3.2.2双曲线的简单几何性质 课件（共24页）

(共24张PPT)
3.2
双曲线
第三章
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
复习引入
新知学习
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
图象
方程 -=1 -=1
焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c)
a.b.c 的关系 c =a +b （c＞a＞0，c＞b＞0）
2、对称性
1、范围
∵≥1，即x ≥a
∴x≥a，x≤-a
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
新知讲解
一　双曲线-=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质
关于x轴、y轴和坐标原点都对称. x轴、y轴是双曲线
的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.
3.定点
双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.焦点在x轴上的双曲线的顶点是（-a，0）、（a，0）
x
y
o
-b
b
-a
a
4.轴
（1）如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
（2）等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
方程为
-c
c
M(x,y)
5、渐近线
N(x,y’)
Q
x
y
o
a
b
双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两支向外延伸时，与两条直线±逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.
双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线为直线y＝.
如图，双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交。
6、离心率
（1）定义：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率.
（2）e的范围：因为c>a>0，所以双曲线的离心率e>1.
（3）e的含义：e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.
（4）等轴双曲线的离心率e=，即离心率e=是等轴双曲线
（5），在a，b，c，e四个参数中，知二可求二
x
y
o
-a
a
b
-b
（1）范围:y≥a，y≤-a
（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点:(0,-a)、(0,a)
（4）渐近线:x
（5）离心率:
二　双曲线-=1（a＞0，b＞0）的简单几何性质
一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点
提示:1个.
思考
1. 若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为 .
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的方程为 .
即时巩固
双曲线 椭圆
曲线 两支曲线 封闭的曲线
顶点 两个顶点 四个顶点
轴 实、虚轴 长、短轴
渐近线 有渐近线 无渐近线
离心率 e>1 0a,b,c关系 a2+b2=c2 a2-b2=c2
三　双曲线与椭圆的区别
一、已知双曲线的方程求其几何性质
例1 求双曲线9y -16x =144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标,离心率.渐近线方程.
解 把方程化为标准方程
，虚半轴长b=3，
半焦距c=，
焦点坐标是(0,-5),(0,5)，
离心率=，
渐近线方程为.
典例剖析
反思感悟
由双曲线方程研究双曲线的几何性质，关键是求出a，b，c的值，如果已知方程不是标准方程，首先要化为标准方程，利用焦点在x2，y2两项中系数为正的坐标轴上可判断焦点的位置，利用焦点一定在实轴上确定a，b的值，再利用c2＝a2+b2确定c的值.
跟踪训练　双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于 （D）
A. B. C.2 D.4
二、求双曲线方程
反思感悟 1.待定系数法求双曲线的标准方程
具体过程是先定形 ，再定量.即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线方程之间的关系，求出a，b的值
2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为 ；
（2）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分；
解　（1）设所求双曲线的标准方程为 -=1（a＞0，b＞0），则2b＝8，e＝，
从而b＝4，c＝ a，代入c2＝a2+b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为.
（2）由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c＝4a＝12，
即c＝6,于是有b2＝c2-a2＝62-32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，
故所求双曲线的标准方程为 或 .
三、求双曲线的离心率
例3 若以双曲线 （a>0）的左、右焦点和点（2，）为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为 （B）
A. B. C.2 D.
解析 由题意得点（2，）为该直角三角形的直角顶点，双曲线的左、右焦点分别为（-c，0），（c，0），则有＝-1，解得c2＝6，所以a2＝c2-4＝2，因此.
反思感悟 双曲线离心率的求法
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质之一，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围）常见的方法有两种：
（1）求出a，c，代入公式e＝；
（2）根据已知条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2-a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
跟踪训练　设双曲线C： -＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线与双曲线C的左支交于M，N两点，若|MF2|＝|F1F2|，且2|MF1|＝|NF1|，则双曲线的离心率是 （　D　）
A.2 B. C. D.
解析　解析：如图所示，取F1M的中点P，则|MF2|＝|F1F2|＝2c，|MP|＝c-a，|F1P|＝c-a.
又|NF1|＝2|MF1|，∴ |NF1|＝4（c-a），|NF2|＝4c-2a.
在Rt△NPF2中，|NP|2+|PF2|2＝|NF2|2；
在Rt△MPF2中，|MP|2+|PF2|2＝|MF2|2.
整理得（4c-2a）2-［5（c-a）］2＝（2c）2-（c-a）2，
化简得3c2-8ac+5a2＝0，即（c-a）（3c-5a）＝0，
得c＝a（舍去）或3c＝5a，∴ e .
四、双曲线的实际应用
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图（1））.它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m）.
图（1）
解 根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如有图所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2.
设双曲线的方程为 -＝1（a>0，b>0），点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y-55）.
因为直径AA′是实轴，所以a＝12.又B，C两点都在双曲线上，所以
由方程②，得y＝（负值舍去）.代入方程①，得 - ＝1.
化简得19b2+275b-18 150＝0. ③
解方程③，得b≈25（负值舍去）.
因此所求双曲线的方程为 ＝1.
随堂小测
C
D
B
或
或
关于坐标轴和
原点
都对称
性质
双曲线
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
图象
课堂小结