答案】B
【分析】先设①号正方形的边长为a，②号正方形的边长为b，则③号正方形的边长为a+b，④号正方形的边长为2a+b，⑤号长方形的长为3a+b，宽为b-a， 再求出阴影图形的周长6（a+b），然后分别求出图1、图2，③，⑤的周长看是否能求出a+b即可
【详解】解：设①号正方形的边长为a，②号正方形的边长为b，则③号正方形的边长为a+b，④号正方形的边长为2a+b，⑤号长方形的长为3a+b，宽为b-a，如图，AD=b-a+b+a=2b，AB=a+b+2a+b-b=3a+b
∴矩形ABCD的周长为2(AB+AD)=2(3a+b+2b)=6(a+b) ,
∴阴影部分图形的周长=6(a+b)
A．图1中大长方形的周长为：2(b+a+b+a+b+2a+b)=8(a+b)，只需知道图1中大长方形的周长，可求a+b，便可求出阴影部分图形的周长=6(a+b) ，故选项A正确，不合题意；
B．图2中大长方形的周长为2(b-a+b+2a+b+3a+2b)=2(4a+5b) ，只需知道图2中大长方形的周长，无法求出a+b，故选项B不正确，符合题意；
C．③号正方形周长为:4(a+b)，只需知道③号正方形的周长可求a+b，便可求出阴影部分图形的周长=6(a+b) ，故选项C正确，不合题意；
D．⑤号正方形周长为:2(3a+b+b-a)=4(a+b)，只需知道⑤号长方形的周长可求a+b，便可求出阴影部分图形的周长=6(a+b) ，故选项D正确，不合题意；
故答案为：B．
【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的加减运算法则进行化简即可求出答案．
【详解】解：A、m2n与﹣2mn2不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、2x与3y不是同类项，故不能合并，故B不符合题意．
C、原式＝2a﹣6b，故C不符合题意．
D、原式＝﹣6ab，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
9．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步：同学拿出三张扑克牌给同学；
第二步：同学拿出四张扑克牌给同学；
第三步：同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学.
请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】设每人有m张牌，根据题意列出算式，进行计算即可解答．
【详解】解：设每人有m张牌，B同学从A同学处拿来3张扑克牌，还从C同学处拿来4张扑克牌后，则B同学有（m＋3＋4）张牌，此时A同学有（m 3）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌张数为：
m＋3＋4 （m 3）
＝m＋3＋4 m＋3
＝10，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减，根据题目的已知找出相应的数量关系是解题的关键．
10．当时，的值为18，则的值为（ ）
A．40 B．42 C．46 D．56
【答案】B
【分析】把代入计算结果18，变形后得，整体代入计算即可.
【详解】当时，，所以，所以，则，
故选：B．
【点睛】本题考查了已知字母数值，求代数式的值，整体代换求值，掌握整体代换求值是解题的关键.
二、填空题
11．已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，则2a+3b的值 _____．
【答案】
【分析】根据合并后不含三次项，二次项，可得含三次项，二次项的系数为零，可得a，b的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2
＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2，
∵x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，
∴a+5＝0，3﹣7﹣b＝0，
解得：a＝﹣5，b＝﹣4，
∴2a+3b＝2×（﹣5）+3×（﹣4）＝﹣22．
故答案为：﹣22．
【点睛】本题考查了合并同类项，利用合并后不含三次项，二次项得出关于a、b的方程，是解题关键．
12．单项式的系数是，次数是，则____．
【答案】
【分析】根据单项式的定义求出和，代入求值即可．
【详解】解：∵单项式的系数是，次数是，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握单项式定义，得到和的值是解决问题的关键．
13．若 ，则 =_____________．
【答案】1
【分析】根据得x+y=－3xy，分解整体代入计算即可．
【详解】因为，
所以x+y=－3xy，
所以
=1．
【点睛】本题考查了分式的条件求值，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．
14．若代数式的值与字母所取的值无关，代数式______．
【答案】##-1.25
【分析】先化简代数式，根据题意可知含项的系数为0，进而求得的值，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵
∵代数式的值与字母所取的值无关，
∴
解得
当时，
．
故答案为．
【点睛】本题考查的加减混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识．
15．润城枣糕是阳城的地方特产，小明妈妈做了m个枣糕售卖，有三个顾客先后来购买．第一位顾客买走了，小明妈妈又送给他一个；第二位顾客买走了剩下的，小明妈妈又送给她一个；第三位顾客再买走剩下的，小明妈妈又送给他一个，用代数式表示小明妈妈最后剩下的枣糕数是_____．
【答案】
【分析】用代数式表示出每次顾客买的数量和妈妈送了之后剩下的数量并化简，即可得到最后剩下的枣糕数．
【详解】解：第一位顾客买走了，即，小明妈妈又送给他一个，此时剩下；第二位顾客买走了剩下的，即，小明妈妈又送给他一个，此时剩下；第三位顾客再买走剩下的，即，小明妈妈又送给他一个，此时剩下，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式和整式加减运算的化简，解题的关键是根据题中的条件用字母表示出各个量．
16．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______．
【答案】－b
【分析】根据数轴上点的位置得到c
0，c-b<0，由此化简绝对值及算术平方根，再计算即可．
【详解】解：由数轴得c∴a-c>0，c-b<0，
∴
=-a+a-c-(b-c)
=-c-b+c
=-b，
故答案为：-b．
【点睛】此题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，计算算术平方根，正确理解数轴上点的位置得到式子的符号是解题的关键．
