5.3.2利用导数研究函数的极值 同步训练A-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（含解析）

5.3.2利用导数研究函数的极值专项训练A
一．选择题（共8小题）
1．已知函数的导函数的图象如图，若在处有极值，则的值为　　
A． B．0 C．3 D．7
2．若函数在处取极值0，则　　
A．0 B．2 C． D．1
3．已知定义在，上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为　　
①的值域为（d），；
②在，上单调递增，在，上单调递减；
③的极大值点为，极小值点为；
④有两个零点．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知是函数的极小值点，则函数的极小值为　　
A．0 B． C．2 D．4
5．等差数列中的，是函数的极值点，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知函数在处取得极值，则　　
A．1 B．2 C． D．
7．已知函数在处取得极小值，则的最小值为　　
A．4 B．5 C．9 D．10
8．当函数取得极小值时，的值为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是　　
A．是函数的极小值点
B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增
D．函数在处切线的斜率小于零
10．已知函数，下列结论中正确的是　　
A．函数存在零点
B．函数的图象有可能关于轴对称
C．若是的极小值点，则在区间单调递减
D．若是 的极值点，则
11．设函数，，给定下列命题，其中是正确命题的是　　
A．不等式的解集为，
B．函数在单调递增，在单调递减
C．当时，恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
12．如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是　　
A．在处导函数有极大值
B．在，处导函数有极小值
C．在处函数有极大值
D．在处函数有极小值
三．填空题（共4小题）
13．若函数无极值点，则实数的取值范围是　　．
14．函数的极大值为，极小值为，则　　；
15．已知函数，那么的极小值是　　．
16．函数在处有极值，则的值是　　．
四．解答题（共6小题）
17．若函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
18．已知函数．
（1）若时，讨论函数的单调性；
（2）求函数的极值点．
19．函数在点，（1）处的切线斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值．
20．已知函数，在处的切线方程是，其中是自然对数的底数．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的极值．
21．设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若函数的图象与轴仅有一个交点，求实数的取值范围．
22．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若，求的单调区间．
5.3.2利用导数研究函数的极值专项训练A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由图象可知当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
当时，，
所以在处取得极大值，
所以的值为0．
故选：．
2．【解答】解：,
则,
若在处取极值0，
则,解得：,
故,
故选：．
3．【解答】解：根据导函数的图象可知，
当，时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在，上单调递减；
当，时，，函数在，上单调递增，③正确；
根据单调性可知，函数的最小值为，（e），最大值为（c），，故①不正确；
由图象可知，在，上单调递增，在，上单调递减，故②正确；
当且（e）时，函数无零点，故④错误．
故选：．
4．【解答】解：由，得，
是的极小值点，（1），
，，经检验时，符合题意，
，，
（1）．
故选：．
5．【解答】解：，
，
而，是函数的极值点，
则，是方程的两个根，
，而数列是等差数列，
则，即，
，
故选：．
6．【解答】解：，
由题意可得，，
，此时,
易得，当时，,函数单调递增，当时，,函数单调递减，
故当时，函数取得极大值，满足题意．
故选：．
7．【解答】解：函数，，
在处取得极小值，可得，
则．当且仅当时取等号．
则的最小值为：9．
故选：．
8．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，
其导数，
若，则，
在区间上，，函数为增函数，
在区间，上，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，
在区间上，，函数为减函数，
在区间，上，，函数为增函数，
则当时，函数取得极小值，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：由图象得时，，时，，
故在递减，在递增，
故是函数的极小值点，
故选：．
10．【解答】解：对于选项：由于三次函数的三次项系数为正值，当 时，，当 时，，又因为三次函数图象是连续不断的，所以函数存在零点，故正确；
对于选项：因为三次函数不可能为偶函数，所以不可能关于轴对称，故错误；
对于选项：由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点，，则为极小值点，即，则在区间上是先递增后递减，故错误；
对于选项：根据导数与极值的关系，显然正确．
故选：．
11．【解答】解：因为函数，定义域，
所以，
则，
，
对于，，即，，即，故正确．
对于，，当时，，单调递增，故错误．
对于，若时，总有恒成立，
则，在上恒成立，
令，，
只需要恒成立
即，
令，则，
令，解得，
故在上递增，在上递减，
故（e），
故，，故成立．
对于，若函数有两个极值点，
则有两个零点，
即，，
令，则，
在递增，在递减，
（1），
即，，故正确，
故选：．
12．【解答】解：结合函数图像可知，在处导函数有极大值，正确；在，处导函数有极小值，正确；
导数与单调性的关系可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：，
，
若函数在上无极值点，
即最多1个实数根，
故△，解得：，
故答案为：，．
14．【解答】解：，，令，得 或
令，解得或；令，解得，
所以，函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为，
，因此，，
故答案为：．
15．【解答】解：，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
故的极小值是（2），
故答案为：．
16．【解答】解：，
，
若函数在处有极值，
必有，即，解得：，
经检验，满足题意，
故答案为：2．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：函数，
，
（1）由题意知，当时，函数有极值，
即，解得
故所求函数的解析式为；
（2）由（1）得，令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
0 2
0 0
单调递增 2 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值2，当时，有极小值；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，
则有三个实数根，
即与有三个交点，
由（2）可得函数的图象：
所以实数的取值范围为：．
18．【解答】解：（1）时，，
，
令，解得，
当时，即时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减，
故函数在上单调递减，在，上单调递增；
（2）：函数的定义域为，
当时，，
；
令得，（舍去）；
经检验，，是函数的极值小点；
当时，；
当时，，当时，；
当时，
当时，，当时，先负后正；
令得，（舍去）；
经检验，，是函数的极值小点；
当时，
当时，，当时，；
故是函数的极值小点；
当时，
令得，，
经检验，，是函数的极值大点，
，是函数的极值小点；
且当时，，当时，；
故是函数的极值小点．
19．【解答】解：（1），
在点，（1）处的切线斜率为，
；
（2）由（1）得，，，
令，解得，令，解得，
的单调递减区间为，单调递增区间为，，在处取得极小值，无极大值．
20．【解答】解：（1），得，
由在处的切线方程是，知切点为，斜率为，
所以，
解得．
（2），，
令得，
1
0
极大值
由表可知，当时，取得极大值1，无极小值．
21．【解答】解：（Ⅰ），
令，得，，
当变化时，，变化情况如下表：
2 3
0 0
极大值 极小值
所以的极大值是（2），极小值是（3），
（Ⅱ）结合（1）的单调性可知，
当（2）或（3），
即或时，曲线与轴仅有一个交点，
所以当，，时，曲线与轴仅有一个交点．
22．【解答】解：（Ⅰ）因为当时，
所以，
由得或．
当变化时，，的变化情况列表如下：
1 2
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
所以当时，取极大值；当时，取极小值．
（Ⅱ），
①当时，，，单调递增．
②当时，，，单调递减，
或，，单调递增，
综上所述，
当时，递增区间为；
当时，递减区间为；的递增区间为和．