课 题：一元二次方程的解法（4）
公式法
序 号：（ 6 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本26---28 页
学习目标：1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
重 点：求根公式的推导和公式法的应用。
难 点：一元二次方程求根公式法的推导
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
2用适当的方法解下列方程。
⑴ 6x2-7x+1=0 ⑵2x2-3x+5=0 （3）4x2-3x=52
3一元二次方程的一般形式是什么？
4填空：
（1）方程中，= ，= ，= ；
（2）方程中，= ，= ，= ；
（3）方程中，= ，= ，= ；
方程化为一般形式为： ，其中，
= ，= ，= 。
自主预习课本26---28页，完成下列各题：
1.求根公式是什么？
2.用公式法解方程：
（1）
解：∵= ，= ，=
∴=
∴x=
∴= ， =
∴原方程的解是：= ，=
【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：
由上可知：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，应该先确定方程的系数a、b、c，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"（b2-4ac≥0）
就可求出方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：
⑴将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。
⑵式子b2-4ac≥0是公式的一部分。
【例1】用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2-x+ =0 （3）
【小结】用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．
跟踪练习 用公式法解下列方程．
（1）－6x＋1＝0 （2）2＋x－6＝0 （6）
【例2】用公式法解下列方程．
（1）x2+1.5=-3x （2） （3）
【小结】在用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=（b2-4ac≥0）中，可求得方程的两个根。
跟踪练习 用公式法解下列方程．
（1）4－3x－1＝x－2 （2）2－x＝6 （3）
思考：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①将方程化为一般形式；
②写出方程中的、、的值；
③计算的值，若其值大于0或等于0，则方程有实数根；
④把、、的值代入求根公式，求出方程的解。
【例3】解关于的方程
跟踪练习：用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
【例4】已知，求的值。
跟踪练习：（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
选择题、
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x= C．x= D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
x1=，x2= B．x1=6，x2= C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________________________，条件是____________．
2．当x=______________时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1.运用求根公式解下列方程：
（1） （2）5x2=3x (3)x2-+2=0 (4)(y-1)(y+3)+5=0
2.用适当的方法解下列方程：
（1）（x-2）（3x-5）=0 （2）5－4x－12＝0 （3）
（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1） （5） （6）
（7） （8） （9）4x2-3x+1=0
课 前 准 备
预 习 检 测
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：一元二次方程的一元（三）
商品销售问题
序 号：（ 11 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 （补充 ）
学习目标：
1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养学生应用数学的意识。
重 点：学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题
难 点：如何找出商品销售问题中的等量关系
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1.将进货价为50元的商品按60元售出，每天能卖出50件。
每件利润是多少？
每天的总利润是多少？
利润率是多少？
在商品销售问题中涉及到的一些基本概念及等量关系。
每件利润=( )
总利润=( )
利润率=( )
3．一个商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20﹪，若该货物的进价是21元，则每件的标价为（ ）
A.27.72 B.28 C.29.17 D.30
4．一台电视机成本为a元，销售价比成本价增加25﹪，因库存积压所以就按销售价的70﹪出售，那么现在每台售价为（ ）
A.（1+25﹪）（1+70﹪）a B. 70﹪(1+25﹪)a C. （1+25﹪）（1-70﹪）a D.(1+25﹪+70﹪)a
例1、某种文化衫平均每天可销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天多售出10件，如果每天盈利1280元，每件应降价多少元？
跟踪练习：
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利15元．若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利450元，每件应降价多少元？
例２、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？
跟踪练习1：
某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要
盈利1600元，每件应降价多少元？
跟踪练习2：
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）
例3、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
例4、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元之间。市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。
⑴写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式；
⑵求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润＝售价－进价）；
⑶当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为900元？
⑷当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为1200元？
例5、某商场以每件21元的价格购进一批衬衫，若以每件a元的标价出售，每天可卖出（350—10a）件，获利400元，市物价局限定每件衬衫加价不能超过进价的20﹪，求a的值。
1.某书店搞促销活动，推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受八折优惠，李明同学到该书店购书，他先买优惠卡，再凭卡付款，结果节省了12元，则李明同学共花钱 ，书的总定价是 。
2.某电脑公司在5月1日500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销售量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该项公司5月1日到5月10日的平均日销售量是 台。
3.小宇买了20本练习本，店主给他八折（即标价的80%）优惠，结果便宜了1.60元，则每本练习本的标价是 元。
4.某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价360元的这种商品，最多降价 元，商店老板才能出售。
5.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
6.某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？
7.某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利9100元？
8.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少存储，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
9.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
课 前 准 备
交 流 合 作
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《一元二次方程根与系数的关系》
序 号： （ 8 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 35 页
学习目标：
1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
重 点：一元二次方程的根与系数的关系及运用
难 点：定理的发现及运用
学法指导：合作探究
学 习 过 程
一元二次方程的一般形式是（ ），它的两根分别是
x1＝( ),x2＝（ )。
2、解方程，并把结果填进表格内。
一元二次方程 x1 x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
自主预习课本 35 页，完成下列各题：
1.若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1 x2 =_______.
