第三章《一次方程与方程组》单元测试卷（较易）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版初中数学七年级上册第三章《一次方程与方程组》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
把方程去分母，正确的是 ( )
A. B.
C. D.
根据如图所示的程序计算的值，若输入的值为或时，输出的值互为相反数，则等于( )
A. B. C. D.
为了更好地落实国家“双减”政策，启智中学利用课后服务时间开设了篮球社团等兴趣小组，并对参加篮球社团的学生进行分组，如果每组人，则多余人；如果每组人，则还缺人，组数不变，若设参加篮球社团的有人，则下列所列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为( )
A. B.
C. D.
如图，由组成的方格中每个方格内均有代数式图中只列出了部分代数式，方格中每一行横、每一列竖以及每一条对角线斜上的三个代数式的和均相等．则方格中“”的数是( )
A. B. C. D.
用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是( )
A. B. C. D.
关于，的二元一次方程的解，下列说法正确的是( )
A. 无解 B. 有无数组解 C. 只有一组解 D. 无法确定
唐代初期数学家王孝通撰写的缉古算经一书中有这样一道题：“仅有三十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳只鹿，大圈舍可以容纳只鹿，则需要大圈舍、小圈舍各多少间？依据题意，鹿进圈舍的方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
在我国古代数学著作九章算术中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为，乙持钱数为，可列方程组( )
A. B.
C. D.
二元一次方程的正整数解有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
解方程：，步骤如下：去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为，得经检验知不是原方程的解，说明解题的四个步骤中有错，其中开始做错的一步是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
方程组的解为______．
已知是关于，的二元一次方程，则______．
九章算术中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若只雀、只燕共重两；只雀与只燕一样重．设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，根据题意，可列方程组为______．
九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若人坐一辆车，则辆车是空的；人坐一辆车，则人需要步行．一共有______人．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
解方程：，
先化简，再求值：，其中．
本小题分
树市某中学七年一班全体学生参加团活动进行分组，原来每组人，后来重新编组，每组人，这样就比原来减少组，请问七年一班共有多少人？
本小题分
某超市第一次以元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的倍多件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：注：利润售价进价
甲 乙
进价元件
售价元件
该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？
本小题分
我县境内的某段铁路桥长，现有一列高铁列车从桥上匀速通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用，整列高铁在桥上的时间是，试求此列高铁的车速和车长．
本小题分
如图，已知数轴上的点，对应的数分别是和．
若到点，的距离相等，求点对应的数；
动点从点出发，以个长度单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得点到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发向点运动，经过秒相遇；若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，试求点与点的运动速度长度单位秒．
本小题分
解方程组：
；
．
本小题分
在上海新冠疫情防控期间，从仓储中心向市区转运居民必需物资，已知辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某仓储中心现有吨物资，计划租用型车辆型车辆一种或两种车型均可，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
求辆型车和辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？
若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
本小题分
有大、小两种船，艘大船与艘小船一次可以载乘客名，艘大船与艘小船一次可以载乘客名，现有艘大船和艘小船，一次可以载乘客多少名？
本小题分
某市为了更好的利用水资源，制订了用水收费标准：如果每户每月用水不超过吨，按每吨元收费；如果超过吨，超过部分按每吨元收费，其余仍按每吨元收费．如表是小明家、月份用水量及支付水费情况．
月份 用水量吨 支付水费元
若小明家、月份用水量都超过吨，求、的值；要求列方程或方程组求解
小明家从月份开始节约用水，若小明家、月份的用水量共吨月份用水量小于月份用水量，两个月共支付水费元，则小明家、月份用水量分别是多少吨？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解一元一次方程这是一个带分母的方程，所以要先找出分母的最小公倍数，去分母即可．去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子如果是一个多项式作为一个整体加上括号．
【解答】
解：由此方程的分母，可知，其最小公倍数为，
故去分母得：
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次方程，由输出的值互为相反数，找出关于的一元一次方程是解题的关键．由输入的值为或时输出的值互为相反数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：依题意得：，
解得：．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“每组人，则多余人；如果每组人，则还缺人”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底，
根据题意列方程得：．
故选：．
假设用张制作盒身，用张制作盒底，那么盒身有个，盒底有个，然后根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒即可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解答本题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
5.【答案】
【解析】解：根据每一行横、每一列竖以及每一条对角线斜上的三个代数式的和均相等得：
，
解得，
第一列的三个数的和是，
，即，
解得，
故选：．
根据每一行横、每一列竖以及每一条对角线斜上的三个代数式的和均相等列方程组，解得，的值，即可求得答案．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一行横、每一列竖以及每一条对角线斜上的三个代数式的和均相等列出方程组，从而解得，的值．
6.【答案】
【解析】解：、可以消去，不符合题意；
B、可以消去，不符合题意；
C、可以消去，不符合题意；
D、无法消元，符合题意．
故选：．
