第1讲 集合
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特性是： 确定性 、 无序性 、 互异性 ．
(2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 的关系，用符号 ∈ 或 表示．
(3)集合的表示方法有： 列举法 、 描述法 、Venn图法．
(4)集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可分为 有限集 、 无限集 .
(5)常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间关系
表示关系 文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 AB且BA A＝B
子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A B或BA
真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB或 BA
空集 空集是任何集合的子集，是任何 的真子集
3.集合间运算关系
(1)交集：记作A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} .
性质：①A∩BA，A∩BB. ②A∩A＝A，A∩＝.
(2)并集：记作A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} .
性质：①A∪BA，A∪BB. ②A∪A＝A，A∪＝A.
(3)补集CUA＝ {x|x∈U且x A} .
性质：
1．若P＝{x|x<1}，则CRP＝________. 解析:CRP＝{x|x≥1}． 答案：{x|x≥1}
2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有________个．
解析：∵P＝M∩N＝{1,3}∴P的子集共有22＝4(个) 答案：4
3.已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么CUP＝________.
解析：∵ U＝R，P＝{x|x2≤1}＝[－1,1]∴ CUP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4.设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(CUB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
解析：方法：用文氏图A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， A∩(CUB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．答案：{2,4,6,8}
5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解析：∵A∩B＝{3}，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1. 故填1.答案：1
热点考向一 集合的基本概念
【例1】已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．
【解析】 ∵1∈A，∴a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1.
(1)若a＋2＝1，则a＝－1，当a＝－1时，a＋2＝a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1不符合题意．
(2)若(a＋1)2＝1，则a＝0，或a＝－2.当a＝0时，a＋2＝2，(a＋1)2＝1，a2＋3a＋3＝3，符合题意．
当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，∴a＝－2不符合题意．
(3)若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1，或a＝－2，由(1)(2)可知，a＝－1，a＝－2都不符合题意．综上可知，实数a的值为0.
【点评】①条件m∈A，若集合A是用列举法表示的，则m应是集合A中的一个元素，若符合A是用描述法表示的，则m应满足集合中的描述条件；
②解答过程体现了数学分类思想的灵活运用，分类应注意：不重复、不遗漏、分类的标准一致．
【变式1】
(1)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是________．
解析：在同一坐标系中，作出集合A、B所表示的图形，运用图形知A∩B含两个元素，共有子集的个数是22＝4.答案：4
(2)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．
解析：易知直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交，故A∩B中有两个元素．答案：2
热点考向二 集合间的基本关系
【例2】设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若BA，求实数a组成的集合C.
【解析】(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3，或x＝5，∴A＝{3,5}，若a＝，由ax－1＝0，得x－1＝0，即x＝5，∴B＝{5}．∴BA.
(2)∵A＝{3,5}，又B A，故若B＝，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；若B≠，
则a≠0，由ax－1＝0，得x＝，∴＝3，或＝5，即a＝，或a＝.故C＝.
【点评】 ①判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系；
②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图帮助分析．
【变式2】
(1)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则Q________P(用“ 、、＝”填空)．
解析：由已知可得Q＝{x|－2＜x＜2}，易知Q P.答案：?
(2)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为________．
解析：由A∪B＝A得B A，当B＝时，m＝0；当B≠时，m＝1或m＝－1.答案：0或1或－1
热点考向三 集合的基本运算
、
【例3】设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若U＝R，A∩(CUB)＝A，求实数a的取值范围．
【解析】 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}，
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3；
当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；
综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴BA，
①当Δ＜0，即a＜－3时，B＝，满足条件；
②当Δ＝0时，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ＞0，即a＞－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得:即矛盾；综上，a的取值范围是a≤－3.
(3)∵A∩(CUB)＝A，∴ACUB，∴A∩B＝ .
①若B＝，则Δ＜0 a＜－3适合；
②若B≠ ，则a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不合题意；若a＞－3，此时需1 B且2 B.将2代入B的方程得a＝－1或a＝－3(舍去)；
将1代入B的方程得a2＋2a－2＝0 a＝－1±.
∴a≠－1且a≠－3且a≠－1±.
综上，a的取值范围是a＜－3或－3＜a＜－1－或－1－＜a＜－1或－1＜a＜－1＋或a＞－1＋.
【点评】 当集合中元素特征比较复杂时，要首先对集合进行分析、化简，然后再进行运算．本题集合B中含有字母a，因此分类讨论思想是本题的重要思想，可抓住判别式Δ与0的关系进行分类．同时面对“B A”不要漏掉B有可能是空集的情况．
【变式3】
(1)若集合A＝{x|logx≥}，则CRA＝________.