17．如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地．
（1）当修筑的道路宽为2米时，耕地面积为_________平方米．
（2）当修筑的道路宽为时，道路所占的面积为___________（用含a的式子表示）平方米．
【答案】 540 ##
【分析】（1）将阴影部分平移之后，余下部分为长方形，根据长和宽求解即可；
（2）将阴影部分平移之后，将两部分阴影面积相加，减去重叠部分的面积即可．
【详解】将阴影部分平移后如图所示：
（1）当修筑的道路宽为2米时，
耕地的长为：米，耕地的宽为：米，
∴耕地面积为：平方米，
故答案为：540；
（2）当修筑的道路宽为米时，
道路所占的面积为：（平方米），
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式和整式的加减，解题的关键是利用平移将耕地部分组成一个长方形，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．若实数，满足，，则________．
【答案】 1或5
【分析】根据绝对值的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵|a|＝2，
∴a＝±2，
当a＝2时，|4 b|＝1 2＝ 1，此时b不存在；
当a＝ 2时，|4 b|＝3，
∴4 b＝3或4 b＝ 3，
即b＝1或b＝7，
当a＝ 2，b＝1时，a＋b＝ 1；
当a＝ 2，b＝7时，a＋b＝5．
故答案为： 1或5．
【点睛】本题考查绝对值的意义，理解绝对值的意义是正确解答的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
19．若，求：=________．
【答案】-8
【分析】把代入，可得到，把代入，可得到，
将两个式子相减即可算出结果．
【详解】解：把代入，，
得到： ①
把代入，，
得到： ②
由得：
即：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数值求值，灵活运用赋值法是解题的关键．
20．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
【答案】49
【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规律即可得答案．
【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
三、解答题
21．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据合并同类项法则把系数相加减，字母与字母的次数不变，即可求解；
（2）先去掉括号，再合并同类项；
（1）
解：原式=
=；
（2）
解：原式=
=．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，化简：
【答案】0
【分析】先由数轴得出，|c|>|a|>|b|，从而得出b-a<0，2a-b>0，a-c>0，然后据此化简绝对值即可求解．
【详解】解：根据数轴可知：，|c|>|a|>|b|，
∴b-a<0，2a-b>0，a-c>0，
原式，
．
【点睛】本题考查数轴，绝对值化简，根据数轴判定出b-a<0，2a-b>0，a-c>0是解题的关键．
23．已知，化简代数式并求值．
【答案】，96
【分析】根据非负性得出，，再按照去括号、合并同类项的顺序化简代数式，最后代入求值即可．
【详解】∵，
∴，，
解出得：，，
化简，得：
代入值，得．
【点睛】本题考查了非负性，整式的化简求值，熟练掌握整式的化简方法是解题的关键．
24．如图，将长和宽分别是a、b的矩形纸片折成一个无盖的长方体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a、b、x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当，且剪去部分的正方形的边长为最小的正整数时，求无盖长方体纸盒的底面积；
(3)当，若x取整数，以x作为高，将纸片剩余部分折成无盖长方体，求长方体的体积最大值．
【答案】(1)
(2)48
(3)48
【分析】（1）根据图形可知剩余部分的面积＝长方形的面积﹣4个小正方形的面积，从而可以用代数式表示出来；
（2）根据题意可以求得正方形边长x的值，从而求出长方体纸盒的底面积．
（3）根据题意可以求得x的取值范围，然后由x取整数，从而可以分别求各种情况下长方体的体积，进而求出长方体体积的最大值．
（1）
由题意得，
纸片剩余部分的面积是ab﹣4x2；
（2）
设：正方形边长为x
由已知得，当a＝10，b＝8时，
S＝（a﹣2x）（b﹣2x）
＝（10﹣2x）×（8﹣2x）
∵边长为最小的正整数时
∴x＝1，
当x＝1时，S＝（10﹣2×1）（8﹣2×1）＝48，
即底面积是48．
（3）
由已知得，当a＝10，b＝8时，
V＝（a﹣2x）（b﹣2x）x
＝（10﹣2x）×（8﹣2x）×x
∵10﹣2x＞0且8﹣2x＞0，
解得，x＜4，
∵x取整数，
∴x＝1或x＝2或x＝3，
当x＝1时，V＝（10﹣2×1）（8﹣2×1）×1＝48，
当x＝2时，V＝（10﹣2×2）（8﹣2×2）×2＝48，
当x＝3时，V＝（10﹣2×3）（8﹣2×3）×3＝24，
即长方体的体积最大值是48．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25．阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．例如：计算时，可将看成一个整体，合并同类项得，再利用分配律去括号得．
(1)若已知，请你利用整体代换思想求代数式的值；
(2)一正方形边长为，将此正方形的边长均增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）把2m+n看作一个整体，将化简为3（2m+n）-10，然后代入计算；
（2）将2m+n看成一个整体，将[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9进行求解即可．
（1）
因为，
所以当时，，
所以代数式的值为．
（2）
由题意可得，
所以，
解得，所以的值为4．
【点睛】本题考查整式的化简求值问题及完全平方公式，解题的关键是学会用整体的思想思考问题．
26．已知多项式，．
(1)求A－B；
(2)若多项式A－B的值与字母x的取值无关，求a，b的值；
(3)在（2）的条件下，求：．
【答案】(1)
(2)，
(3)5249
【分析】（1）先列式，再根据整式减法法则计算即可；
（2）与字母x的取值无关，则含x项的系数为0，即可求值；
（3）找到规律计算即可．
（1）
；
（2）
由（1）结论可知，
多项式的值与字母的取值无关；
∴
∴
（3）
当时
．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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