2.关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；
＝ 。
甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根
为 3﹑-10。则p = ，q = 。
4.以-3和5为根的一元二次方程是
探究：一元二次方程根与系数的关系
1.从具体问题分析：
根据《课前准备》表格中的两根计算出两根之和、两根之积，填在下表中。
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
观察表格中的数据，思考下列问题：
两根之和，与方程的系数有什么关系？
两根之积，与方程的系数又有什么关系呢？
2.从求根公式的角度分析：
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，x1=，x2=， 能得出以下结果：
x1＋x2= ，即：两根之和等于
x1 x2= ， 即：两根之积等于
归纳：根与系数的关系
文字表述： 一元二次方程的两根之和等于（ ），
两根之积等于（ ）。
公式表达： 如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根x1、x2，
那么x1+x2＝（ ）,x1x2=（ ）。
一元二次方程根与系数的这种关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为“韦达定理”.
注意：
刚才我们探讨一元二次方程两根之和与两根之积与系数关系的两种表达式都是在方程有实数根（即b2－4ac≥0）的前提下，否则无法求出两根和与两根积，比如方程2x2—x+1=0没有实数根，所以两根之和与两根之积都没有。
例1 说出下列各方程两根之和与两根之积。
x2－7x－2=0 2、x2＋3x=0 x2－4x＋1=0
跟踪练习 说出下列各方程两根之和与两根之积。
（1）-6x-15=0 （2）2x2＋3x－1=0
例2 说出下列各方程两根之和与两根之积。
（1）3x2－x=2 （2）2=3x （3） -(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）
跟踪练习 求下列方程的两根之和与两根之积.
（1） 2x2－3x=4 （2）5x-1= 4 （3）=4
例3 已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。
跟踪练习 选择：关于x的方程x2－2x＋m=0的两根之积为0,则m＝（ ）。
A、2 B、0 C、1 D、不确定
例4 已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
例5 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的：
（1）平方和 （2）倒数和
跟踪练习：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
（2）x12＋x22 （3）x12x2＋x1x22
例6 已知a、b是方程2x2＋6x+3=0的两个实数根，求下列各式的值：
跟踪练习 若m、n是方程2x2＋4x－6=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
例7 、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2）
1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为_________________，其中a =____，b =____，c =____．
2.方程x2-3x+1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
3.已知α、β是方程2x2+3x=0的两个根，那么α+β=_______，α·β=_______ 。
4.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．
5.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是__________________．
6. 关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A．1 B． C．－ D．±
7. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
8.若方程y2＋by－4=0的两根恰好互为相反数，则b的值为( )。
A、2 B、－2 C、0 D、无法确定
9.若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。
10.已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值．
11.已知α、β是方程2x2＋6x＋3=0的两个实数根，求下列各式的值。
（1）＋ （2）（α－2）（β－2） （3）α2＋β2
课 前 准 备
预 习 检 测
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：根的判别式
序 号：（ 7 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本32页
学习目标：能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况
重 点：能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况
难 点：从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的⊿=b2-4ac 的情况与根的情况的关系
学法指导：合作探究
学 习 过 程
一元二次方程的求根公式是什么？
2.用公式法解下列方程。
⑴2x2-3x=0 ⑵3x2-2x+1=0 ⑶4x2+x+1=0
自主预习课本 32 页，完成下列各题：
1.关于一元二次方程的解有三种情况：
当 0时，方程有两个不相等的实数根；
当 0时，方程有两个相等的实数根；
当 0时，方程没有实数根。
2.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2-4x-3=0 (2)3x2+x+5=0 （3）x2-6x=-9
【探究】根据问题填写下表：
方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符号 x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0 9 >0 不相等
3x2-2x+1=0 0 =0 相等
4x2+x+1=0 -15 <0 不存在
【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，
