1.3.1 空间直角坐标系 课件（共23页）

(共23张PPT)
1.3
空间向量及其运算的坐标表示
第一章
1.3.1 空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.
核心素养：数学抽象、直观想象
学习目标
一　空间直角坐标系
1.空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 .
(2)相关概念： 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空间分成八个部分.
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系Oxyz
O
每两个坐标轴
Oxy
Oyz
Ozx
新知学习
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
x轴
y轴
z轴
思考 空间直角坐标系有什么作用？
可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化.
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标.
二　空间一点的坐标
有序实数组(x，y，z)
A(x，y，z)
x
y
z
思考　空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0).
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0).
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).
三　空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z).
思考　空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量 的坐标也为(x，y，z).
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
判断正误：
1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式.(　　)
2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式.(　　)
3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反.(　　)
×
√
√
即时巩固
一、求空间点的坐标
例1　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，C的坐标分别为______________；
②棱C1C中点的坐标为_________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为__________.
(0,0,0)，(1,1,0)
典例剖析
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0, ).
答案不唯一.
反思感悟
反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面.②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).
跟踪训练　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.
解　建立如图所示的空间直角坐标系.
点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，
而E为DD1的中点，
由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，
(答案不唯一)
二、空间点的对称问题
例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
解　（1）由于点关于x轴对称后，它在轴的分量不变，在轴，轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为(－2，－1，－4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
（2）由点关于平面对称后，它在轴，轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为(－2,1，－4).
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
（3）设对称点为，则点为线段的中点，由中点坐标公式，
可得＝2×2－(－2)＝6，＝2×(－1)－1＝－3，＝2×(－4)－4＝－12，
所以的坐标为(6，－3，－12).
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
跟踪训练　已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________.
(2，－3,1)
解析　点(2,3，－1)关于坐标平面的对称点的坐标为(2,3,1)，
点关于坐标平面的对称点的坐标为(－2,3,1)，
点关于轴的对称点的坐标是(2，－3,1).
三、空间向量的坐标
解　建立如图所示的空间直角坐标系，
＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4).
反思感悟 向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同；(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得.
跟踪训练　已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，设点A，B在yOz平面上的射影分别为A1，B1，则向量 的坐标为____________.
(0，－1,10)
解析　点(3,5，－7)，(－2,4,3)在平面上的射影分别为(0,5，－7)，(0,4,3)，
随堂小测
1.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是（ ）
A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
C
A
3.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为__________；点P关于z轴的对称点P2的坐标为____________.
(1,1，－1)
(－1，－1,1)
解析　点(1,1,1)关于平面的对称点的坐标为(1,1，－1)，
点关于轴的对称点的坐标为(－1，－1,1).
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量 的坐标为________.
(－4,2,3)
＝－4i＋2j＋3k＝(－4,2,3).
5.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为________.
(5,4,1)
解析　设B点的坐标为(x，y，z)，
解得＝5，＝4，＝1，故点的坐标为(5,4,1).
6.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________________.
(－1，－2，－1)
解析　因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，
所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，
所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1).
7.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为____________.
(1,1,1)
解析　由题意知p＝2a＋b－c，
则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1).
设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又∵p＝2a＋b－c，
8.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标.
解　过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念.
(2)点的坐标.
(3)向量的坐标.
2.方法归纳：
数形结合、类比联想.
3.常见误区：
混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同.
课堂小结
谢 谢！