第十三章《三角形中的边角关系.命题与证明》单元测试卷（较易）（含答案）

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沪科版初中数学八年级上册第十三章《三角形中的边角关系.命题与证明》单元测试卷
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是( )
A. B. C. D.
如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于( )
A.
B.
C.
D.
已知，，是的三条边长，化简的结果为( )
A. B. C. D.
如图，直线若，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
在中，，则是三角形．( )
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 等腰直角
已知中，，，且第三边的长度是偶数，则的长度可以是( )
A. B. C. D.
下列命题中，为假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
下列句子中，属于命题的是( )
A. 垂线段最短 B. 延长线段到
C. 过点作直线 D. 锐角都相等吗
下列命题是假命题的是( )
A. 在同一平面内，不相交的两条直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 对顶角相等
D. 互补的角是邻补角
下列命题真命题的个数有( )
经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；若，则；同位角相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是( )
A. B. C. D.
下列命题是假命题的是( )
A. 顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形
B. 四个角都相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图所示，四边形为长方形，，已知，则______．
在中，如果，且，那么是 三角形．
命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为______．
命题“如果，那么是______命题填“真”或“假”
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
在平面直角坐标系中，已知点，，点，．
画出线段；
直线与直线的位置关系是______；直接写答案
若的面积是面积的倍，求的值．
已知点试分别根据下列条件，解决下列问题：
点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标；
点在第三象限内，试问满足什么条件；
当时，点与、两点组成三角形，试求的面积．
如图，的顶点都在平面直角坐标系中的坐标轴上，的面积，，，求三个顶点的坐标．
如图，已知中，，动点在的平行线上，联结．
如图，若，说明的理由；
如图，当时，是什么三角形？为什么？
过点作的垂线，垂足为，若，求的度数．
如图，在中，是上的中线，点在线段上且，线段与线段交于点，已知的面积为．
求和的面积；
求四边形的面积．
如图，点是外一点，连接、，与交于点下列三个等式：请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知：______，______．
求证：______．
在，，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若______填序号，求证：∽．
阅读黑板上老师的解题过程，解决下列问题，
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例，如图，是的平分线，，但它们不是对顶角．
判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出反例．
两个负数之差为负数；
如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等；
互补的角是同旁内角．要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述
已知：如图，在中，点在边的延长线上，，平分求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：，
故选：．
首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】
解：
，，，
，
，
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的三边关系及绝对值性质，利用三角形三边关系去绝对值符号是本题解题的关键，先根据三角形的三边关系判断出与的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】
解：、、为的三条边长
，，
原式
．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出的度数，此题难度不大．
首先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形的外角的知识求出的度数．
【解答】
解：如图，
直线，
，
，
，
，，
，
故选C．
5.【答案】
【解析】解：设，则，
根据三角形内角和定理，，
，
解得，
，，
故该三角形为锐角三角形．
故选：．
设，则，根据三角形内角和定理列出方程，解得，得出该三角形为锐角三角形．
本题考查了三角形内角和定理，能熟记定理的内容是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，
，
任意两边之差小于第三边，
，
，
偶数适合，
故选：．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
本题考查了构成三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，难度适中．
7.【答案】
【解析】解：、对顶角相等，为真命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题为假命题，符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，为真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角的性质，平行公理，平行线的性质，垂线的性质等知识是解题的关键．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质，平行公理，平行线的性质，垂线的性质是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．
根据命题的概念判断即可．
【解答】
解：垂线段最短，是命题；
B.延长线段到，没有作出判断，不是命题；
C.过点作直线，没有作出判断，不是命题；
D.锐角都相等吗，没有作出判断，不是命题．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：、在同一平面内，不相交的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
B、内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