现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"，
（1）当b2-4ac>0时，根据平方根的意义等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．
（2）当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；
（3）当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数根．
由此可知，一元二次方程的根的情况是由（ ）的值决定的，因此，我们称“b2-4ac”
为“根的判别式”，通常用希腊字母“△”来表示，即△= b2-4ac 。
【结论】：
⑴当⊿=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。
⑵当⊿= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=。
⑶当⊿=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
⑴⑵又合称有实数根；反过来也成立。
例1不解方程，判定方程根的情况。
（1）9x2+6x+1=0 （2）2x2-9x+8=0 （3）x2-7x+18=0
【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。
解：
跟踪练习：不解方程，判定方程根的情况。
（1） （2） （3）5－4x－12＝0
例2不解方程，判定方程根的情况。
⑴16x2+8x=-3 （2）
跟踪练习：不解方程，判定方程根的情况。
（1） 4x2-3x=52 （2）4－3x－1＝x－2 （3）
例3
（1）若关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，则k的值 为（ ）；
若关于x的方程-x2+2x=m没有实数根，则m的值为（ ）；
若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等实数根，则k的值 为（ ）。
例4 k取何值时关于x的一元二次方程kx2-12x+9=0
（1）有两个实数根； （2）没有实数根。
跟踪练习：已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，m取什么值时，
⑴方程有两个实数根？ （2）方程没有实数根？
例5 关于x的方程（k+1）x2+(2k-1)x+k+2=0有实数根，求k的取值范围。
跟踪练习： 若关于y的方程ay2-4y=1有实数根，求a的取值范围。
例6 若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
【分析】要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：
1.不解方程，判断下列方程根的情况。
（1）2－x＝6 (2)x2-+2=0
(3)(y-1)(y+3)+5=0 （4） x2-2mx+4（m-1）=0
若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k为（ ）。
已知关于x的方程有两个实数根，则k为（ ）。
4.不解方程，判定方程x2+(m-1)x-3=0根的情况。
5.试说明m为任意实数时，关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0 总有两个不相等的实数根。
课 前 准 备
预 习 检 测
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：一元二次方程的应用（一）
面积问题
序 号： （ 9 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 29页 例7
学习目标：1会列一元二次方程解决面积问题
2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理
重 点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难 点：寻找实际问题中的等量关系，自主探险究和合作交流得到解决问题的最佳方案
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1、三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢
3、长方形的面积公式又是什么？ 4．梯形的面积公式是什么？
5、圆的面积公式是什么？
6、一个正方形的面积是121m，求它的边长是多少m？
一个长方形的长比宽多5米，它的面积是36米，求它的长和宽。
例1：将一个正方形花园的每边缩小2米后，改造成一个面积为25米2的小花园，那么原来大花园的每边长是多少呢？
注意：列方程解应用题时，得到的方程的解要符合实际意义才能取，否则舍去。
通过本题的学习，你能总结出列一元二次方程解应用题的一般步骤吗？
归纳：
例2: 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m ，小道的宽应是多少？
跟踪练习：
学校课外生物小组的实验园地是一块长40 米，宽 26 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为 864 平方米，求小道的宽？
例3：要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【分析2】设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。依题意得
跟踪练习：如图，一个院子长10m，宽8m，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的，试求这花圃的宽度.
例4：:某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(32-4x)(20-6x)m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，则可列方程：
解：
例5：如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解之得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形
跟踪练习：学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形的自行车棚。一边利用图书馆的后墙，并利用已有的总长为25米的铁围栏。请你设计，如何搭建较合适？
例6：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
1学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵
三条等宽的小道，要使种植面积为250平方米，求小道的宽.
