第十三章《三角形中的边角关系.命题与证明》单元测试卷（困难）（含答案）

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沪科版初中数学八年级上册第十三章《三角形中的边角关系.命题与证明》单元测试卷
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在中，，是的中点，如，则( )
A. B. C. D.
如图，点，，在一次函数的图像上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是( )
A.
B.
C.
D.
若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是．( )
A. B.
C. D.
如图，，有图中，，三角之间的关系是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：；；；，其中正确的是( )
A. B. C. D.
如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大，则长的可能值有个．( )
A. B. C. D.
下列命题：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是( )
A. B. C. D.
已知下列命题：
若，则； 若，则；
等边三角形的三个内角都相等；底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知下列命题，其中真命题的个数是( )
若，则；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
在反比例函数中，如果函数值时，那么自变量
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
有下列四个命题：相等的角是对顶角；同位角相等；若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
有下列四个命题：相等的角是对顶角；同位角相等；若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知下列命题：若，，则；若，则；内错角相等，两直线平行；等角的补角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，若保持的一边与平行，则的度数为 ．
点为的重心三角形三条中线的交点，，．
若，则______；
的最大值为______．
如图，在个格子中依次放着分别写有字母的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
每人首次取球时，只能取走个或个球；后续每次可取走个，个或个球；
取走个或个球时，必须从相邻的格子中取走；
最后一个将球取完的人获胜．
若甲首次取走写有，，的个球，接着乙首次也取走个球，则 填“甲”或“乙”一定获胜；
若甲首次取走写有，的个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
某工厂有甲、乙、丙、丁、戊五台车床．若同时启动其中两台车床，加工个型零件所需时间如表：
车床编号 甲、乙 乙、丙 丙、丁 丁、戊 甲、戊
所需时间
则加工型零件最快的一台车床的编号是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
小明和小红在一本数学资料书上看到这样一道竞赛题：“已知的三边长分别为，，，且，求的取值范围”
小明说：“的取值范围，我看不出如何求，但我能求出的长度”你知道小明是如何计算的吗请帮他写出求解的过程．
小红说：“我也看不出如何求的取值范围，但我能用含的式子表示”请帮小红写出过程．
小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案”你知道答案吗请写出过程．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴交于，；与直线交于，且．
求点的坐标和的值；
求，的值；
点为直线上一动点，其横坐标为，，轴于点，交于点，且，求点的坐标．
在中，，三个内角的平分线交于点．
填空：如图，若，则的大小为______度；
如图，过点作，交于点试说明：；
如图，的延长线交于点点是边上的一动点不与点重合，过点作于点，请探索、、三者之间的数量关系．
阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知，求的值．
已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值．
已知，，则______．
如图，在中，，点在上，，点在上，
若，求的度数．
当的度数是______时，是直角三角形．
请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：
如图所示，现有下列个事项：
，，于，于．
以上述个事项中的、、三个作为一个命题的已知条件，作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．
某次数学竞赛中有道选择题，每题分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这道题的得分：
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分
甲
乙
丙
丁 ______
则丁同学的得分是______；
如果有一个同学得了分，他的答案可能是______写出一种即可
在中，，相交于点，试在下列设定的条件中选择若干个条件作为题设，另一个条件作为结论，组合成一个真命题，并写出证明．
；
，分别是，的平分线；
，是的两条高；
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的面积根据和分别以和为底边时，高相等，可知它们的面积比即为与的比，从而得到，进而求得，的面积，再根据三角形的中线分成的两个三角形的面积相等得到答案．
【解答】
解：设中边上的高为，
，，，
，即，
，
，
，
，
是的中点，
，
故选D．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于根据三角形内角和定理得，根据选项中的条件求出三角形的最大角的度数，再判断即可．
【解答】
解：，，
，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
B.，，
，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
C.，：：：：
，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
D.，，
，即三角形不是直角三角形，故本选项正确；
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，解题的关键在于构造出两条平行线被第三条直线所截的图形，进而应用平行线的性质定理题目当中出现了平行线，但是这组平行线并没有被第三条直线所截，所以要在原图当中添加辅助线，使这组平行线被第三直线所截．
【详解】
如图，延长交直线于，
，
，
故选C．

