1.1空间向量及其运算-1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共27页）

(共27张PPT)
1.1
空间向量及其运算
第一章
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
1.会识别空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.
核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
新知讲解
一 空间向量的夹角
(1)定义：如图，已知两个非零向量 ,在空间任取一点，作 = = ,则∠叫做向量 夹角，记作< >.
o
B
关键是起点相同！
复习引入 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
新知学习
(2)范围： .
0≤〈a，b〉≤π
①向量
O
A
B
< >=0
A
B
O
A
B
<>=π
③< >=
④< >=< >
②向量
O
二 两个向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量 ，则 ||cos< >叫做 的数量积，记作.
即＝ ||cos< >.
注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于0.即＝0.
(2) 性质
两个向量数量积的性质 ①若，是非零向量，则⊥ _______.
②若与同向，则·＝______；若反向，则·＝________.
③特别地，·＝____或||＝__ _.
④若〈，〉为，的夹角，则cos〈，〉＝_______.
⑤|·|≤||·||
a·b＝0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
（判断向量垂直）
（向量的模长公式）
（向量的夹角公式）
三 空间向量数量积运算律
向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即＝ ＝，＝ ，都不成立．
（1）＝
（2）()·＝
（3） ·(＋)＝
() =·()
＋
（交换律）
（分配律）
思考 对应向量成立吗
（数乘结合律）
（1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，＝||cos〈，〉，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影(如图(2)).
四 向量投影
（2）如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到 ，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
即时巩固
2.若＝0，则＝0或＝0.(　　)
3.对于非零向量，由＝，可得.(　　)
4.若非零向量，为共线且同向的向量，则＝||||.(　　)
×
√
×
√
一、数量积的计算
例1　如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求：
典例剖析
＝cos 60°－cos 60°＝0.
反思感悟 求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入＝求解.
跟踪训练　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析　∵且
∴
＝3＋0－2＝1.
2
＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.
反思感悟
反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
跟踪训练　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明　在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
三、用数量积求解夹角和模
例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.
延伸探究
2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
反思感悟 求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝ 求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉.
(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝ ，计算出|a|，即得所求长度(距离).
A.30° B.60° C.90° D.120°
D
跟踪训练
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（ ）
A
随堂小测
2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有（ ）
C
D
4.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____.
解析　|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.
60°
1
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
方法二　根据向量的线性运算可得
7.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.
解　由AC⊥α，可知AC⊥AB，过点D作DD1⊥α，
D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，
即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°，
因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影.
(2)空间向量数量积、性质及运算律.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：空间向量的数量积的注意点
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
课堂小结
谢 谢！