2学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
3要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米。求原正方形广场的边长。（精确到0.1米）
4一块长为30米，宽为20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但还不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0.1米）
课 前 准 备
合 作 交 流
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《一元二次方程的概念》导学案
序 号： （ 1 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版18---19页
学习目标：
1、记住什么是一元二次方程，什么是二次项系数、一次项系数、常数项；
2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式；
3、会判断一个数是否是一元二次方程的根及利用它们解决问题。
重 点：
1、知道什么是一元二次方程，什么是二次项系数、一次项系数、常数项；
2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式；
难 点：会判断一个数是否是一元二次方程的根及利用它们解决问题
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1说出什么叫整式方程？什么叫一元一次方程？并各举出一个例子。
2什么是方程的解？
3如何判断一个数是否是一个方程的解？
认真预习课本18---19页内容，完成下列各题：
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
将方程(2-x)(x+1)=8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是_____ ___，它的一次项系数是__ ___，它的一次项是__ ___，常数项是__ ____。
3．若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____ _。
4.若2x2+x-4=0，则4x2+2x-3的值是 。
探究1:一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式
认真预习课本18---19页内容，完成“问题1”、“问题2”。
2.完成下列内容：
要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少队参赛？
全场比赛为 ( )场，若设邀请x个队比赛，则每个队要比其他( ) 个队各比赛一场，故全部比赛共( )场。可列方程为 ( )。
观察以上三个方程，整理后回答问题：
上面几个方程整理后含有几个未知数？它们最高次数是几次？它们都是整式方程吗？
我们把满足以上三个条件的方程叫一元二次方程，你能用一句话说出一元二次方程的概念吗？
归纳 一元二次方程的概念：
如果用x表示未知数，则一元二次方程通常写成如下形式：
（其中） ------- 一般形式
其中，叫二次项，bx叫一次项，c叫常数项，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项
思考：关于的方程（a+1）－3+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是 。
知识点（一） 一元二次方程的概念的应用
例1 下列方程中哪些是一元二次方程，请说明理由（练习册19页 例1）。
（1）3x+2=5x-3； （2）x=4; (3);
(4)
思考：要判断一个方程是否是一元二次方程，需要先做什么？
注意：要判断一个方程是否是一元二次方程，需要先
学以致用1 下列哪些是一元二次方程？
① ② ③ ④
⑤ ⑥
例2 当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程。
学以致用2 已知关于的方程是一元二次方程，则m=________。
例3 当k为何值时，关于x的方程
（1）是一元二次方程； （2）是一元一次方程。
学以致用3 已知关于x的方程（m+1）x+（m－2）x－1=0，问：
（1）m取何值时，它是一元二次方程？并求方程的解；（2）m取何值时，它是一元一次方程？
知识点（二）： 一元二次方程一般形式的应用：
一元二次方程的一般形式是什么？
（其中a,b,c为常数，且）
其中，叫二次项，bx叫一次项，c叫常数项，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项
一元二次方程一般形式的特点是什么？
（1）等号左边按未知数的降幂排列（二次项-- 一次项-- 常数项）
（2）等号右边是0
例4 把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项。
； ；
学以致用4
（1） 教材19页 练习
（2）若关于的一元二次方程常数项为4，则一次项系数为 。
（3）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值.
探究2 一元二次方程的解及应用
什么是方程的解？
那么什么是一元二次方程的解呢？
例5 下面哪些数是方程2+10+12=0的解？
—4，—3，—2，—1，0， 1， 2， 3， 4
思考：一元二次方程的解与一元一次方程的解的区别是什么？
.
