第三章《一次方程与方程组》单元测试卷（困难）（含答案）

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沪科版初中数学七年级上册第三章《一次方程与方程组》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列运用等式的性质，变形不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是( )
A. B. C. D.
某商店卖出两件衣服，每件元，其中一件赚，另一件亏，那么这两件衣服卖出后，商店( )
A. 不赚不亏 B. 赚元 C. 亏元 D. 赚元
某同学晚上点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是，他做完作业后还是点多钟，且时针和分针的夹角还是，此同学做作业大约用了( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
如图，“、、”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“”那么应放“”( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知关于，的方程组给出下列结论：
当 时，方程组的解也是 的解；无论 取何值，，的值不可能是互为相反数； ，都为自然数的解有对；若 ，则 正确的有几个( )
A. B. C. D.
为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
若方程 是关于的二元一次方程，则满足( )
A. B. C. D.
学校篮球数比排球数的倍少个，篮球数与排球数的比是：，要求这两种球的个数若设篮球有个，排球有个，则根据题意，得到的方程组是．( )
A. B. C. D.
小杨在商店购买了件甲种商品，件乙种商品，共用元，已知甲种商品每件元，乙种商品每件元，那么的最大值是
( )
A. B. C. D.
如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计个小时的工作时间，需要每名男生工作个小时，每名女生工作个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
关于的方程的解是整数，则整数 ．
解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则______，______，______．
如图，面积为的大长方形被分割成个正方形两个一样的大正方形，一个小正方形和两个一样的长方形若长方形的周长为，则大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ．
一个人手中持有面值元、元、元三种人民币，共元，其中元面值的数量是元面值的倍，则他手中持有人民币的数量为________张．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
先阅读下列解题过程，然后解答问题、、．
例：解绝对值方程：．
解：讨论：当时，原方程可化为，它的解是．
当时，原方程可化为，它的解是．
原方程的解为和．
问题：依例题的解法，方程的解是______；
问题：尝试解绝对值方程：；
问题：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：．
将连续的正偶数，，，，排成如图所示的形式．
十字框中的五个数的和是中间的数的几倍？
移动十字框，可框住另外的五个数．
设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和．
这五个数的和能等于吗？若能，写出这五个数；若不能，说明理由．
随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准，例：乘车里程为公里：
若选乘出租车，费用为：元；
若选乘曹操出行快选，费用为：元．
起步费：元
超公里费：超过的部分元公里
远途费：超过公里后，元公里 曹操出行快选
起步费：元
里程费：元公里
远途费：超过公里后，元公里
时长费：元分钟速度：公里时
请回答以下问题：
小明家到学校的路程是公里．如果选乘出租车，车费为______元；如果选乘曹操出行快选，车费为______元．
周末小明有事外出，要选乘网约车，如果乘车费用预算为元，他的行车里程数最大是多少公里？
元旦期间，小明外出游玩，约车时发现曹操出行快选有优惠活动：总费用打八折．于是小明决定选乘曹操出行快选付费后，细心的小明发现：相同的里程，享受优惠活动后的曹操出行优选的费用还是比出租车多了元，求小明乘车的里程数．
A、两地之间的路程为千米，甲车从地出发开往地，每小时行驶千米，甲车出发分钟后，乙车从地出发开往地，每小时行驶千米，两车相遇后，各自仍按原速度和原方向继续行驶，那么相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了多少小时？
规定：关于，的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题：
已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是____；
设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于，的二元一次方程的正整数解；
已知，是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求的最大值与最小值的和．
已知关于，的二元一次方程组的解满足方程，求的值．
某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过吨含吨时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小明家月份用水吨，交水费元，月份用水吨，交水费元．
求每吨水的政府补贴优惠价市场调节价分别是多少？
小明家月份用水吨，他家应交水费多少元？
已知小明骑车和步行的速度分别为米分，米分，小红每次从家步行到学校所需时间相同．请你根据小红和小明的对话内容如图，求小明从家到学校的路程和小红从家步行到学校所需的时间．
江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价千元件，乙种产品售价千元件，生产这两种产品需要、两种原料，生产甲产品需要种原料吨件，种原料吨件，生产乙产品需要种原料吨件，种原料吨件，每个季节该厂能获得种原料吨，种原料吨．
如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？