解析：由logx≥得0＜x≤＝，∴A＝，则CRA＝(－∞，0]∪.
(2)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩( UT)等于________．
解析：∵ CUT＝{1,5,6}，∴S∩(CUT)＝{1,5}．答案：{1,5}
热点考向四 集合的应用
【例4】设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算 为Ai Aj＝Ak，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0,1,2,3，则满足关系式(x x) A2＝A0的x(x∈S)的个数为________．
【解析】因为(x x) A2＝A0，设x x＝Ak，故Ak A2＝A0，所以k＝2，即x x＝A2，
所以x＝A1或A3.【答案】 2
【点评】 有些集合问题是通过定义一个新概念或约定一种新运算或给定一个新模型来创设新的问题情境，它要求我们要在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题．
【变式4】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组底一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________．
解析：因为2 011＝402×5＋1，所以2 011∈[1]，故命题①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确；因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．
答案：3
一、填空题
1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝________.
解析：作出集合M，N的Venn图，∴M∩N＝{2,3}．
2．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于________．
解析：M∩N＝{0,1}．
3．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)＝________.
解析：A∪B＝{1,2,3,4,5,7},CU(A∪B)＝{6,8}．
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合(CUM)∩(CUN)＝________.
解析：∵M∪N＝{1,2,3,4}∴ U(M∪N)＝{5,6}即(CUM)∩(CUN)＝{5,6}．
5．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|<，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为________．
解析：∵M＝{y|y＝|cos 2x|}＝[0,1]， N＝{x|<}＝(－1,1)，∴M∩N＝[0,1)．
6．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝______.
解析：A∩B＝{－1,2}．
7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小
组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学、化学人数为x人．
20－x＋6＋5＋4＋9－x＋x＝36，x＝8.
答案：8
8．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝ ，N＝{(x，y)|y≠x－4}，那么(CUM)∩(CUN)＝___ _.
解析：∵M＝{(x，y)|y＝x－4，(x≠2)}，它表示直线y＝x－4挖去点(2，－2)，CUM表示代表直线y＝x－4外，且包含点(2，－2)；集合N表示直线y＝x－4外区域，CUN则表示直线y＝x－4.
∴( CUM)∩(CUN)＝{(2，－2)}．
9．设A是整数集的一个非空子集．对于k∈A，如果k－1 A，且k＋1 A，那么称k是A的一个“孤
立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．
解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．
答案：6
二、解答题
10．集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否存在这样的实数a，使得B A，且A∩B＝{1，a}？若存在，
求出实数a的值；若不存在，说明理由．
解析：由A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，B A，得a2＝3或a2＝a.
当a2＝3时，a＝±，此时A∩B≠{1，a}；
当a2＝a时，a＝0或a＝1.
a＝0时，A∩B＝{1,0}；
a＝1时，A、B中的元素均不满足互异性．
综上所述，存在这样的实数a＝0，使得B A，且A∩B＝{1，a}．
11．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，
(1)当m＝3时，求A∩(CRB)；
(2)若A∩B＝{x|－1
解析：由≥1，得≤0，∴A＝{x|－1(1)当m＝3时，B＝{x|－1(2)∵A＝{x|－112．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，
求实数a及m的值．
解析：∵A＝{1, 2}，B＝ {x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}， 又A∪B＝A，∴B A.
∴a－1＝2 a＝3(此时A＝B)，
或a－1＝1 a＝2(此时B＝{1})．
由A∩C＝C C A，从而C＝A或C＝ (若C＝{1}或C＝{2}时，可检验不符合题意)．
当C＝A时，m＝3；当C＝ 时，
Δ＝m2－8<0 －2综上可知a＝2或a＝3，m＝3或－21．集合与元素
(1)集合元素的三个特性是： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是 或 的关系，用符号 或 表示．
(3)集合的表示方法有： 、 、Venn图法．
(4)集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可分为 、
(5)常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间关系
表示关系 文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝
子集 A中任意一个元素均为B中的元素
真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 或
空集 空集是任何集合的子集，是任何 的真子集
3.集合间运算关系
(1)交集：记作A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} .
性质：①A∩BA，A∩BB. ②A∩A＝A，A∩＝.
(2)并集：记作A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} .
性质：①A∪BA，A∪BB. ②A∪A＝A，A∪＝A.
(3)补集CUA＝
性质：
1．若P＝{x|x<1}，则CRP＝________.
2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有________个．
3.已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么CUP＝________.
4.设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(CUB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
热点考向一 集合的基本概念
已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．
【变式1】
(1)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是________．
(2)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．
热点考向二 集合间的基本关系
【例2】设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若BA，求实数a组成的集合C.