例6、（1）已知方程的一个根为4，则m =__________
（2）一元二次方程有一个解为0，求的值。
学以致用5
已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求-3m+5的值．
1、下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、++y=3 B 、5=0 C 、 +=1 D(+1)(—1)= +
2、方程=3的解是（ ）
A、=3 B 、= —3 ，=0 C 、=3 ， =0 D、=0
3、方程(+)(—)=0的一般形式是 ，它的二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
4、当k ，关于的方程k－k(+2)= (+1)+6是一元二次方程。
5、关于的方程（a+1）－3b+2=0是一元二次方程，则a= ,b= 。
6、关于的一元二次方程(m-1)++ 一1=0有一根为0，则m值为 。
7、当a= 时，关于的方程a一3+1=0有根为。
8、若n(n≠0)是 关于的方程+m+2n=0的根，则m+n的值是 。
9讨论：关于x的方程在什么条件下它是一元二次方程 在什么条件下它是一元一次方程
课外拓展延伸：
试证明关于的方程， 不论m取何值，该方程都是一元二次方程。
课 前 准 备
预 习 检 测
课 堂 合 作
反 馈 测 评
课 后 反 思课 题：实践与探索
几何问题
序 号： （ 12 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本33--34页
学习目标：将一些几何实际问题抽象为一元二次方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.
重 点：将一些几何实际问题抽象为一元二次方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题。
难 点：将一些几何实际问题抽象为一元二次方程模型的过程
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本33--34页，完成下列问题：
如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
解：设截去的正方形边长为cm，
依题意可列方程：
解方程得
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长
方体盒子。如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
分析：设剪去的正方形边长为cm，
则正方形硬纸板折合成一个无盖的长方体盒子的底面边长是： cm，底面面积= ；
解：设剪去的正方形边长为cm，
依题意可列方程：
解方程得：
探究1： 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。
如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
思考1：（1）长方体盒子的底面是什么形？它的边长与原来正方形硬纸板的边长有什么数量关系？
（2）你能求出减去的小正方形的边长吗？试试看。
思考2：（1）长方体的体积公式是什么？
（2）本题中长方体的高与什么有关？
（3）你能求出它的体积了吗？
完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
跟踪练习：如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是500cm3的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.
探究2：一根长22cm的铁丝.
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明理由.
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是x cm，那么矩形的宽是__________.
根据相等关系：
矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，
可以列出方程求解.
解：
跟踪练习：用长为100cm的金属丝制作一个矩形框子.框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800cm2的矩形框子吗？
解：
探究3：将一条长为20㎝的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17㎝2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12㎝2吗？若能，求出两段铁丝的长；若不能，请说明理由。
探究4：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm.点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）.那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2
解：
跟踪练习：如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
解：
探究5：如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长.
跟踪练习：如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶.在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？
1.从前，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？
有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm 无盖的长方体盒子.求截去小正方形的边长.
3.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
把一个长方形铁片的四角剪去四块边长为5㎝的正方形，组成一个无盖的长方体，长方体的体积是3000㎝3，铁片长和宽的长度之比为4：3，求这块铁片的长和宽各是多少？
5.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
6.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
预 习 检 测
课 前 准 备
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：一元二次方程的解法（3）
配方法（第1课时）
序 号： （ 4 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本24页例4---26页讨论
学习目标：
1.掌握配方法的推导过程，能使用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。
2.了解配方法的实质是通过配方将一元二次方程化为的形式，再用直接开平方法求解。
重 点：掌握配方法解一元二次方程
难 点：把一元二次方程转化为形如的过程。
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1.解方程：
（1） （2） （3）—6y+9=11
2.利用完全平方公式填空：
⑴x2+ 6x+ =(x+3)2 ⑵x2+8x+ =(x+ )2
⑶x2-12x+ =(x- )2 ⑷x2-+ =(x- )2
⑸a2+2ab+ =(a+ )2 ⑹ a2-2ab+ =(a- )2
自主预习课本24页例4---26 页讨论，完成下列各题：
用配方法解下列方程:
（1）x2+x—1=0 （2）x2+8x—2=0
探究：什么是配方法？
解方程：x2-4x-7=0
思考：（1）能否用我们以前学过的方法来解（直接开平方法、因式分解法）？
（2）能否经过适当的变形，将方程x2-4x-7=0 转化为的形式？
【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法。
配方的目的是：降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
问题：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程.