在夏季中甲种产品售价上涨，而乙种产品下降，并且要求甲种产品比乙种产品多生产件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是千元，，两种原料还剩下多少吨？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了等式的性质，正确把握相关性质是解题关键．
直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．
【解答】
解：、若，则，正确，不合题意；
B、若，则，正确，不合题意；
C、若，则，正确，不合题意；
D、若，则，要求，故此选项错误，符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为，得到关于的的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于的一元一次方程，解之即可．
【解答】
解：方程整理化简，可得
，即，
该方程的解是整数，为整数，
或或或，
即或或或，
解得：或或或，
整数的取值个数是个．
故选C．
3.【答案】
【解析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键了解利润售价进价，根据题意列出方程即可．
解：设盈利的进价为元，则，解得．
设亏损的进价为元，则，解得．
故亏元．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了钟表时针与分针的夹角，一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是关键，在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动
，设开始做作业时的时间是点分，，设做完作业后的时间是点分，，解出，，即可得到答案．
【解答】
解：设开始做作业时的时间是点分，
，
解得；
再设做完作业后的时间是点分，
，
解得，
此同学做作业大约用了分钟，
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】首先根据图示可知，，，据此判断出、与的关系，然后判断出结果．
本题主要考查了等量代换问题，判断出、与的关系是解答此题的关键．
解：根据图示可得，
，
，
由、可得，
，，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
将和分别用表示出来，然后求出来判断；
由得到、都为自然数的解有对；
把与联立成方程组，求出、，再代入原方程组，就可以求出答案．
【解答】
解：将代入方程组得：
得，
解得，
将代入得：，
此方程组的解为：
，
将代入得，
当时，方程组的解也是的解，
故正确；
方程组
得，
解得，
将代入得，
，
故无论取何值，，的值不可能是互为相反数，
故正确；
方程组
得：，
，都为自然数的解有
故有对，
故正确；
方程组
得：，
得
得，
故正确，
综上所述，正确的有个．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，求出方程组的解得出满足的条件是解题的关键．先解方程组，由条件方程组的解为整数，再讨论即可求得的值，进一步计算即可．
【解答】解：解方程组可得，，
方程组有整数解，
为和的公约数，且为正整数，
，解得，
，
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二元一次方程的定义的知识点，即一个方程只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都是，那么这个整式方程就叫做二元一次方程先把方程整理为二元一次方程的一般形式，再根据定义要求、的系数均不为，即解出即可．
【解答】
解：是关于、的二元一次方程，
移项合并，得，
，
解得．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的应用，根据题目所给信息：学校的篮球比排球数的倍少个，列等量关系式，再根据篮球数与排球数的比是：，列等量关系式，二者联立解答．
【解答】
解：设篮球有个，排球有个，根据题意得：
．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，
，
是关于的一次函数且随的增大而减小，
当最小时，取最大值，
又，是正整数，
当时，的最大值．
故选：．
根据题意得出关于和的二元一次方程，然后用表示出，继而用表示出，然后可以利用函数的思想得出取得最值的条件，即能得出答案．
本题考查二元一次不定方程的应用，技巧性较强，解答本题的关键是函数思想的应用，同学们要注意掌握这种解题思想，它会在以后的解题中经常用到．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再观察坐标系，可求出点的坐标．
【解答】
解：设长方形的长为，宽为
则
解得
，，
点的坐标为．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：设安排女生人，安排男生人，
依题意得：，
则．
当时，．
当时，．
即安排女生人，安排男生人；
安排女生人，安排男生人．
共有种方案．
故选：．
设安排女生人，安排男生人，由“累计个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．
考查了二元一次方程的应用．注意：根据未知数的实际意义求其整数解．
13.【答案】或或或
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先解方程求出方程的解，根据已知方程的解为整数得出或或或或或，再根据为整数，进一步得到或，即可得到答案．
【解答】
解：，
，
，
，
，
关于的方程的解是整数，
为的因数，
或或或或或，
为整数，
或，
解得或或或，
故答案为或或或．
14.【答案】
【解析】解：把，代入中，得
，
．
，的值没有写错
把两组解分别代入中，得
，
，得
．
，，．
本题可把正解代入方程得出的值．乙同学是把写错而得出错解，但，的值没有写错，因此可列出方程组，再运用加减消元法，可得出，的值．
本题考查的是二元一次方程的解法，学生在看到题目的时候有可能会一头雾水，不知道该从何处入手．因此在解本题的过程中我们会一步步进行分析，让学生能更好地接受和理解．
15.【答案】

【解析】
【分析】
此题考查二元一次方程的应用，题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．通过理解题意可知本题的等量关系，小正方形边长加上大正方形的边长得到长方形的长，大正方形的边长减去小正方形的边长得长方形的宽，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【解答】
解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为．
则
解方程得，
大正方形的面积为，
小正方形的面积为，
答：大正方形的面积为，小正方形的面积为．
故答案为； ．