方程组利用加减消元法变形即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：关于，的二元一次方程的解有无数组解．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设需要间大圈舍，间小圈舍，
依题意得：，
又，均为自然数，
或或，
鹿进圈舍的方案共有种．
故选：．
设需要间大圈舍，间小圈舍，根据共有只鹿，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出鹿进圈舍的方案共有种．
本题考查了二元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设甲的钱数为，乙的钱数为，
依题意得，．
故选：．
设甲的钱数为，人数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由，得，
、都为正整数，
为的倍数，
，，．
故二元一次方程的正整数解有个．
故选：．
由题可知，根据、都为正整数可知为的倍数，进而逐一求出、的值．
此题主要考查了解二元一次方程的方法．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：方程组中的两个方程都是整式方程．方程组中共含有两个未知数．每个方程都是一次方程．
组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】
解：，不是一次方程，故该选项不合题意；
B.不是整式，故该选项不合题意；
C.含有三个未知数，故该选项不合题意；
D.符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的解法，关键是正确掌握一元一次方程的解法，注意移项要变号．根据移项可得，因此错误．
【解答】
解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
从第步开始做错．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
故答案为：．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14.【答案】
【解析】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
由二元一次方程的定义解答即可．
本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的未知项的次数为是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：只雀、只燕共重两，
；
只雀与只燕一样重，
．
所列方程组为．
故答案为：．
根据“只雀、只燕共重两；只雀与只燕一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设共有辆车，个人，
依题意得：，
解得：，
一共有人．
故答案为：．
设共有辆车，个人，根据“人坐一辆车，则辆车是空的；人坐一辆车，则人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
，
，
，
．
原式
．
【解析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．
先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
本题考查一元一次方程的解法、整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18.【答案】解：设七年一班共有人，
依题意得：，
解得：．
答：七年一班共有人．
【解析】设七年一班共有人，利用组数全部总人数每组人数，结合重新编组后比原来减少组，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
19.【答案】解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得，
购进乙种商品，
答：第一次购进甲种商品件，购进乙种商品件；
设第二次甲商品是按原价打折销售，
根据题意得：，
解得，
答：第二次甲商品是按原价打折销售．
【解析】设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据第一次以元购进甲、乙两种商品得：，即可解得答案；
设第二次甲商品是按原价打折销售，根据获得的总利润与第一次获得的总利润一样得：，即可解得答案．
本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
20.【答案】解：设此列高铁的车长为，
依题意得：，
解得：，
．
答：此列高铁的车速为，车长为．
【解析】设此列高铁的车长为，利用速度路程时间，结合该列高铁的速度不变，即可得出的一元一次方程，解之即可求出此列高铁的车长，再将其代入中即可求出此列高铁的车速．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21.【答案】解：设点对应的数为，
则，，
，
，
解得：，
点对应的数为；
存在某个时刻，使得到点的距离是到点的距离的倍，
由已知得：对应的数为，
，，
，
，
当时，；
当时，；
的值为或；
设点的运动速度为个长度单位秒，点的运动速度为个长度单位秒，
由题意得：，
解得，
点的运动速度为个长度单位秒，点的运动速度为个长度单位秒．
【解析】设点对应的数为，表示出与，根据求出的值，即可确定出点对应的数；
表示出点对应的数，进而表示出与，根据求出的值即可；
设点的运动速度为个长度单位秒，点的运动速度为个长度单位秒，根据相向而行“经过秒相遇”，同向而行“经过秒相遇”列出方程组，求解即可．
本题考查了数轴上的点表示的数及两点间的距离，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是弄清题意，找出等量关系．
22.【答案】解：，
把代入得：
，
解得：，
把代入中，
，
原方程组的解为：；
原方程组可化简为：
，
得：
，
得：
，
解得：，
把代入中得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】利用代入消元法，进行计算即可解答；
先将原方程组进行化简整理，然后再利用加减消元法进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：．
答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨．
依题意得：，
，
又，均为自然数，
或或，
共有种租车方案，
方案：租用辆型车，所需租车费为元；
方案：租用辆型车，辆型车，所需租车费为元；
方案：租用辆型车，辆型车，所需租车费为元．
，
最省钱的租车方案为：租用辆型车，辆型车，最少租车费为元．
【解析】设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据一次运完吨货物且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各租车方案，利用租车费每辆车的租金租用数量，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】解：设艘大船一次可以载乘客名，艘小船一次可以载乘客名，
由题意得：，
解得：，
名，
答：艘大船和艘小船，一次可以载乘客名．
【解析】设艘大船一次可以载乘客名，艘小船一次可以载乘客名，根据题目中的相等关系列出方程组，解方程组，进一步即可求出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目中的相等关系正确列出方程组是解决问题的关键．
25.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为．
设小明家月份的用水量为吨，则月份的用水量为吨．
当时，，
解得：，
；
当时，，不符合题意，舍去．
答：小明家月份的用水量为吨，月份的用水量为吨．
【解析】根据小明家，月份的用水量及支付水费，即可得出关于，的二元一次方程组的应用，解之即可得出，的值；
设小明家月份的用水量为吨，则月份的用水量为吨，分及两种情况考虑，根据小明家两个月共支付水费元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)