例 1 用配方法解一元二次方程：
（1）x2—8x+12=0 （2）y2+3y+4=0
想一想：上题中用配方法解一元二次方程的步骤是什么？与同伴交流并说出来。
（1）把常数项移到方程的右边；
（2）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（3）把方程的左边写成一个完全平方式；
（4）若等号右边为非负数，直接开平方求方程的解；若等号右边为负数，则方程无解。
跟踪练习：用配方法解一元二次方程。
x2+2x—3=0 （2）y2—5y+7=0
例2 用配方法解下列方程：
⑴x(x-5)=4x+10 ⑵x2+5x+7=3x+11
想一想：上题中用配方法解一元二次方程的步骤是什么？与同伴交流并说出来。
（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；
（2）把常数项移到方程的右边；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）把方程的左边写成一个完全平方式；
（5）若等号右边为非负数，直接开平方求方程的解；若等号右边为负数，则方程无解。
跟踪练习： 用配方法解下列方程。
（1） (2)
例3：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？
例4： 用配方法解关于的方程 x2:+mx+n=0 (m2—4n≥0)
跟踪练习 求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
填空：
（1）若+mx+4是完全平方式，则m=
（2） = （3） =
（4）+8x+ = ( ) （5）+ +4=（ ）
（6）+ +=（ ） （7）4+ +9=( )
2.用配方法解下列方程：
（1） （2）
（4）
3.用适当的方法解方程：
（1） （2） （3）
4.小华说：无论x为任何实数，代数式—4x+5的值恒大于0，你知道这是为什么吗？请给出证明。
课 前 准 备
预 习 检 测
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：一元二次方程的解法（1）
（直接开平方法）
序 号： （ 2 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：课本 20页
学习目标：1.直接开平方法的意义
2.能够利用直接开平方法解一元二次方程
重 点：能够利用直接开平方法解一元二次方程
难 点：能够利用直接开平方法解一元二次方程
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本20页，完成下列各题：
用直接开平方法解下列方程：
（2）
（3）； （4）．
什么叫一元二次方程：
2.一元二次方程的一般形式是：
3.平方根的定义：
4.正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根。
5.什么叫开平方？
6. 的平方根表示为：
7.什么是方程的解？你知道方程的解是多少吗？
问题1：如何求一元二次方程的解呢？
分析：因为，说明x是9的平方根。
解：
或者
我们把这种通过直接开平方求方程解的方法叫做直接开平方法。
跟踪练习1：用直接开平方法求方程的解。
问题2：你能用直接开平方法解下列方程吗？
（1） （2）
解：移项，得 解：移项，得：
直接开平方，得： 系数化为1，得
∴ = 或= 直接开平方，得：
∴ = 或=
小结：用直接开平方法解方程，一般将方程化成：（是已知数）的形式。
跟踪练习2：用直接开平方法解下列方程：
（1） （2） （3）
问题3：你能用直接开平方法解下列方程吗？
（1） ⑵ ⑶
小结：如果一个一元二次方程能化成或()的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）
跟踪练习3:用直接开平方法解下列方程：
(1) （2）
问题4：你能用直接开平方法解下列方程吗？
(2)
跟踪练习4:用直接开平方法解下列方程：
(1) (2)
问题5：你能用直接开平方法解下列方程吗？
(1) （2）
跟踪练习5:用直接开平方法解下列方程：
思考：是否所有一元二次方程都可以用直接开平方法解？
1、25的平方根是______________，方程的解是________________.
2、方程的根是______________，方程的根是________________.
3、当取______________时，代数式的值是2；若，则＝__________.
