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第14课时 用因式分解法求解一元二次方程
知识归纳
1.当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个 的乘积时，使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法称为 ．
2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为 ；(2)将方程的左边分解为两个因
式的乘积；(3)令每一个因式分别为0，得到两个 ；(4)解所得的一元一次方程，即得原方
程的解．
典例精讲
考点1：用因式分解法解一元二次方程
例1．解方程：3x（x+1）﹣2（x+1）＝0．
【解答】解：（x+1）（3x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或3x﹣2＝0．∴x1＝﹣1，x2＝．
1．解方程：
（1）2x2﹣3x﹣2＝0； （2）（x+3）2﹣2x（x+3）＝0；
（3）3x（x+3）＝2（x+3）； （4）x2﹣6x﹣7＝0.
考点2：选择合适的方法解一元二次方程
例2．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；（2）2x2﹣2x+1＝0．
【解答】解：（1）∵x2﹣5x﹣6＝0，∴（x﹣6）（x+1）＝0，
则x﹣6＝0或x+1＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1；
（2）∵2x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，
则x﹣1＝0，∴x1＝x2＝．
2．用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）； （4）．
基础巩固
1．方程x（x﹣6）＝x的根是（ ）
A．x＝6 B．x1＝0，x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝6
2．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的根．则三角形的周长（ ）
A．19 B．11或19 C．13 D．11
3．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0； （2）3x2﹣11x＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （4）（2x﹣1）（x+1）＝（x+1）（3x+1）．
4．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为 ．
能力提升
5．若等腰三角形ABC的两边分别是方程（x﹣2）（x﹣3）＝x﹣2的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．7或8 D．8或10
6．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，E为BC的中点，AE＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则 ABCD的周长为（ ）
A．4+2 B．12+6
C．4+2或12+6 D．4﹣2或12﹣6
7．用适当的方法解下列方程．
（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0； （2）2x2﹣5x﹣3＝0；
（3）（3x﹣2）（x+2）＝28．
8．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为 ．
素养拓展
9．观察下面方程x4﹣13x2+36＝0的解法。
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0
∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0
∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？
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第14课时 用因式分解法求解一元二次方程
知识归纳
1.当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个 一次因式 的乘积时，使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法 ．
2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为 0 ；(2)将方程的左边分解为两个因
式的乘积；(3)令每一个因式分别为0，得到两个 一元一次方程 ；(4)解所得的一元一次方程，即得原方
程的解．
典例精讲
考点1：用因式分解法解一元二次方程
例1．解方程：3x（x+1）﹣2（x+1）＝0．
【解答】解：（x+1）（3x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或3x﹣2＝0．∴x1＝﹣1，x2＝．
1．解方程：
（1）2x2﹣3x﹣2＝0； （2）（x+3）2﹣2x（x+3）＝0；
（3）3x（x+3）＝2（x+3）； （4）x2﹣6x﹣7＝0.
【解答】解：（1）∵2x2﹣3x﹣2＝0，∴（2x+1）（x﹣2）＝0，
则2x+1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣，x2＝2．
（2）（x+3）（x+3﹣2x）＝0，
x+3＝0或x+3﹣2x＝0，所以x1＝﹣3，x2＝3．
（3）∵3x（x+3）＝2（x+3），∴（x+3）（3x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝；
（4）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，
则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；
考点2：选择合适的方法解一元二次方程
例2．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；（2）2x2﹣2x+1＝0．
【解答】解：（1）∵x2﹣5x﹣6＝0，∴（x﹣6）（x+1）＝0，
则x﹣6＝0或x+1＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1；
（2）∵2x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，
则x﹣1＝0，∴x1＝x2＝．
2．用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）； （4）．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0，∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，∴x1＝，x2＝4；
（4），∵a＝1，b＝﹣4，c＝10，∴b2﹣4ac＝48﹣4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．
基础巩固
1．方程x（x﹣6）＝x的根是（ ）
A．x＝6 B．x1＝0，x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝6
【解答】解：x（x﹣6）＝x，x（x﹣6）﹣x＝0，x（x﹣6﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，∴x1＝0，x2＝7．故选C．
2．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的根．则三角形的周长（ ）
A．19 B．11或19 C．13 D．11
【解答】解：∵x2﹣12x+20＝0，∴x＝2或x＝10，
当x＝2时，∵2+4＞5，∴能组成三角形，∴三角形的周长为2+4+5＝11，
当x＝10时，∵4+5＜10，∴不能组成三角形，故选D．
3．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0； （2）3x2﹣11x＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （4）（2x﹣1）（x+1）＝（x+1）（3x+1）．
【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0， x1＝1，x2＝3；
（2）整理得，3x2﹣11x＝0，
∴x（3x﹣11）＝0，∴x＝0或3x﹣11＝0，解得x1＝0，x2＝．
（3）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．
（4）∵（2x﹣1）（x+1）＝（x+1）（3x+1），∴（2x﹣1）（x+1）﹣（x+1）（3x+1）＝0，
∴（x+1）（﹣x﹣2）＝0，则x+1＝0或﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2．
4．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为 x﹣2＝0，x+1＝0 ．
【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝0，x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0，x+1＝0．
故答案为：x﹣2＝0，x+1＝0．
能力提升
5．若等腰三角形ABC的两边分别是方程（x﹣2）（x﹣3）＝x﹣2的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．7或8 D．8或10
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝x﹣2，∴（x﹣2）（x﹣3）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，则x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得x＝2或x＝4，
若腰长为2，则2+2＝4，不能构成三角形；
若腰长为4，三边长度为2、4、4，可以构成三角形，周长为2+4+4＝10，故选B．
6．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，E为BC的中点，AE＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则 ABCD的周长为（ ）
A．4+2 B．12+6
C．4+2或12+6 D．4﹣2或12﹣6
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，∴a2﹣2a﹣3＝0，即（a+1）（a﹣3）＝0，
解得，a＝3或a＝﹣1（不合题意，舍去）．
∵E为BC的中点，AE＝EC＝a，∴AE＝EB＝EC＝a＝3．
在Rt△ABE中，AB＝＝＝3，∴BC＝EB+EC＝6，
∴ ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（3+6）＝6+12，故选B．
7．用适当的方法解下列方程．
（1）x（x﹣3）+x﹣3＝0；（2）2x2﹣5x﹣3＝0；
（3）（3x﹣2）（x+2）＝28．
【解答】解：（1）方程分解得：（x﹣3）（x+1）＝0，
所以x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）分解因式得：（2x+1）（x﹣3）＝0，
所以2x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝3．
（3）（3x﹣2）（x+2）＝28，3x2+4x﹣32＝0，（3x﹣8）（x+4）＝0，
∴3x﹣8＝0或x+4＝0，∴x1＝，x2＝﹣4．
8．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为 12 ．
【解答】解：x2﹣10x+24＝0，解得x＝6或x＝4．
所以菱形的面积为：（6×4）÷2＝12．故答案为12．
素养拓展
9．观察下面方程x4﹣13x2+36＝0的解法。
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0
∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0
∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？
【解答】解：原方程可化为|x|2﹣3|x|+2＝0
∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）＝0 ∴|x|＝1或|x|＝2
∴x＝1，x＝﹣1，x＝2，x＝﹣2
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