1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件（共25页）

(共25张PPT)
1.3
空间向量及其运算的坐标表示
第一章
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.掌握空间向量的坐标表示.
2.掌握空间两点间距离公式.
3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.
核心素养：数学运算、直观想象
学习目标
一　空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝_______________________
减法 a－b a－b＝_______________________
数乘 λa λa＝______________，λ∈R
数量积 a·b a·b＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
新知学习
思考　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
三　空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
判断正误
×
×
√
√
即时巩固
一、空间向量的坐标运算
典例剖析
因此，a＝(0,1，－2).
反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
4
∴a·b＝1＋0＋3＝4.
二、向量的坐标表示的应用
<1>　空间平行垂直问题
例2　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
证明　如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)AM⊥平面BDF.
又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
<2>　夹角、距离问题
例3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.
(1)求BN的长；
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.
解　依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
又异面直线所成角为锐角或直角，
反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
跟踪训练　如图，长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点.
(1)求证：EF⊥B1C；
证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
(2)求FH的长.
(3)求EF与C1G所成角的余弦值；
三、利用空间向量解决探索性问题
例4　正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，
即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.
反思感悟
(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题.
(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
A.(－1,3，－3) B.(9,1,1)
C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)
B
随堂小测
A.5 B.4 C.3 D.2
C
解析　λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，
3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（ ）
D
解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
C
5.在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝ ，则m的值为________.
－7或13
所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.所以m＝－7或13.
7.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝_____.
0
所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
8.若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是____________.
(－∞，－2)
解析　由题意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，
又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.
又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2).
9.三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P－ABC的体积为____.
解析　由A，B，C，P四点的坐标，知△ABC为直角三角形，
AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB＝1，AC＝2，PA＝3，
1
10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝ ，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点.
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
解　由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标.
解　由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，
由NE⊥平面PAC可得，
1.知识清单：
(1)向量的坐标的运算.
(2)向量的坐标表示的应用.
2.方法归纳：类比、转化.
3.常见误区：
(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.
课堂小结
谢 谢！