16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查根据实际问题列出二元一次方程，并根据二元一次方程的正整数解解决问题先根据题意列出方程，化成，根据此题中，均为正整数确定出，的正整数解，再代入计算即可．
【解答】
解：设元面值有张，元面值有张，
则 ，
，
，是正整数，
或
，
或．
故答案为或．
17.【答案】解：和；
，
当时，原方程可化为，它的解是；
当时，原方程可化为，它的解是；
原方程的解为和．
，
当，即时，原方程可化为，它的解是；
当，即时，原方程可化为，它的解是；
当时，原方程可化为，此时方程无解；
原方程的解为和．
【解析】解：，
当时，原方程可化为，它的解是；
当时，原方程可化为，它的解是；
原方程的解为和，
故答案为：和．
见答案．
见答案．
本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
分为两种情况：当时，当时，去掉绝对值符号后求出即可．
分为两种情况：当时，当时，去掉绝对值符号后求出即可．
分为三种情况：当，即时，当，即时，当时，去掉绝对值符号后求出即可．
18.【答案】解：十字框中的五个数的和为，恰好是中间的数的倍．
中间的数为，则另外四个数分别为，，，，
所以十字框中的五个数的和
不能．
理由：设中间的数为，则另外四个数分别为，，，
根据题意，得，解得
而在最左侧一列，故这五个数的和不能等于．

【解析】见答案
19.【答案】
【解析】出租车：元；
曹操出行元．
设他的行车里程数为公里，因为，，故．
出租车：，
解得：．
曹操出行：，
解得：．
，
小明行车路程数最大是公里．
设小明乘车的里程数为公里．
时，，
解得：舍去．
时，，
解得：．
时，，
解得：．
综上所述，小明乘车里程数为公里或公里．
根据两种行程方式的收费标注计算即可．
设行车里程数为公里，分别求出两种方式的行车里程数，在比较大小．
设小明乘车里程数为公里，分三种情况列方程解决问题．
考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
20.【答案】解：设相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了小时．
依题意得：，
解得．
答：相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了小时．
【解析】设相遇以后两车相距千米时，甲车从出发共行驶了小时．因为甲车出发分钟后，乙车从地出发开往地，故乙车共行驶了小时；因为甲车从地出发开往地，每小时行驶千米，故甲车行驶的路程是千米；因为乙车从地出发开往地，每小时行驶千米，故乙车行驶的路程是千米；由于两车行驶的总路程为千米，根据题意可得等量关系：甲车行驶的路程乙车行驶的路程两车行驶的总路程，根据等量关系可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是表示出甲乙辆车的行驶时间，根据甲车行驶的路程乙车行驶的路程两车行驶的总路程可列出方程．
21.【答案】解：；
将代入，方程得：
得：．
解得：．
代入方程得：．
此方程的正整数解为：．
，
，．
是“合作线”的一个“团结点”，
．
，
或．
，，
由，可得有最大值．
由，可得有最小值．
的最大值与最小值的和为．
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，以及非负数的应用．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式，并熟练运用是解题的关键．
将，，三点的坐标分别代入中，能使方程成立的是“团结点”；
利用“团结点”和“合作线”的定义，列出方程组求得，的值，然后将，的值代入二元一次方程求得正整数解；
利用“团结点”和“合作线”的定义，分别得出与和与的关系式，利用非负数的意义得到的最大值和最小值，则的最大值与最小值的和可求．
【解答】
解：将，，三点坐标代入方程，只有是方程的解，
“合作线”的团结点的是．
故答案为：．
见答案．
见答案．
22.【答案】解：，
得，解得，
把代入得，解得，
把，代入得，
解得．
【解析】先用加减消元法求出、的值，把、的值代入方程得到关于的方程，解方程即可求出的值．
本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，同时也考查了求一元一次方程的解．
23.【答案】设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元．
根据题意可得：
，
解得：；
答：每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元．
当，时，，
答：小明家月份应交水费元．
【解析】设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元，题中有两个等量关系：用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．据此列出方程组，求解此方程组即可；
小明家月份交水费，将中所求值代入计算即可．
本题考查二元一次方程组的应用．正确理解收费标准是解决本题的关键．
24.【答案】解：设小明同学从家到学校的路程为米，小红从家步行到学校所需时间是分钟．
由题意，得，
解得：，
答：小明同学从家到学校的路程为米，小红从家步行到学校所需时间是分钟．
【解析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用分钟”根据这两个等量关系可列出方程组．
本题是行程问题，解题关键是找出题中存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用分钟”．
25.【答案】解：设生产甲种产品件，生产乙种产品件，依题意有
，
解得，
千元，
千元万元．
答：生产甲种产品件，生产乙种产品件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是万元；
设乙种产品生产件，则生产甲种产品件，依题意有
，
解得，
，
吨，
吨．
答：安排生产甲种产品件，使总产值是千元，种原料还剩下吨．
【解析】可设生产甲种产品件，生产乙种产品件，根据等量关系：生产甲种产品需要的种原料的吨数生产乙种产品需要的种原料的吨数种原料吨，生产甲种产品需要的种原料的吨数生产乙种产品需要的种原料的吨数种原料吨；依此列出方程求解即可；
可设乙种产品生产件，则生产甲种产品件，根据等量关系：甲种产品的产值乙种产品的产值总产值千元，列出方程求解即可．
考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．求解．检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
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