第十三章《三角形中的边角关系.命题与证明》单元测试卷（标准难度）（含答案）

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沪科版初中数学八年级上册第十三章《三角形中的边角关系.命题与证明》单元测试卷
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在中，，若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，是边上的高，平分，，，的度数为( )
A. B. C. D.
设等腰三角形的一边长为，另一边长为，则其周长为( )
A. B. C. D. 或
已知，关于的不等式组，至少有三个整数解，且存在以，，为边的三角形，则的整数解有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知三角形的三边长分别为、、，化简得( )
A. B. C. D.
下列命题中，假命题的是( )
A. 若，则
B. 到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上
C. 斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形一定全等
D. 若，则为直角三角形
已知：在中，，求证：若用反证法来证明这个结论，可以假设( )
A. B. C. D.
用反证法证明“若，，则”时，应假设( )
A. 不垂直于 B. ，都不垂直于
C. D. 与相交
用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中( )
A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于
C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于
下列命题中，其逆命题成立的是( )
A. 如果、都是正数，那么它们的积也是正数
B. 如果，那么
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 平行四边形的对角线互相平分
下列命题是真命题的是( )
A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B. 在平面直角坐标系中，一个点向右平移个单位，则纵坐标加
C. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D. 任何一个定理都对应一个逆定理
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若是外一点，、分别平分的外角、，若，则______度．
如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为 ．
把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果那么”的形式：______．
在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：，则丙同学手里拿的卡片的数字是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
在平面直角坐标系中，已知直线：交轴于点，交轴于点，直线上的点在第一象限内，设的面积是．
写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围．
当时，求点的坐标．
若直线平分的面积，求点的坐标．
如图，中，为上一点，，的角平分线交于点．
求证：；
为上一点，当平分且时，求的度数．
如图，在中，，是边上任意一点，于点，于点，为的高线，求的值．
已知，，是的三边长，，，设三角形的周长是．
直接写出及的取值范围；
若是小于的偶数
求的长；
判断的形状．
如图，在中，，，平分．
求的度数；
在中分别画出边和边上的高、，试说明，并求的度数；
在的条件下，试探究与，之间的数量关系，写出你的结论．不必写理由
如图，在中，，，平分．
求的度数；
在中，分别画出边上的高和边上的高；
试说明，并求出的度数．
如图，命题：如果，，，那么与平行；
命题：如果，，，那么与平行；
请判断上述两个命题分别是真命题还是假命题？
根据中的判断，如果是真命题的，请证明；如果是假命题的，请举出一个反例．
对非负实数“四舍五入”到个位的值记为即当为非负整数时，若，则如：，，根据以上材料，解决下列问题：
填空：____；
若，求满足的条件；
下面两个命题：如果，为非负整数，那么；如果，为非负整数，那么；请判断在这两个命题中属于假命题的是____，并举反例说明；
满足的所有非负实数的值为____．
概念学习．已知，点为其内部一点，连接、、，在、、中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点．
理解应用
判断以下两个命题是否为真今题，若为真令题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
内角分别为、、的三角形存在等角点；______；
任意的三角形都存在等角点；______；
如图，点是锐角的等角点，若，探究图中，、、之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图，在中，，若的三个内角的角平分线的交点是该三角形的等角点，求三角形三个内角的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
是的平分线，
．
是的高，
．
．
．
故选：．
先利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，最后利用邻补角求出．
本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是”及角平分线的定义是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可求，利用邻补角的定义即可求的度数．
【解答】
解：如图，
，，
，
，，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
平分，
，
．
故选：．
分别求出，，利用角平分线的性质定理求出，再利用三角形内角和定理求出即可．
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4.【答案】
【解析】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：解不等式，可得，
解不等式，可得，
不等式组至少有三个整数解，
，
又存在以，，为边的三角形，
，
的取值范围是，
的整数解有个，
故选：．
依据不等式组至少有三个整数解，即可得到，再根据存在以，，为边的三角形，可得，进而得出的取值范围是，即可得到的整数解有个．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6.【答案】
【解析】解：的三边长分别是、、，
必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，，
．
故选：．
三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据不等式的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形全等的判定定理，直角三角形的判定，分别进行分解即可．
【解答】
解：、已知，则，是真命题；
B、到一条线段两个端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，是真命题；
C、直角三角形的斜边和一锐角对应相等，那么另一锐角必然相等，根据定理，这两个直角三角形全等，是真命题；
D、在中，，，不是直角三角形，故是假命题
8.【答案】
【解析】解：的反面是．
故可以假设．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定的反面，是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此即可解答．
【解答】
解：用反证法证明“在同一平面内，若，，则”，应假设：不平行或与相交。
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反证法的有关知识，找到“三角形的内角中至少有一个不小于”的对立事件，由此能求出结果．