4、对于一元二次方程来说，当n 0时，利用直接开平方法可得方程的解为 。
5、若则m= ，n= 。
6、关于的方程若能用直接开平方法来解，则的取值范围是（ ）
A、k＞1 B、k＜1 C、k≤1 D、k≥1
7、解下列方程：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
8、已知一个等腰三角形的两边是方程的两根，求等腰三角形的周长。
预 习 检 测
课 前 准 备
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：一元二次方程的解法（2）
（因式分解法）
序 号：（ 3 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本20--21 页
学习目标：
1理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。
2会根据具体情况，灵活运用适当方法解一元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
重 点：用因式分解法一元二次方程
难 点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想
学法指导：合作探究
学 习 过 程
因式分解的方法有哪些？
2、把下列多项式进行因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） 。
自主预习课本20--21 页，完成下列各题：
（1） （2）
解： =0 或 =0 解：（ ）（ ）=0
∴= ，或= 。 ∴ =0 或 =0
∴= ，或= 。
（3） （4）
解：（ ）（ ）＝0 解：（ ）（ ）=0
∴ =0 或 =0 ∴ =0 或 =0
∴= ，或= 。 ∴ = ，或= 。
【探究】解下列方程，从中你能发现什么新的方法？
（1）2x2-4x＝0； （2）x2-4＝0．
【归纳】利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．
【例1】用因式分解法解方程：
（2）x2-3x-10=0 ⑶9x2+6x-3=0 ⑷4x2-4x+1=0
【说明】能用因式分解法解的一元二次方程的特征是：方程的一边是0，另一边可以分解因式。
跟踪练习1： (1) （2） (3)x2-11x+28=0
【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。如解方程时，方程两边同除以x, 得x=4，这样就失掉了x=0这一个根。
【例2】用因式分解法解方程：
⑴x(x-2)+x-2=0 ⑵3x(x+2)=5(x+2) （3）
【说明】此题重在培养学生整体思想方法的运用。
跟踪练习2：
（1） （2）x(2x-5)=4x-10 （3）
【例3】用因式分解法解方程：
（1）(x+3)(x-1)=5 （2）5x2-2x-=x2-2x+
【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。
跟踪练习3： （1） ⑵x2+5x+7=3x+11
【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
对两个一元一次方程分别求解。
【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【例4】选择合适的方法解方程：
(2)
跟踪练习4：选择合适的方法解方程。
（1）x2-6x+9=（5-2x）2 （2）(3x+1)2-5=0 （3）
1.用因式分解法解方程：
（1） （2）
解：由原方程得： 解：=0
=0 或 =0 ∴ =0 或 =0
∴= ，= ∴= ，=
2．用因式分解法解下列方程：
（1） （2）
（4）
（6）
（8）
3.用适当的方法解下列方程：
（1）9x2+6x+1=0 （2）3x2-6x=-3 （3）（x-2）2-4=0
4.用两种方法解下列方程：
（1）25y2-16=0 （2）（x-4）2=(5-2x) 2
课 前 准 备
预 习 检 测
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：《》
序 号： （ ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 页
学习目标：
重 点：
难 点：
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 页，完成下列各题：
课 前 准 备
预 习 检 测
交 流 合 作
课 后 反 思
达 标 检 测课 题：一元二次方程的应用（二）
增长率、降低率问题
序 号： （ 10 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本30 页 例8
学习目标：
1会根据具体问题（增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
重 点：如何解决增长率与降低率问题。
难 点：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b，其中a是原有量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量。
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本30页例8，完成下列问题：
1.某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0.1％）
2.据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各种活动获奖情况的统计，初一有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖。求这两年中获奖人次的平均年增长率（课本30页）。
1某服装进价是100元，售价是120元，利润是多少？利润率是多少？
2交通法规定，城市道路车速每小时不得超过40公里，一辆车速为每小时60公里的小汽车超速率是多少？
3某商店9月份的营业额是5000元，10月份是6000元，营业额的增长了多少元？增长率是多少？
引入：由《课前准备》练习，你能说出增长率的计算公式吗？增长前后数量关系如何表示？
增长率=100% 原数（1+增长率）=新数
增长数量与增长率有何区别？
探究1、某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为5000（1+x）元，
12月份的营业额为5000（1+x）（1+x）元，即5000（1+x）2元。
由此就可列方程：5000（1+x）2=7200
【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数量与原数量的比。
增长率=增长数量∶原数量
设原数量为a ，增长率为x，
第一次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
第二次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
第三次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
第n次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
如果已知n次增长后的总量为b，则有下面等式：
a(1+x)n=b
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。
探究2某药品经过二次降价，每瓶零售价由56元，降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
分析：设每次降价的百分率为x.
