1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时） 课件（共25页）

(共25张PPT)
1.4
空间向量的应用
第一章
1.4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题（第1课时）
1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想.
核心素养：数学推理、数学运算.
学习目标
一　点P到直线l的距离
新知学习
二　点P到平面α的距离
思考　怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离.
1.空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为（ ）
C
即时巩固
2.已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为（ ）
C
3.已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________.
5
4.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________.
一、点到直线的距离
例1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.
典例剖析
解　因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，
反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量.
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.
(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
跟踪训练　已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离.
解　以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，
二、点到平面的距离与直线到平面的距离
例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离；
解　建立如图所示的空间直角坐标系，
设DH⊥平面PEF，垂足为H，
x＋y＋z＝1，
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解　连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
反思感悟 用向量法求点面距的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量：求出相关向量的坐标( ，α内两不共线向量，平面α的法向量n).
(4)求距离d＝ .
跟踪训练　如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高.
解　设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，
有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
取z＝1，得n＝(h，h，1)，
解得h＝2.
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.
1.已知A(0, 0, 2) ，B(1, 0, 2) ，C(0, 2, 0) ，则点A到直线BC的距离为（ ）
A
解析　∵A(0, 0,2)，B(1, 0,2)，C(0, 2,0)，
∴点A到直线BC的距离为
随堂小测
2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是（ ）
解析　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
D
3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为（ ）
B
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1) ，
设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y，1) ，
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是（ ）
解析　建立空间直角坐标系如图所示，
B
5.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ）
C
则C(0,12,0)，D1(0,0,5).设B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0).
设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
6.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为______.
7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，则点A到平面EFG的距离为________.
解析　建系如图，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
点A到平面EFG的距离为d，
令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
8.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为______.
解析　以AB的中点O为坐标原点，分别以OE，OB所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1).
9.在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为_____.
解析　AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离.
由已知可得AB，AD，AP两两垂直.
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
取a＝1，得n＝(1,0,1)，
10.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离；
解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直线AC1的一个单位方向向量为
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
解　设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，
1.知识清单：
(1)点到直线的距离.
(2)点到平面的距离与直线到平面的距离.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.
课堂小结