【解答】
解：“三角形的内角中至少有一个不小于”的对立事件是：
“三角形中每一个内角都小于”，
反证法证明三角形中至少有一个内角不小于，应假设三角形中每一个内角都小于．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：、逆命题不成立，两个负数的乘积是正数．本选项不符合题意．
B、逆命题不成立，两个相等负数没有平方根．本选项不符合题意．
C、逆命题不成立，对角线垂直的四边形不一定是菱形．本选项不符合题意．
D、逆命题成立．本选项符合题意．
故选：．
根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可
本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】
【解析】解：、平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小，是假命题，本选项不符合题意；
B、在平面直角坐标系中，一个点向右平移个单位，则纵坐标加，是假命题，本选项不符合题意；
C、在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，是真命题，本选项符合题意；
D、任何一个定理都对应一个逆定理，是假命题，本选项不符合题意．
故选：．
A、根据平移变换的性质判断即可；
C、根据中心对称变换的性质判断即可；
D、根据定理，逆定理的定义判断即可．
此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义，能根据有关性质对命题的真假进行判断．根据真命题与假命题的定义分别进行判断即可求出答案；正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
13.【答案】
【解析】解：，，分别平分、，
，
，
而，
，
故答案为．
先根据三角形的内角和，用和表示，然后利用，分别平分、和三角形外角和内角关系就可以用表示，即可解答．
本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：、分别是，的中点，
，，
．
故答案为：．
根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：的面积是的面积的倍，的面积是的面积的倍，依此即可求解．
本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
15.【答案】同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果，那么”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
首先分清原命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
本题考查的是命题的概念，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
16.【答案】和
【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
每人手里的数字不重复．
由甲：，可知甲手中的数字可能是和，和，和，和，和；
由乙：，可知乙手中的数字只有和；
由丙：，可知丙手中的数字可能是和，和，和；
由丁：，可知丁手中的数字可能是和，和，和；
由戊：，可知戊手中的数字可能是和，和；
丁只能是和，甲只能是和，丙只能是和，戊只能是和．
故答案为：和．
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
17.【答案】解：直线：交轴于点，交轴于点，
，，
在直线上，
，即．
点在第一象限内，，
，
解得；
当时，，
解得，
此时，
故点的坐标为；
若直线平分的面积，则点为的中点．
，，
点的坐标为．
【解析】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，三角形中线的性质，中点坐标公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据点、的坐标求得的底边与高线的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得与的函数关系式；
将代入中所求的式子，即可求出点的坐标；
由直线平分的面积，可知为的中线，点为的中点，根据中点坐标公式即可求解．
18.【答案】解：平分，
，
平分，
．
【解析】本题主要考查了三角形的外角性质，平行线的判定和性质．
由角平分线的定义得出，再由三角形外角的性质得出，，即可得出结论；
由角平分线的定义得出，得出，再由平行线的性质得出，即可解答．
19.【答案】解：连结，
由图形可知： ，
即
，
．
．
【解析】此题主要考查了三角形面积公式，连接，根据 ，可得，即可知答案．
20.【答案】解：因为，，
所以．
故周长的范围为．
因为周长为小于的偶数，
所以或．
当为时，；
当为时，．
当时，，为等腰三角形；
当时，，为等腰三角形．
综上，是等腰三角形．
【解析】利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案；
根据偶数的定义，以及的取值范围即可求解；
利用等腰三角形的判定方法得出即可．
此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键．
21.【答案】解：，，
，
平分，
，
；
如图，
，分别是与边上的高，
，
，，
，
，
由得：，，
，
，
；
由得：，
，，
．
【解析】由三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义求得，从而可求的度数；
作出相应的高，结合三角形的外角性质及三角形的内角和定理即可求解；
根据进行求解即可．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
22.【答案】解：平分，
，
，
，
；
解：如图，线段，即为所求；
证明：，，
，
，
．
，，
．
【解析】利用三角形内角和定理求出，再利用三角形的外角的性质求出即可；
根据三角形的高的定义画出图形即可；
利用“字型”的性质证明即可，再利用三角形内角和定理求出．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质．
23.【答案】解：命题为真命题，命题为假命题；
，
，
，
，
，
，
，所以命题为真命题；
，
而，
，
，
当时，，
与不平行．
所以命题为假命题．
【解析】利用同旁内角互补可判断，从而可判断命题为真命题；先计算出，然后根据内错角相等，两直线平行可判断命题为为假命题．
本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
24.【答案】 或
【解析】解：，
，
故答案为：；
，
，
解得：；
是假命题；
反例为：，，，而，；
故答案为：；
设 ，为整数，则，
，
，
，
为整数，
，或，
或．
根据定义即可求解；
根据定义列出不等式即可求解；
通过举反例即可判断；
根据定义列出不等式即可求解．
本题以新定义为背景考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据新定义列出不等式组，即可求解．
25.【答案】真命题 假命题
【解析】解：理解应用
内角分别为、、的三角形存在等角点是真命题；
任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真命题，假命题；
如图，在中，，，
；
解决问题
如图，连接，
为的角平分线的交点，
，，
为的等角点，
，，，
又，
，
，
该三角形三个内角的度数分别为，，．
理解应用
根据等角点的定义，可知内角分别为、、的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；
根据中，以及进行推导，即可得出、、之间的数量关系；
解决问题
先连接，，再根据的三个内角的角平分线的交点是该三角形的等角点，以及三角形内角和为，得出关于的方程，求得的度数即得出可三角形三个内角的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角点的定义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为，得出角的关系式并进行求解．
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