2.5.1 直线与圆位置关系 课件（共22页）

(共22张PPT)
2.5
直线与圆、圆与圆的位置关系
第二章
2.5.1 直线与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.能用圆和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
核心素养：逻辑推理、数学建模
学习目标
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．
从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？
情境导学
直线与圆的位置关系:
思考 如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？
位置关系
相交
相切
相离
图形
d与r的关系
交点个数
0个
1个
2个
新知学习
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
判断直线与圆的位置关系
典例剖析
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
消去y，得
因为
= 1 > 0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
把 代入方程①，得 ；
把 代入方程① ，得 ．
由 ，解得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
判断直线与圆的位置关系
典例剖析
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
消去y，得
因为
= 1 > 0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
把 代入方程①，得 ；
把 代入方程① ，得 ．
由 ，解得
解法二：圆， 可化为
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 ，
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
点C （0，1）到直线 l 的距离
=<
由垂径定理，得.
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
例1 如图，已知直线l： 和圆心为C的圆 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
判断直线与圆的位置关系
典例剖析
运算量较大
请谨慎选择
解惑提高 判断直线与圆的位置关系的方法
1.代数法：由
2.几何法：计算圆心到直线的距离d，与半径r相比较
1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系
(1) 圆
(2) 圆
(3) 圆
2.判断直线与圆的位置关系;如果相交，求出直线被圆截得的弦长.
相交
相切
相离
直线与圆相交，弦长为
即时巩固
例2 过点作圆的切线l,求此切线l的方程.
【分析】如图，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为, k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
.
P
O
x
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为，
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
求圆的切线方程
典例剖析
解得或 .
因此，所求切线l的方程为，或.
例2 过点作圆的切线l,求此切线l的方程.
【分析】如图，点位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方程为, k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
.
P
O
x
y
解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为，
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.
消元，得.①
求圆的切线方程
典例剖析
解得或 .
因此，所求切线l的方程为，或.
因为方程①只有一个解，所以，
变式 过点 作圆的切线l,求此切线l的方程.
.
P
o
x
y
即,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
解：设切线l的方程为,
①当切线l的斜率存在时,
解得 =
此时，切线l的方程为.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
综上可知，切线l的方程为x=1 或.
1.先判断点P与圆的位置关系
若点P在圆上，切线有一条
若点P在圆外，切线有两条
2.在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况.
先定位，再定量
解惑提高 求过一点P的圆的切线方程问题需注意：
跟踪训练 已知过点的直线l被圆所截得的弦长为8，求直线l的方程.
∵ 直线l 过点M,
解: ∵∴
∴ 圆心半径
可设所求直线l 的方程为:
①当直线l的斜率存在时，
直线l的方程为x=-3，
此时，圆心到直线l的距离为3，符合题意.
.
x
y
O
.
M
E
F
②当直线l的斜率不存在时，
∴ =3,解得
综上所述，所求直线l的方程为:
∵ 直线l被圆所截得的弦长为8，∴弦心距为d =
所求直线l的方程为
直线与圆的方程在实际生活中的应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度m，拱高m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01 m）.
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
典例剖析
P
O
A2
P2
A1
A
A3
A4
B
C
H
思考1 你能用几何法求支柱的高度吗？
【分析】如图，过作
由已知，在直角三角形中，有+.
设圆拱所在圆的半径长是，则有,
解得.我们求出
而=
所以
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
思考2 你能用代数法(坐标法)求支柱的高度吗？
思考3 取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
思考4 利用这个圆的方程可求得点的纵坐标是多少？问题的答案如何？
.
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是,
圆的半径是 ,则圆的方程是.
答：支柱的长度约为3.86 m.
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01m）.
第一步:建立坐标系，用坐标和方程表示有关的量．
第二步:进行有关代数运算
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系．
因为所以.
把点的横坐标代入圆的方程，
把代入圆的方程得方程组
解得
所以圆的方程是
典例剖析
解惑提高 坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过
5
O
M
N
P
x
y
跟踪训练
代数方法
几何方法
图形直观判断
两图形方程判断
直线与圆的位置关系
相交 两个交点 d相切 一个交点 d=r
相离 没有交点 d>r
课堂小结
谢 谢！