5.【答案】
【解析】
【解答】
解：，
，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
由得，，
，
；故正确；
，，
，
，，
，
，正确，
故选D．
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
根据，和，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
证明，根据的结论，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的中线和三角形的三边关系，根据中线的定义和三角形三边的关系即可解答．
【解答】
解：是边上的中线，的周长比的周长大，
，
，
，
，
又的三边长均为整数，
，，，．
即可能的值有个．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
两点之间线段最短；真命题；
相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是个；
故选：．
根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数、命题与定理等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可．
【解答】
解：当时，如果，那么，错误；
若，则正确，但是若，则错误，错误；
等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，正确；
底角相等的两个等腰三角形不一定全等，错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是个，
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
根据平方根，菱形的判定，平行四边形的判定，反比例函数的性质分析即可得解．
【解答】
解：若，则，故为假命题；
对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故为假命题；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故为真命题；
在反比例函数中，如果函数值时，那么自变量，故为真命题．
故选B ．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
根据对顶角的定义进行判断；根据同位角的知识判断；一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对进行判断．
【解答】
解：对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，假命题；
两直线平行，同位角相等；假命题；
一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；假命题；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以假命题；
真命题的个数为，
故选A．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
根据对顶角的定义进行判断；根据同位角的知识判断；一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对进行判断．
【解答】
解：对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，假命题；
两直线平行，同位角相等；假命题；
一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；假命题；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以假命题；
真命题的个数为，
故选A．
12.【答案】
【解析】解：若，，则，是真命题，
逆命题是若，则，是假命题，
若，则，是假命题，
逆命题是若，则，是真命题，
内错角相等，两直线平行，是真命题，
逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，
等角的补角相等，是真命题，
逆命题是两个角补角相等，则这两个角相等，是真命题，
原命题与逆命题均为真命题的个数是个；
故选B．
根据真命题和假命题的定义，分析出各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．
分和两种情况讨论：当时，先求出，再根据折叠可得出的度数；当时，先求出的度数，根据平行线的性质求出，由三角形的外角求出，由三角形的内角和求出，再根据折叠可得出的度数；
【解答】
解：当时，如图，，
沿折叠到，
，
当时，如图．
在中，，
，
沿折叠到，
，
，
，
．
综上所述的度数为：或．
14.【答案】
【解析】解：延长交于点，连接并延长，，分别交，于点，，过点作，交的延长线于点，则，
，，
≌，
，
点是中点，
是中点，
，
，
，
，
当时，，，
，
，
故答案为：．
当通过点的轨迹圆的圆心时，最大，
过点作，作，分别交于点，，则，且，，
，，
点在以为弦的圆周上运动，
设圆心为点，点为的外心，连接，，，则，，，
，
，，
，
．
探究三角形重心在中线的处，而后用含角的直角三角形的三边关系和斜边上的中线性质解答；
当是外接圆的直径时最大，就最大，此时，，而后用含角的直角三角形三边关系求得的长，用中点性质求得的长，再用勾股定理求出的长，最后运用探究得到的重心性质即可得到结果．
本题主要考查了三角形重心的性质，含角的直角三角形的三边关系，线段所在直线过端点轨迹圆心时取得最值，勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线，探究重心的性质．
15.【答案】乙
、

【解析】解：甲首次取走写有、、的三个球，
还剩下、、、、，
又乙首次也取走三个球，但必须相邻，
乙可以取、、或、、，
若乙取、、只剩下、，
它们不相邻，
甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取、、，只剩下、，
它们不相邻，
甲只能拿走一个，
故乙拿走最后的一个，故乙胜；
故答案为：乙．
甲首次拿走、两个球，还剩下、、、、、，
若乙取三个球，
若乙取、、或、、，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取、、，此时甲取，则、不相邻，则甲胜；
若取、、，此时甲取，则不相邻，则甲胜；
若乙取两个球：
若乙取、，此时甲取、，那么剩下、，不相邻，则甲胜；
若乙取、，此时甲取、，则、不相邻，则甲胜；
若乙取、，
此时甲取、或、，则乙胜；
若甲或，那么乙取或，则乙胜；
若甲取或，那么乙取或，那么剩下两个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取、．
故答案为：、．
由于甲首次取走写有、、的三个球，那么剩下、、、、，而乙首次也取走三个球，但必须相邻，由此分类讨论即可加解决问题；
由于甲首次拿走、两个球，还剩下、、、、、，而乙可以取的球分为若乙取三个球；若乙取两个球：在这两个前提之下讨论解决问题．
本题主要考查了逻辑推理与论证，同时也利用了分类讨论的思想，比较麻烦，对于学生的能力要求比较高．
16.【答案】丙
【解析】
【解答】
解：设甲台车床每小时加工零件个，乙台车床每小时加工零件个，丙台车床每小时加工零件个，丁台车床每小时加工零件个，戊台车床每小时加工零件个，依题意有：
，
，
，
，
，
则，
由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
，，
丙台车床每小时加工零件的个数最多，
加工型零件最快的一台车床的编号是丙．
故答案为：丙．
【分析】
可设甲台车床每小时加工零件个，乙台车床每小时加工零件个，丙台车床每小时加工零件个，丁台车床每小时加工零件个，戊台车床每小时加工零件个，依此可得，，，，，进一步得到，可得，，依此即可求解．
本题考查了逻辑推理问题，关键是设出未知数，根据题意得到关系式是解题关键．
17.【答案】解：，
且，
，
解得；
，
且，
由，
得；
由三角形的三边关系，得：
当，即时，，
当，即时，，
，
的取值范围为．

