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第13课时 用公式法求解一元二次方程
知识归纳
1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是 。这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，①当b2-4ac>0时，方程有 的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个 的实数根；③当b2-4ac<0时，方程 实数根．
3. 把 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示．
典例精讲
考点1：用公式法解一元二次方程
例1．解一元二次方程：3x2﹣3x＝x+1．
【解答】解：整理，得：3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
则x＝＝，∴x1＝，x2＝．
1．解下列方程：
（1）3x2﹣6x﹣2＝0； （2）5x2﹣3x﹣1＝0．
考点2：一元二次方程根的判别式
例2．一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选D．
2．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x﹣4＝0； （2）ax2+bx＝0（a≠0）．
考点3：利用根的情况求字母的值或取值范围
例3．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，且m为非负整数，求m的值及此时方程的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2m﹣1）＞0，解得m＜1，
∵m为非负整数，∴m＝0．
∴方程为x2﹣2x﹣1＝0，解得方程的根为x1＝1+，x2＝1﹣．
3．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
基础巩固
1．已知关于x的一元二次方程3x2+（m+3）x+m＝0总有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥3 B．m≠3 C．m＞3且m≠0 D．m＞3
2．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
3．解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1＝0； （2）3x2﹣2＝4x； （3）x2+x+1＝0．
4．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
5．求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x+2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）k取符合条件的最小整数时，求此方程的根．
能力提升
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a＜2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列线段的长度是方程x2+2ax﹣4＝0的一个根的是（ ）
A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长
8．解方程：
（1）x2﹣3x﹣5＝0； （2）3x2﹣4x﹣2＝0；
（3）x2﹣2x﹣3＝0； （4）x2﹣4x＝2x﹣9．
9．若k为整数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5＝0有实数根，则整数k的最大值为 ．
10．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+m+2＝0．
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）当m为何值时，这个一元二次方程有一个根为﹣1．
11．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
素养拓展
12．已知和都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2﹣5＝x（ax﹣2）﹣2．
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第13课时 用公式法求解一元二次方程
知识归纳
1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是。这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，①当b2-4ac>0时，方程有 两个不相等 的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个 相等 的实数根；③当b2-4ac<0时，方程 没有 实数根．
3. 把 b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示．
典例精讲
考点1：用公式法解一元二次方程
例1．解一元二次方程：3x2﹣3x＝x+1．
【解答】解：整理，得：3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
则x＝＝，∴x1＝，x2＝．
1．解下列方程：
（1）3x2﹣6x﹣2＝0；（2）5x2﹣3x﹣1＝0．
【解答】解：（1）a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2．
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）＝60＞0，
．∴x1＝，x2＝．
（2）∵a＝5，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×5×（﹣1）＝29＞0，
则x＝＝，∴x1＝，x2＝．
考点2：一元二次方程根的判别式
例2．一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选D．
2．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x﹣4＝0；（2）ax2+bx＝0（a≠0）．
【解答】解：（1）∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵a≠0，∴方程ax2+bx＝0（a≠0）是一元二次方程，
∵Δ＝（﹣b）2﹣4×a×0＝b2≥0，∴方程有两个实数根．
考点3：利用根的情况求字母的值或取值范围
例3．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，且m为非负整数，求m的值及此时方程的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2m﹣1）＞0，解得m＜1，
∵m为非负整数，∴m＝0．
∴方程为x2﹣2x﹣1＝0，解得方程的根为x1＝1+，x2＝1﹣．
3．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