【变式2】
(1)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则Q________P(用“ 、、＝”填空)．
(2)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为________．
热点考向三 集合的基本运算
、
【例3】设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若U＝R，A∩(CUB)＝A，求实数a的取值范围．
【变式3】
(1)若集合A＝{x|logx≥}，则CRA＝________.
(2)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩( UT)等于________．
热点考向四 集合的应用
【例4】设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算 为Ai Aj＝Ak，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0,1,2,3，则满足关系式(x x) A2＝A0的x(x∈S)的个数为________．
【变式4】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组底一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________．
一、填空题
1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝________.
2．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于________．
3．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)＝________.
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合(CUM)∩(CUN)＝________.
5．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|<，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为________．
6．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝______.
7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小
组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
8．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝ ，N＝{(x，y)|y≠x－4}，那么(CUM)∩(CUN)＝___ _.
9．设A是整数集的一个非空子集．对于k∈A，如果k－1 A，且k＋1 A，那么称k是A的一个“孤
立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．
二、解答题
10．集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否存在这样的实数a，使得B A，且A∩B＝{1，a}？若存在，
求出实数a的值；若不存在，说明理由．
11．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，
(1)当m＝3时，求A∩(CRB)；
(2)若A∩B＝{x|－112．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，
求实数a及m的值．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．逻辑联结词
(1)命题中的 、 、 叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q， p的真假判断
p q p∧q p∨q p
真 真
真 假
假 真
假 假
2.全称量词
(1)短语“ ”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有 的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ，读作：“ ”．
3．存在量词
(1)短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有 的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为： ，读作：“ ”．
4．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
5.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 不一定
1．下列命题中的假命题是________．
① x∈R,2x－1>0 ② x∈N*，(x－1)2＞0 ③ x∈R，lg x<1 ④ x∈R，tan x＝2
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是________．
3．若p是真命题，q是假命题，则下列说法正确的是________．
4．命题“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为______________．
5．命题“ x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为______．
热点考向一 含有逻辑联结词的命题真假判断
【例1】分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“ p”形式的命题的真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：1是奇数，q：1是质数；
(3)p：0∈ ，q：{x|x2－3x－5<0} R；
(4)p：5≤5，q：27不是质数；
(5)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．
【变式1】已知命题:p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∧p2和q4：p1∧( p2)中，真命题是________．
热点考向二 全(特)称命题及真假判断
【例2】判断以下命题的真假
(1) x∈R，x2＋x＋1>0；(2) x∈Q，x2＋x＋1是有理数；(3) α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(4) x，y∈Z，使3x－2y＝10；(5) a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
【变式2】 (1)下列命题中真命题的个数是________．
① x∈R，x4＞x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“ x∈R，x3－x2＋1＞0”．
(2)下列命题中是真命题的是________．
① x∈，x>sin x；② x0∈R，sin x0＋cos x0＝2；③ x∈R,3x>0；④ x0∈R，lg x0＝0.
热点考向三 全(特)称命题的否定
【例3】写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
(4)p： x0∈N，x－2x0＋1≤0.
【变式3】写出下列命题的“否定”，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
热点考向四 与命题有关的参数范围问题
【例4】已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【变式4】命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
一、填空题
1．设p和q是两个简单命题，若綈p是q的充分不必要条件，则p是綈q的________条件．
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是________．
3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．
4．下列4个命题:
p1： x∈(0，＋∞)，xlogx
p3： x∈(0，＋∞)，x>logx p4： x∈，x其中的真命题是________．
5．已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a＋b|＝|a|＋|b|，命题q： t∈R，使得a＝tb，则p是q的________
条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”等填空)．
6．命题“ x∈R，x2＋1≥0”的否定是________．
7．已知命题：“ x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．
8．已知命题p： m∈R，m＋1＜0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，若p∧q为假命题，则实数
m的取值范围是________．
9．下列结论：
①若命题p： x∈R，tan x＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为____________．(把你认为正确结论的序号都填上)
二、解答题
10．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．
11．已知a、b、c、d均为实数，且2bd－c－a＝0.命题p：关于x的二次方程ax2＋2bx＋1＝0有实根；命题q：关于x的二次方程cx2＋2dx＋1＝0有实根；
求证：“p或q”为真命题．
12．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>
恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做命题．其中判断为真 的语句叫真命题， 判断为假 的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题 表述形式
原命题 若p，则q
逆命题 若q，则p
否命题 若 p，则 q
逆否命题 若 q，则 p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ．
3．充分条件与必要条件
(1)如果pq，则p是q的 充分条件 ，q是p的 必要条件 ；
(2)如果pq，qp，则p是q的 充要条件 ．
4．利用集合间的关系判定充要关系
设p、q对应的集合分别为A，B则有：
若集合AB，则p是q的 充分 条件
若集合BA，则p是q的 必要 条件
若集合A B，则p是q的 充分不必要 条件
若集合A B，则p是q的 必要不充分 条件
若集合A＝B，则p是q的 充要 条件
若集合AB且BA，则p是q的 非充分非必要 条件
1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”等填空)．
解析：∵x＝3 x2＝9.但x2＝9 x＝3故“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
答案：充分不必要条件
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．
答案：若|a|＝|b|，则a＝－b
3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
答案：已知a，b，c∈R，若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
4．命题p：若x2＜2，则－＜x＜，则p的否命题是________．命题“非p”是________．
答案：若x2≥2，则x≤－或x≥ 若x2＜2，则x≤－或x≥
5．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若 p是 q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：－4＜x－a＜4 a－4＜x＜a＋4，q：(x－2)(3－x)＞0 2＜x＜3.
