3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共26页）

(共26张PPT)
3.3
抛物线
第三章
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.体会数形结合思想在抛物线问题中的应用.
3.会解决抛物线的简单应用问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
学习目标
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
2.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
链接回顾
新知学习
赵州桥
情景引入
l
F
K
M
H
名师点析
1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛物线的准线;一相等,即|MF|=d(d为M到准线l的距离).
2.定义中,要注意定点F不在定直线l上.
当直线l经过点F时,点的轨迹是
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
新知讲解 .抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
1.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线
2.平面内到点A(2,3)和直线l:x+2y-8=0距离相等的点的轨迹是(　　)
A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.圆
B
A
小试牛刀
l
F
K
M
H
思考 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何选择坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
设︱KF︱= p (p>0)
则F（ ，0），l：
设点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
化简得 y2 = 2px（p＞0）
x
O
y
方程y2=2px叫做抛物线的标准方程.
它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是 ,
它的准线方程是.
其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离(焦准距).
新知讲解 抛物线的标准方程
l
F
K
M
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x
O
y
K
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M
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·
·
o
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x
F
M
l
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·
·
F
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l
H
·
·
F
M
l
H
·
·
y
x
o
探究 抛物线标准方程的其他形式
x
y
o
x
y
o
F
l
标准方程
焦点坐标
准线方程
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) (p/2,0) x=-p/2
标准方程 焦点坐标 准线方程
x2=2py(p>0) (0,p/2) y=-p/2
x2=2py(p>0)
(0,p/2)
y=-p/2
y2=-2px
(p>0)
(-p/2,0)
x=p/2
x
y
o
F
l
x2=-2py
(p>0)
(0,-p/2)
y=p/2
解惑提高 抛物线的标准方程
图象 开口方向 标准方程 焦点 准线
向右
向左
向上
向下
相同点
（1）抛物线过原点;
（2）对称轴为坐标轴;
（3）原点到焦点的距离等于
原点到准线的距离，其值为p/2.
不同点
（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;
(2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.
1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.(　　)
(3)若抛物线的方程为,则其中的焦参数.(　　)
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.(　　)
×
×
×
×
2.抛物线x2= y的开口向____,焦点坐标为　　　　　,准线方程是　　　　　.
上
即时巩固
解:(1)因为p=3,抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以焦点坐标是(,0),准线方程是x=- .
例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
典例剖析
(2)若抛物线焦点在x轴上,设它的标准方程为y2=2px,
由于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-2)2=2p(-4),解得p=-,
故此时所求标准方程为y2=- x;
x
y
o
(-4,-2)
若抛物线的焦点在y轴上,设它的标准方程为x2=２py,
由于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-4)2=２p(-2),解得p=-４,
故此时所求标准方程为x2=-8y;
综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为y2=- x或x 2=-8y.
反思感悟 求抛物线的标准方程一般有两种形式：
（1）定义法，直接利用定义求解．
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程：
(1)y2=28x;
(2)4x2=3y;
(3)2y2+5x=0;
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F（3，0）；
(2)准线方程是x=；
(3)焦点到准线的距离是2；
(4)焦点在直线3x-4y-12=0上.
y2=12x
y2=-x
y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y
y2=16x或x2=-12y
焦点（7，0），准线x=-7
焦点（0，），准线y=-
焦点（-，0），准线x=
跟踪训练　
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示．卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径为4.8m，深度为1m，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
解：如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.则 A (1, 2.4)．
设抛物线的标准方程是 y2 = 2px (p>0)．
将 A (1, 2.4) 代入得 2.42 = 2p×1，解得 p = 2.88．
所以，所求抛物线为 y2 = 5.76x，焦点坐标为 (1.44, 0)．
典例剖析
反思感悟 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤
(1)建:建立适当的坐标系.
(2)设:设出合适的抛物线标准方程.
(3)算:通过计算求出抛物线标准方程.
(4)求:求出所要求出的量.
(5)还:还原到实际问题中,从而解决实际问题.
1.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
随堂小测
D
B
A
C
A
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
∴抛物线的方程为y2=8x.
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是　　　　　.
y2=8x
8.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),
求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标.
【解】将代入抛物线方程,得.
∵,∴A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线的距离为d,
由定义知.
由图可知,当 时,|最小,最小值为.
即的最小值为 ,
此时P点纵坐标为2,代入,得.
∴点P坐标为
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为，
由题意可知，在抛物线上，所以，得，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则，
由,得，
又知船面露出水面上部分高为0.75米，所以=2米.
抛物线的定义
抛物线四种形式的标准方程
抛物线的定义及其标准方程的简单应用
数形结合的思想
坐标法
分类讨论的思想
课堂小结
谢 谢！