2.1.1倾斜角与斜率 课件（共20页）

(共20张PPT)
2.1.1　倾斜角与斜率
第二章
2.1
直线的倾斜角与斜率
学习目标
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象
复习引入 点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中,可以用坐标表示点,那么,如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题,我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
0
x
y
l
思考1 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的
一条直线（如右图），如何利用坐标系确定它的位置？
0
x
y
.A
.B
l
结论 一点和一个方向确定一条直线.
新知学习
思考2 我们知道，在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束.
l2
0
x
y
.P
l1
l3
l'
α3
α'
α2
α1
结论 这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是直线向上的方向与轴的正方向所成的角不同.
这些直线的区别是什么？
当直线与轴相交时,以轴为基准,与直线向上的方向之间
所成的角叫做直线的倾斜角.
l2
0
x
y
.P
l1
l3
l'
α3
α'
α2
α1
l
1.规定：当直线与轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°.
2.范围：0°≤α<180°
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个 以及它的 .
定点
倾斜角
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
新知讲解
直线倾斜角的定义：
1.下列各图中表示直线倾斜角的为(　　)
C
3.直线的倾斜角 .
90°
即时巩固
2.直线的倾斜角 .
0°
思考1 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.已知直线经过，(，1)，的坐标有什么关系？
设(其中),是直线上的两点.由两点确定一条直线可知，直线由点唯一确定.所以，可以推断，直线的倾斜角与两点的坐标有内在联系.
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y2)
l
0
x
y
.
. P(，1)
l
α
tan
思考2 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为α. 如果直线经过，(,0) ，
α的坐标又有什么关系？
0
x
y
. P1(-1,1)
l
.
α
α
P
tan
(,0)
思考3 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为α. 如果直线经过两点
,那么与的坐标又有怎样的关系？
tan
tan
总结 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为α. 如果直线经过两点 ,
tan
那么
思考4 如果直线 经过两点, ，当直线 与轴平行
或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y1)
l
成立，tan
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x1,y2)
l
不成立，当时， ，上述式子没有意义
思考6 如果直线经过两点, ，上述式子与两点的顺序有关吗？
无关，tan
思考5 如果直线 经过两点, ，当直线 与轴平行
或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母表示，即
k=tan
（）
90°
0
(0，＋∞)
(－∞，0)
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
2.用斜率可以表示直线的倾斜程度，进而表示直线的方向.
新知讲解
斜率的定义：
k=tan
（）
如果直线 过两点,,那么直线的斜率公式为
k
(x1x2)
注意：
1.运用上述公式的前提是 ,即直线不与轴垂直.
2.上述公式与在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.
3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成，即下标的顺序要一致.
√
×
即时巩固
×
×
【解析】（1）任一直线都有倾斜角，但倾斜角为的 直线不存在斜率 .
（2）
（3）直线的斜率有可能不存在（ 时） .
450
D
【解析】∵.
【解析】由图可知故选 D.
如果直线过两点,, 直线的斜率为，则直线的方向向量为
思考 直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
=（1, k）
结论：
1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为则 k
2.若直线 的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y2)
l
例 如图，已知，求直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
反思感悟 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解；若含有参数，常常需要进行分类讨论.
典例剖析
已知直线经过两点
(1)当为何值时,直线的斜率是1
(2)当为何值时,直线的倾斜角为90°
(3)当为何值时,直线的倾斜角为锐角
(2)直线的倾斜角为90°,则直线垂直于轴，所以得.
跟踪训练
(3)直线的倾斜角为锐角,则直线的斜率存在且大于0，
所以，得.
1.若直线经过第二、四象限,则直线的倾斜角的取值范围是(　　)
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°<α<180°
3.过点的直线的斜率为,那么的值为 .
C
A
随堂小测
解析:,所以
又所以 =45°.
解析:由,得.
1.直线的倾斜角的定义
2.直线的斜率的定义
3.过两点的斜率公式
当直线 l 与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，
x轴正向与直线 l 向上
方向之间所成的角α
叫做直线 l 的倾斜角．
一条直线的倾斜角　的正切值叫做这条
直线的斜率.
4.直线的方向向量与斜率之间的关系
课堂小结
谢 谢！