【解答】解：当a﹣1＝0，即a＝1时，有﹣2x+1＝0，解得：x＝，∴a＝1符合题意；
当a﹣1≠0，即a≠1时，有Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＝8﹣4a≥0，解得：a≤2，
∴a≤2且a≠1．综上可知：a的取值范围为a≤2．故选B．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+4k＝0，∴（x﹣4）（x﹣k）＝0，∴x1＝4，x2＝k．
∵方程有一根小于2，∴k＜2，∴k的取值范围为k＜2．
基础巩固
1．已知关于x的一元二次方程3x2+（m+3）x+m＝0总有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥3 B．m≠3 C．m＞3且m≠0 D．m＞3
【解答】解：由题意可知：Δ＝（m+3）2﹣12m＝（m﹣3）2＞0，∴m≠3，故选B．
2．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选B．
3．解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1＝0；（2）3x2﹣2＝4x；（3）x2+x+1＝0．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝16﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．
（2）3x2﹣2＝4x，3x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）∵a＝1，b＝，c＝1，∴Δ＝（）2﹣4×1×1＝1＞0，
则x＝＝，即x1＝，x2＝．
4．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＞0且k≠1 ．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（2k）2﹣4（k﹣1） k＞0，
解得k＞0且k≠1．故答案为k＞0且k≠1．
5．求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x+2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．
【解答】证明：方程化为一般式为：x2﹣x﹣6﹣m2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣6﹣m2）＝4m2+25＞0，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）k取符合条件的最小整数时，求此方程的根．
【解答】解：（1）由判别式可知：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
∴k＞，∵k﹣1≠0，∴k＞且k≠1，∴k的取值范围是k＞且k≠1；
（2）∵k的取值范围是k＞且k≠1，∴k的最小整数值为2．
∴x2﹣2x﹣2＝0，x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
能力提升
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a＜2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列线段的长度是方程x2+2ax﹣4＝0的一个根的是（ ）
A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝2，∠A＝90°，
∴BD＝＝，由作法得DE＝DF＝a，∴AE＝2﹣a，BF＝﹣a，
解方程x2+2ax﹣4＝0得x1＝﹣a+，x2＝﹣a﹣，
∴线段BF的长为方程的解．故选B．
8．解方程：
（1）x2﹣3x﹣5＝0；（2）3x2﹣4x﹣2＝0；（3）x2﹣2x﹣3＝0；
（4）x2﹣4x＝2x﹣9．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，∴Δ＝9﹣4×（﹣5）＝29＞0，
∴x＝
（2）Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
x＝＝ 所以x1＝，x2＝．
（3）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，
∴x＝＝，∴x1＝+，x2＝﹣．
（4）原方程化为：x2﹣6x+9＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝9，∴Δ＝36﹣36＝0，∴x＝＝3，∴x1＝x2＝3．
9．若k为整数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5＝0有实数根，则整数k的最大值为 3 ．
【解答】解：∵方程有实数根，∴Δ＝4（k+1）2﹣4（k﹣1）（k+5）≥0，且k﹣1≠0，
解得：k≤3且k≠1，故整数k的最大值为3．故答案为：3
10．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+m+2＝0．
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）当m为何值时，这个一元二次方程有一个根为﹣1．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+2）＞0，
整理得：﹣4m＞﹣1，解得：m＜，
∵m≠0，∴m的取值范围是：m＜且m≠0的一切实数；
（2）若方程有一个根为﹣1，则m （﹣1）2﹣（2m+1） （﹣1）+m+2＝0，
整理得：m+2m+1+m+2＝0，解得：m＝﹣，
∵m＜且m≠0，∴当m＝﹣时，这个一元二次方程有一个根为﹣1．
11．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当方程的一根为6时，将x＝6代入原方程，得：36﹣6（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝7，
∴原方程为x2﹣8x+12＝0，解得：x1＝2，x2＝6．
∵2、6、6能组成三角形，2、2、6不能构成三角形，∴该三角形的周长为2+6+6＝14．
素养拓展
12．已知和都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2﹣5＝x（ax﹣2）﹣2．
【解答】解：∵和都有意义，∴2a+1≥0，5﹣2a＞0，∴﹣≤a＜，
∵a是整数，∴a＝0、1、2，
当a＝0时，方程为x2﹣5＝x（0﹣2）﹣2，∴x2+2x﹣3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1．
当a＝1时，方程为x2﹣5＝x（x﹣2）﹣2，∴2x﹣3＝0，
此时方程不是一元二次方程，即此种情况不符合题意，舍去，
当a＝2时，方程为x2﹣5＝x（2x﹣2）﹣2，∴x2﹣2x+3＝0，
此时，Δ＝4﹣4×1×4＜0，∴方程x2﹣5＝x（2x﹣2）﹣2无解，
综合上述：a＝0，方程的解是x1＝﹣3，x2＝1；当a＝2时，方程无解．
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