经历几次下降？每次下降前后数量如何表示
第一次：原数 ，下降后的数
第二次：原数 ，下降后的数 ，整理为 。
可列方程 。
【说明】此例是降低率问题，如题目无特别说明，一般都指平均降低率，降低率是降低数量与原数量的比。
降低率=降低数量∶原数量
设原数量为a ，降低率为x，
第一次：降低前原数为 ，降低后的数为 ；
第二次：降低前原数为 ，降低后的数为 ；
第三次：降低前原数为 ，降低后的数为 ；
第n次：降低前原数为 ，降低后的数为 。
如果已知n次降低后的总量为b，则有下面等式：
a(1-x)n=b
综上，在解决增长率或降低率的问题时，常用下面这个等式：
a(1x)n =b
牛刀小试：
我县2008年外贸收入2.5亿元，2010年达到4亿元，若平均每年增长率为x，则可列方程（ ）
A.2.5（1+x)=4 B. (2.5+x%）=4 C.2.5(1+x)(1+2x)=4 D.2.5(1+x%)=4
某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，则平均每次降低的百分数为（ ）
A. 9% B.9.5% C. 8.5% D. 10%
拓展提升：
例1 若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．
例2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
【分析】
⑴甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。
⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为
元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。
⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：
甲种药品成本的年平均下降率为 。
⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
⑸思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格。
例3为绿化家乡，某中学在2008年植树400棵，计划到2010年底，使这三年的植树总数达到1324棵，求此校植树平均每年增长的百分数？
分析：设此校植树平均每年增长的百分率为x.
2008年植树 棵； 2009年植树 棵；2010年植树 棵；
这样，三年植树总数可以用 式子表示。
可列方程为 ，在下面写出完整的解题过程。
跟踪练习：某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元。设月平均增长率为x，则列方程为（ ）
A.95=15(1+x),B.15(1+x)=95, C.15(1+x)+15(1+x)=95, D.15+15(1+x)+15(1+x)=95
例4 某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30％，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点，营业额达到48.3万元。问4、5两月的营业额增长的百分率各是多少？（课本31页）
某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( )
A、9% B、10％ C、11％ D、12％
2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
A 元 B 1.2元 C 元 D 0.82元
3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A、(1-x)2=15% B、(1+x)2=1+15% C、(1-x)2=1+15% D、(1-x)2=1-15%
4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。
5..某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_______.
6. 某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.
7. 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
8.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
预 习 检 测
课 前 准 备
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思课 题：一元二次方程的解法（3）
配方法（第2课时）
序 号： （ 5 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 26 页
学习目标：
1．会运用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程；
2．体会数学的转化思想。
重 点：会运用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
难 点：配方
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1.用配方法解一元二次方程，如果二次项系数是1时，直接配上：
2.用配方法解下列方程：
（1） （2）
自主预习课本 26 页，完成下列各题：
用配方法解一元二次方程，如果二次项系数不是1时，要先 ，再 。
2.用配方法解下列方程：
⑴3x2－6x + 4 = 0 （2）x(2x-5)=4x-10
问题：如果一元二次方程的二次项系数不是1，应该怎么去解方程呢？
试一试用配方法解方程 2+3x+1=0
提示：能否把二次项系数化成1呢？试试看。
小结：对于二次项系数不是1的一元二次方程，要先把二次项系数 ，再配上
。
例1：用配方法解方程：
（1）。
解：二次项系数化为1，得：
移项，得：
方程左边配方，得：
即：（ ）2=
直接开平方，得：、
则： ， ；
∴原方程的解是：= ，= ；
思考：上题的解题步骤是什么？
跟踪练习：用配方法解方程：
（2）
例2：用配方法解方程：
（1） （2） (2x-1)(x+3)=5
思考：上题的解题步骤是什么？
跟踪练习：用配方法解方程
（1） (3x+2)(-x+3)=5 （2）
例3 用配方法解决下列问题：
（1）证明：代数式的值不小于1.
（2）证明：代数式的值不大于。
跟踪练习：
用配方法求解下列问题
（1）求2x—7x+2的最小值 ； （2）求—3x+5x+1的最大值。
例4 ，求a、b的值。
跟踪练习：不论x、y为什么实数，代数式的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
1.解下列方程：
（1）； （2） （3）
（4） （5）3 （6）
若 ，求a+b的值。
3.已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数，再求出 当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
4.试用配方法证明：代数式
课 前 准 备
预 习 检 测
交 流 合 作
达 标 检 测
课 后 反 思
