2022-2023学年(新RJ·A)选择性必修第一册同步习题
直线的方程
精选习题
习题精练
选择题
1.(2022·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A.k≥ B.k≤－2 C.k≥或k≤－2 D.－2≤k≤
答案：D
解析：直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤.
2.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C.∪ D.∪
答案：C
解析：直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.倾斜角和斜率的关系如图所示，
∴该直线倾斜角的取值范围为∪.
3.已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A. B. C.∪ D.
答案：D
解析：①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是.
4.(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A.y＝－x＋2 B.y＝－x－2 C.y＝x＋2 D.y＝x－2
答案：B
解析：斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
5.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
答案：D
解析：设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan＝＝－3，又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
6.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A.－11或k< C.k>1或k< D.k>或k<－1
答案：D
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式可得k>或k<－1.
7.过点(－1,0)，且方向向量为a＝(5，－3)的直线的方程为( )
A.3x＋5y－3＝0 B.3x＋5y＋3＝0 C.3x＋5y－1＝0 D.5x－3y＋5＝0
答案：B
解析：方法一 设直线上任意一点P(x，y)，则向量(x＋1，y)与a＝(5，－3)平行，则－3(x＋1)－5y＝0，即3x＋5y＋3＝0.
方法二 因为直线的方向向量为a＝(5，－3)，所以所求直线的斜率k＝－，故所求直线的方程为y＝－(x＋1)，即3x＋5y＋3＝0.
8.直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A.[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞) C.[－2,0)∪(0,2] D.(－∞，＋∞)
答案：C
解析：令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
9.(2022·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A.ab＞0，bc＜0 B.ab＞0，bc＞0 C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0
答案：A
解析：由于直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，故故ab＞0，bc＜0.
10.若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：因为直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)，当x＝0时，y＝a，当y＝0时，x＝b，所以该直线在x轴与y轴上的截距分别为b，a，又直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，所以a＋b＝ab，即＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.
11.在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若＝－2，则直线l的方程是( )
A.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.2x－y－1＝0
答案：A
解析：设A(a，0)，B(0，b)，由＝－2，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b－1)，则a＝3，b＝.由截距式可得直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－3＝0.
12.已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α如何变化，直线始终过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案：D
解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B不正确；当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．
二、填空题
13.(2021·上海卷)直线x＝－2与直线x－y＋1＝0的夹角为________.
答案：
解析：由于直线x＝－2的倾斜角为，直线x－y＋1＝0即直线y＝x＋1，其倾斜角为，故夹角为.
14.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
答案：[－，0)∪
解析：当α∈时，k＝tan α∈；当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．综上得k∈[－，0)∪.
15.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________．
答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析：由题意可设直线方程为＋＝1.则解得a＝b＝3或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
三、解答题
16.如图所示，O为原点，过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因为＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，S△AOB＝ab≥8，
当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥9，
当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.
17.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
证明:(1)直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
解:(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
解: (3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
18.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解:由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，
所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
《直线的方程》精选习题 1/12022-2023学年(新RJ·A)选择性必修第一册同步习题
直线的方程
精选习题
习题精练
选择题
1.(2022·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A.k≥ B.k≤－2 C.k≥或k≤－2 D.－2≤k≤
2.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C.∪ D.∪
3.已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A. B. C.∪ D.
4.(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A.y＝－x＋2 B.y＝－x－2 C.y＝x＋2 D.y＝x－2
5.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
6.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A.－11或k< C.k>1或k< D.k>或k<－1
7.过点(－1,0)，且方向向量为a＝(5，－3)的直线的方程为( )
A.3x＋5y－3＝0 B.3x＋5y＋3＝0 C.3x＋5y－1＝0 D.5x－3y＋5＝0
8.直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A.[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞) C.[－2,0)∪(0,2] D.(－∞，＋∞)
9.(2022·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A.ab＞0，bc＜0 B.ab＞0，bc＞0 C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0
10.若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若＝－2，则直线l的方程是( )
A.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.2x－y－1＝0
12.已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α如何变化，直线始终过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
二、填空题
13.(2021·上海卷)直线x＝－2与直线x－y＋1＝0的夹角为________.
14.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
15.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________．
三、解答题
16.如图所示，O为原点，过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
17.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
18.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
《直线的方程》精选习题 1/1
