江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题

江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题命题人：
一、选择题：
1. 复数，在复平面内z所对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,
其俯视图轮廓为正方形，则其体积是
（A） （B） （C） （D）
3.下列命题错误的是
（A）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
（B）若命题，则
（C）若为假命题，则、均为假命题
（D） “”是“”的充分不必要条件
4.如图，该程序运行后输出的结果为
（A）1　　 （B）2　　 （C）4　 （D）16
5.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，，则；④若，则.
其中真命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6.已知是等差数列的前n项和，若，则等于
（A）18 （B）36 （C）72 （D）无法确定
7. P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在
（A）内部 （B）AC边所在直线上 （C）AB边所在直线上 （D）BC边所在直线上
8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于
（A） （B） （C） （D）
9.函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为
A.　　 　B.
C. D.
10. 设方程的两个根为，则
（A） （B） （C） （D）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
二．填空题：
11.在棱长为a的正方体内任取一点P，则点P到点A的距离小于a的概率为 .
12. 设x，y，z ( R，2x ( 2y ( z ( 8 ( 0，则(x ( 1)2 ( (y ( 2)2 ( (z ( 3)2之最小值为　　　　　
13. 已知为奇函数，且当x>0时, ，，则不等式的解集为____________.
14. 数列，则是该数列的第 项.
15. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 .
三．解答题
16. 已知函数（）, 若有最大值.
（1），求实数的值；
（2）x[0,]求函数的值域。

17. 正的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点（如图（1））.现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B（如图（2））.在图形（2）中：
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使?证明你的结论.
18. 张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为.
（Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；
（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望.
19.数列满足，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知，若数列成等差数列，求实数；
（Ⅲ）求数列的前项和．
20.已知A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有.
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.
21. 已知，，是曲线在点处的切线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若切线与曲线有且只有一个公共点，求的值；
（Ⅲ）证明对任意的，函数总有单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围.（区间的长度=）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
　B
　C
　C
　D
　B
　B
　B
　A
　A
　D
11. 尼基塔
12. 9
13．
14. 128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而是分子、分母之和为17的第8项.故共有项.
15. 48 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有=10种；若有一个小孩，则有=28种；若有两个小孩，则有=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种.
16.解：（1）f(x)=cos2x+sin2x+a+1
=2sin(2x+)+a+1
因为f(x)的最大值是2，所以a= -1
（2）∵0≤x≤, ∴≤2x+≤, ∴-≤sin(2x+)≤1
∴-1≤2sin(2x+)≤2,即f(x)的值域是[-1,2]
17. 解法一：
（Ⅰ）如图（2）：在中，由EF分别是AC、BC的中点，得EF//AB，又平面DEF，平面DEF.
∴平面DEF.
（Ⅱ），∴是二面角A-CD-B的平面角.
∴，∴平面BCD.取CD的中点M，则EM//AD，∴EM⊥平面BCD.过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，是二面角E-DF-C的平面角.
在中，EM=1，MN=，∴.
（Ⅲ）在线段BC上取点P，使BP=，过P作PQ⊥CD于点Q，∴平面ACD.
∵∴中，.在等边中，
∴
解法二：
（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则
平面CDF的法向量.设平面EDF的法向量为 =（x,y,z）.
则，即，取
.二面角E-DF-C的平面角的余弦值为.
（Ⅲ）在平面坐标系中，直线BC的方程为，设，则.
∵.
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.

18. 解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为；
答5道题进入下一轮的概率为；答6道题进入下一轮的概率为；
答7道题进入下一轮的概率为；
张明进入下一轮的概率为.
（Ⅱ）依题意，的可能取值为4，5，6，7.
当=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.；
类似有；
=；
=.
于是的分布列为
4
5
6
7
P
解法二：（Ⅰ）设张明进入下一轮的概率为，被淘汰的概率为，则，又因为张明答对每一道题的概率都为，答错的概率也都为.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即.所以张明进入下一轮的概率为.
19. 解法一：（Ⅰ）由，得.
.
（Ⅱ）
，令，则数列成等差数列，所以.
（Ⅲ）成等差数列，.；
得
= ①
2= ②
① - ② 得
=.
所以
解法二：（Ⅱ）且数列成等差数列，所以有为常数.
，要使为常数.需.
20. 解：（Ⅰ）当AC垂直于x轴时，，，∴
∴，∴，∴，故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，焦点坐标为.
①当弦AC、AB的斜率都存在时，设，则AC所在的直线方程为，
代入椭圆方程得.
∴，
，.同理，∴
②当AC垂直于x轴时，则，这时；
当AB垂直于x轴时，则，这时.
综上可知是定值 6.
21.,,
，切点，斜率为.　　　　　　　　　　
∴切线的方程：　　
（Ⅱ）切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程有且只有一个实数解.
令，则有且只有一个实数解.
∵，∴有一解.
①在上单调递增，
∴是方程的唯一解；
②，
（－１，０）
０
＋
０
－
０
＋
↗
极大值０
↘
极小值
↗
∴，
∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一；
③当，
0
＋
０
－
０
＋
↗
极大值
↘
极小值0
↗
∴，而当且趋向-1时，趋向，趋向.
∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一.
综上，当与曲线有且只有一个公共点时，.
（Ⅲ）；∵∴等价于.
∵，对称轴，，∴有解，其中.
∴当时，.所以的减区间为
当时，区间长度
∴减区间长度的取值范围为]