C、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、互补的角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，符合题意，
故选：．
利用平面内两直线的位置关系、平行线的判定、对顶角的性质及邻补角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平面内两直线的位置关系、平行线的判定、对顶角的性质及邻补角的定义等知识，难度不大．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的定理与性质是解题关键．
分别根据平行线的判定与性质以及垂线段和不等式的性质分别判断得出即可．
【解答】
解：经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，
必须是同一平面内，过直线外一点，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
若，则，原命题是假命题；
两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
故选C．
11.【答案】
【解析】解：当时，，而，
“若，则”是假命题，
故选：．
根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则解答．
本题考查的是假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12.【答案】
【解析】解：选项，顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形，这是真命题，故该选项不符合题意；
选项，四个角都相等的四边形，那么每个角都等于，是矩形，这是真命题，故该选项不符合题意；
选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这是真命题，故该选项不符合题意；
选项，对角线还需要互相平分，这是假命题，故该选项符合题意；
故选：．
根据中位线定理和菱形的判定定理判断选项；根据矩形的判定判断选项；根据平行四边形的判定判断选项；根据正方形的判定定理判断选项．
本题考查了命题与定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是长方形，
故答案为：
由题意可得，可得，由三角形的外角性质可求的度数．
本题考查了三角形外角性质，熟练运用长方形的性质是本题的关键．
14.【答案】等腰直角
【解析】解：，，
，
，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
利用三角形内角和定理，求得即可．
本题考查的是三角形内角和定理，关键是要掌握内角和定理
15.【答案】如果，互为相反数，那么
【解析】
【分析】
本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．
根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
【解答】
解：命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为：
如果，互为相反数，那么；
故答案为：如果，互为相反数，那么．
16.【答案】真
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的性质，难度不大．
根据算术平方根进行判断即可．
【解答】
解：命题“如果，那么是真命题，
故答案为：真．
17.【答案】垂直
【解析】解：如图，线段即为所求作的图形：
，，点，，
轴，轴，
．
故答案为：垂直；
由题意可知，，，．
的面积是面积的倍，
，
，
，
．
先在平面直角坐标系中描出点、，再连接即可；
根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，可得轴，轴，所以；
根据的面积是面积的倍列出关于的方程，求出的值即可．
本题考查了作图，平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，坐标与图形性质，三角形的面积，都是基础知识，需熟练掌握．
18.【答案】解：点在过点且与轴平行的直线上，
，
解得，
点的坐标为；
根据题意得，
解得，
点在第三象限内，满足的条件为；
时，点坐标为，如图，
的面积．
【解析】利用与轴平行的直线上点的坐标特征得到，解方程求出得到点坐标；
利用第三象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可；
用一个矩形的面积分别减去三直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了坐标与图形性质．
19.【答案】解：，，，
，
，
点为原点，
，，．
【解析】首先根据面积求得的长，再根据已知条件求得的长，最后求得的长．最后写坐标的时候注意点的位置．
本题考查了三角形的面积，写点的坐标的时候，特别注意根据点所在的位置来确定坐标符号．
20.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：是直角三角形．
理由：，
，
，
，
是直角三角形；
解：当点在点的左边时，如图，
，，
；
当点在点右边时，如图，
，，
．
综上，或．
【解析】由平行线的性质得，再等量代换得，进而根据平行线的判定得结论；
由平行线的性质得，再由得，进而判断三角形的形状；
分两种情况：当点在点的左边时，根据三角形的内角和定理求得结果；当点在点的右边时，根据三角形的外角性质求得结果．
本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，分类讨论的思想方法，灵活应用这些知识解题是关键．
21.【答案】解：是上的中线，
，
，
；
连接，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
四边形的面积．
【解析】根据同高的两个三角形面积比就是它们的底之比求得结果便可；
连接，设，用表示与的面积，进而表示出的面积，再根据的面积列出方程进行解答便可．
本题考查的是三角形面积，同底的两个三角形面积比就是它们高之比；同高的两个三角形面积比就是它们的底之比．本题做出正确的辅助线是解题突破口．
22.【答案】
【解析】解：，．
又，
≌，
．
先组成一个真命题，利用三角形全等的判定求解．
本题考查真假命题，及全等三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】
【解析】解：选择条件，证明过程如下：
四边形的两条对角线交于点，
，
，
∽．
选择条件，可以利用判定两三角形相似．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
24.【答案】解：两个负数之差为负数是假命题，
例如：，不是负数，
所以两个负数之差为负数是假命题；
如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等，是真命题；
互补的角是同旁内角，是假命题，
如图，与互补，但它们不是同旁内角．
【解析】根据有理数的减法法则证明；
根据平行四边形的判定和性质判断即可；
根据补角的概念、同旁内角的概念判断即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理及平行线的判定是解答此题的关键．
25.【答案】略
【解析】略
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