【解析】本题考查三角形的三边关系，非负数的性质，已知三角形的两边，则第三边的取值范围是“两边之差两边之和”．
根据平方和绝对值的非负性，可得且，把看作一个整体，两个方程相减即可得的值．
由，直接移项，可得用含的代数式表示的式子．
由可知，，，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，列不等式组，求出的取值范围．
18.【答案】解：作于．
，，
，
，
点，
把代入中得，
．
把代入得
，
解得．
，，，
，
当时，解得 ，
，
当时，解得 ，
，．
【解析】本题考查一次函数综合题，考查了等腰三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
作于利用等腰三角形的性质以及待定系数法即可解决问题．
把，两点坐标代入，解方程组即可解决问题．
设，，，根据，构建方程即可解决问题．
19.【答案】
【解析】解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
解：当点在点的下方，如图所示：
，
，
，，
又，
，
即，
平分，
，
，
，
，
，
；
当点在点上方，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
综上，当点在点下方时，；
当点在点上方时，．
根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得的度数，进一步即可求出的度数；
根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得的度数，进一步即可表示出的度数，再根据外角的性质可得，即可得证；
分情况讨论：当点在点的下方，当点在点上方，分别根据三角形内角和定理以及外角的性质表示出三者之间的关系即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，本题计算量较大．
20.【答案】

解得，
；
，
解得，
三角形两边之和第三边
，，
，
又是正整数，
的最大边的值为，，；
．
【解析】解：

解得，
；
，
解得，
三角形两边之和第三边
，，
，
又是正整数，
的最大边的值为，，；
，即，代入得：，
整理得：，
，且，即，，，
则．
故答案为：．
将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，即可求出的值；
将已知等式分为，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长；
由，得到，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，进而求出的值，即可求出的值．
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】或
【解析】解：，
，
，
，
，，
；
当的度数是或时，是直角三角形．
理由如下：
当的度数是时，是直角三角形．
当，
时，是直角三角形．
故答案为：或．
根据平行线的性质可得，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得；
根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用直角三角形定义即可得结论．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理．
22.【答案】解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知，如图，中，是边的中点，且
求证：是直角三角形
证明：是边的中点，且，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
是直角三角形．
【解析】先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理得出，代入即可求出，即，即可推出答案．
此题考查的是命题与定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用．
23.【答案】证明：，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
．
【解析】先由平行线的判定定理得出，，再由于得出，进而可得出结论．
本题考查的是命题与定理，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键．
24.【答案】
【解析】解：当甲选错了第题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第，，道错了，做对两道，此时，得分为，而乙得分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第，，道错了，做对道，此时，得分为分，而乙得分分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第道错了，而乙的得分是分，所以，乙只能做对道，即：第题乙也选错，即：第题的选项C正确，
针对于丙来看，第，题错了，做对道，此时，丙的得分为分，而乙的地方为分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第，，道错了，做对了道，此时，得分分，而乙的得分为分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第道错了，而乙的得分为分，所以，乙只能做对道，所以，乙第题也错了，所以，第题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第，，题错了，做对了道，得分分，
针对于丁来看，第，题错了，做对了道，得分分，
故答案为；
由知，五道题的正确选项分别是：，
如果有一个同学得了分，那么，只选对道，
即：他的答案可能是或或或等，
故答案为：或答案不唯一
分甲从第题到第题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
由先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键．
25.【答案】解：已知：，、是的两条高，如图，
求证：．
证明：、是的两条高，
，，
，
，
．
【解析】略
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