1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时) 课件(共34页)

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名称 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时) 课件(共34页)
格式 pptx
文件大小 2.7MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-09-20 16:26:06

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文档简介

(共34张PPT)
1.4
空间向量的应用
第一章
1.4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题(第2课时)
1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.
核心素养:数学推理、数学运算.
学习目标
一 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角.
不大于90°
新知学习
二 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线l1,l2 所成的角为θ,其方向向量分别为 u,v,则cos θ=|cos〈u,v〉|=_____
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=_____________=______
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2, 则cos θ=|cos 〈n1,n2〉|=_______
|cos 〈u,n〉|
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
D
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
即时巩固
2.已知向量m,n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量,若cos〈m,n〉= ,则l与α所成的角为( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
解析 设l与α所成的角为θ,
B
3.已知平面α的法向量u=(1,0,-1),平面β的法向量v=(0,-1,1),则平面α与β的夹角为____.
一、两条异面直线所成的角
例1 如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA= ,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.
典例剖析
建立如图所示的空间直角坐标系,
反思感悟 求异面直线夹角的方法
(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.
(2)向量法:在两异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则 与 可分别为a,b的方向向量,则cos θ= .
跟踪训练 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
二、直线与平面所成的角
例2 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(1)证明:CM⊥SN;
证明 设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
因此CM⊥SN.
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
取y=1,得a=(2,1,-2).设SN与平面CMN所成的角为θ,
反思感悟
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ,则sin θ= .
跟踪训练 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E,F依次为C1C,BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
解 以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),
设平面AEF的一个法向量为n=(a,b,c),
令a=1可得n=(1,-1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ,
三、两个平面的夹角
例3 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥平面ABCD;
证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,
又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,
因为AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA=60°,求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.
解 因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,
又O1O⊥平面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.
如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
设棱长为2,因为∠CBA=60°,
平面BDD1B1的一个法向量为n=(0,1,0),
设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),
反思感悟 求两平面夹角的两种方法
(1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线,这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异同.
跟踪训练 如图所示,在几何体S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.
解 如图,过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,以DC,DE,DA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,
设平面SAD的法向量为m=(x,y,z),
四 空间向量和实际问题
例4 如图,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处.从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,甲乙之间拉紧的绳长为d,求库底与水坝所在平面夹角的余弦值.
解 由题意可知AC=a,BD=b,CD=c,AB=d,
反思感悟 利用空间向量解决实际问题
(1)分析实际问题的向量背景,将题目条件、结论转化为向量问题.
(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题,可以考虑建立向量模型,体现了数学建模的核心素养.
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°,则l1与l2所成的角为( )
A
随堂小测
2.已知向量m,n分别是平面α和平面β的法向量,若cos〈m,n〉=,则α与β的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
B
解析 设α与β所成的角为θ,且0°≤θ≤90°,
3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
C
解析 如图所示,以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴建立空间直角坐标系,设CA=CB=1,
4.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为( )
D
解析 设α与l所成的角为θ,
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
A
解析 不妨设CA=CC1=2CB=2,
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.
解析 设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系如图.
则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).
7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________.
解析 如图所示,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),
连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,
8.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 ________.
解析 如图,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,
平面ABC的法向量为n1=(0,0,1),平面AEF的法向量为n2=(x,y,z).
取x=1,则y=-1,z=3.故n2=(1,-1,3).
9.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=____.
解析 平面xOy的法向量n=(0,0,1),
10.如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC= ,则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_____.
解析 ∵AC=BC=2,D是AB的中点,
∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0).
11.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;
解 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系Axyz.
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值;
解 连接DB1,∵∠ADE=∠ADF,
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.
又四边形B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线,
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值.
设平面B1EDF的一个法向量为n=(1,y,z),
1.知识清单:
(1)两条异面直线所成的角.
(2)直线和平面所成的角.
(3)两个平面的夹角.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:混淆两个向量的夹角和空间角的关系,不能正确理解空间角的概念,把握空间角的范围.
课堂小结