3.2.1双曲线的标准方程 课件（共31页）

(共23张PPT)
3.2
双曲线
第三章
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.
4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
核心素养：数学运算、直观想象、数学抽象
新知讲解
复习引入 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
如果平面内与两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这样的点的轨迹是什么图形呢？
新知学习
1.双曲线的定义
（1）模型试验
取一条拉链，如图，把它固定在板上的F1、F2两点，拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）上面 两条曲线合起来叫做双曲线,
每一条叫做双曲线的一支.
（2）定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数 （小于︱F1F2︱）
的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距；
③此常数记为2a，则a2
F
F
1
M
| |MF1|-|MF2| | = 2a <|F1F2 |
如果没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.
双曲线的一支，如右图.
两条射线，如右图.
2、若常数2a=0,轨迹是什么
线段F1F2的垂直平分线，如右图.
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
轨迹不存在
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
思考
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a (小于|F1F2 |)的
点的轨迹是什么？
（1）双曲线标准方程的推导：建立直角坐标系-设点-列式-化简
F2
F1
M
O
y
建系
　 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.
设点
设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）, 非零常数等于2a （a>0） ，则F1(-c,0),F2(c,0).
　2.双曲线的标准方程
x
O
y
列式
即
化简
y =
令c2-a2=b2,其中b>0
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
F2
F1
M
思考
以F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.则双曲线的标准方程怎么写？
3.双曲线的两种标准方程的特征
① 方程用“—”号连接.
② a，b 大小不定.
③ c =a +b
④如果x 的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y 的系数是正的，则焦点在y轴上.
记忆口诀：化成标准形式，焦点跟着正项走
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( × )
(2)在双曲线标准方程中，a＞0，b＞0且a≠b． ( × )
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b． ( × )
D
即时巩固
一、求双曲线的标准方程
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，
求双曲线的标准方程.
解 因为双曲线的交点在x轴上，所以设它的标准方程为
由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，
因此b2=c2-a2=52-32=16，
所以双曲线的标准方程为
典例剖析
反思感悟 双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程1或(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
跟踪训练 若中心为原点的双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且过点P（2，3），则
双曲线的标准方程为　　 　　.
解析 设双曲线的标准方程为- ＝1（a>0，b>0），由题意知，该双曲线的左、右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0）.由双曲线的定义可得2a＝||PF1|-|PF2||＝＝2，∴ a＝1，则b=，因此双曲线的标准方程为- ＝1.
- ＝1
二、求动点的轨迹方程
例2 一炮弹在某处爆炸.在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m，并且此时声速
为340m/s.问爆炸点应在什么样的曲线上？并求出轨迹方程.
分析 因为在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在B处 远680m<800m.因此爆炸点应位于以A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上.
解 如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B在x轴上，并且原点O与线段AB的中
又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400.
因为|PA|-|PB|所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x
点重合，设炮弹爆炸点P的坐标为（ x，y ），则
|PA|-|PB|=340
即，
反思 利用定义法求轨迹方程的一般步骤
1.建立直角坐标系，结合图形确定动点满足的几何条件.
2.依据几何条件和曲线方程的定义确定轨迹的形状.
3.确定曲线方程中的参数并直接写出方程.
4.验证所求方程（检查是否有要去掉的点）.
跟踪训练 在△ABC中，边BC固定，且|BC|＝2.当三内角A，B，C满足sin C-sin B＝ sin A时，建立适当的直角坐标系，求顶点A的轨迹方程.
解 如图，以BC边所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0）.
由sin C-sin B＝sin A，得|AB|-|AC|＝ <|BC| ＝1<|BC|＝2.
∴ 动点A（x，y）符合双曲线的定义，
且满足 解得从而b＝.故双曲线方程为- =1.
又|AB|>|AC|，可知点A的轨迹是双曲线的右支，且除去点，
即顶点A的轨迹方程为- =1（x＞ ） .
三、双曲线标准方程的应用
例3　已知方程（1+k）x2-（1-k）y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为（A）
A.（-1，1） B.（1，+∞）
C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
解题提示　由题意可知1+k与1-k同大于0.
解析 由题意得 解得 即-1反思 若mx2+ny2＝1，则mn<0是该方程表示双曲线的充要条件.
跟踪训练 已知双曲线＝1的焦点在x轴上，若焦距为4，则a＝（C）
A. B.7 C. D .
解析 由双曲线＝1的焦点在x轴上，焦距为4，
可得解得a＝.
1.已知点（2，3）在双曲线C：＝1（a>0，b>0）上，双曲线C的焦距为4，则双曲线的方程为　　　 　.
随堂小测
=1
2.已知F1（-5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|-|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为 （C）
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条射线
D.双曲线的一支和一条直线
3.若m∈R，则“m>4”是“方程 ＝1表示双曲线”的 （A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.椭圆 ＝1与双曲线-y2＝1有相同的焦点F1，F2，点P是椭圆与双曲线的一个交点，则△PF1F2的面积是 （C）
A. 4　　B. 2　　C. 1　　D.
5.某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如右图），|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
解　如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设M是分界线上的点，则|MA|+|AP|＝|MB|+|BP|，
即|MA|-|MB|＝|BP|-|AP|＝150-100＝50（m），这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
在△APB中，|AB|2＝|AP|2+|BP|2-2|AP|·|BP|cos 60°＝17 500，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为＝1（x≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
1.知识清单：
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程.
(3)双曲线的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽略双曲线定义中的限制条件，即对||PF1|-|PF2||＝2a<|F1F2|（a>0）限制要求
课堂小结