又非p是非q的充分条件，即 p q，它的等价命题是qp.
所以解得－1≤a≤6.答案：－1≤a≤6
热点考向一 四种命题及其关系
【例1】函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(1)写出否命题，判定真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判定真假，并证明你的结论．
【解析】 (1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)否命题为真命题，证明如下：∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
若a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)故否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若f(a)＋f(b)该逆否命题为真命题，证明如下：对于原命题：∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且a＋b≥0，
∴a≥－b，b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
【点评】 由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真同假，所以一个命题的逆命题和它的否命题同真同假；一个命题与它的逆否命题同真同假．当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断．
【变式1】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．①奇函数的图象关于坐标原点对称；②若x2＋y2＝0，则x，y全为0；③若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；
解析：①原命题写成“若p，则q”的形式是：若一个函数是奇函数，则它的图象关于坐标原点对称．
逆命题：若一个函数的图象关于坐标原点对称，则它是奇函数；否命题：若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于坐标原点对称；逆否命题：若一个函数的图象不关于坐标原点对称，则它不是奇函数．
②逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.
③逆命题：若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7；
逆否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.
热点考向二 充要条件的判断
【例2】记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2…，xn}，最小数为min{x1，x2，…xn}，△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min{，，}，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的________条件(用“必要不充分，充分不必要，充要”等填空)．
【解析】当“△ABC为等边三角形”时，“l＝1”显然成立．当“l＝1”时，举反例：如：a＝1，b＝2，c＝2，
此时l＝max·min＝2×＝1，但△ABC不是等边三角形．【答案】必要而不充分
【点评】 必要充分条件问题关键在于一方能否推得另一方，不成立时，举一反例即可．
【变式2】已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|>1 θ∈
p2：|a＋b|>1 θ∈
p3：|a－b|>1 θ∈
p4：|a－b|>1 θ∈
其中的真命题是________．
解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b>－，故θ∈.当θ∈时，
a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；
由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b<，故θ∈，反之也成立．
答案：p1，p4
热点考向三 充要条件的证明
【例3】求证方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a＝1.
【证明】充分性：当a＝0时，方程变为2x＋1＝0，其根为x＝－，方程只有一负根．
当a＝1时，方程为x2＋2x＋1＝0，其根为x＝－1，方程只有一负根．
当a<0时，Δ＝4(1－a)>0，方程有两个不相等的根，且<0，方程有一正一负根．
必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．当a＝0时，适合条件．
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，
当a＝1时，方程有一负根x＝－1.若方程有且仅有一负根，则∴a<0.
综上方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a＝1.
【点评】(1)条件已知证明结论成立是充分性．结论已知推出条件成立是必要性；
(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；
(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．
【变式3】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求数列{an}成等比数列的充要条件．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1，
由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}的公比为p的等比数列．
要使{an}是等比数列(当n∈N*时)，则＝p.
又a2＝(p－1)p，∴ ＝p，∴p2－p＝p2＋pq，
∴q＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0，且p≠1，且q＝－1.
再证充分性：
当p≠0，且p≠1，且q＝－1时，Sn＝pn－1.
当n＝1时，S1＝a1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1，
显然当n＝1时也满足上式，∴an＝(p－1)pn－1，n∈N*，
∴＝p(n≥2)．∴{an}是等比数列．综上可知，数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0，p≠1，且q＝－1.
热点考向四 充要条件的应用
【例4】已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若 p是 q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】 先求得p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．由已知可得， q是p的充分不必要条件，则{x|1－m≤x≤1＋m} ，{x|－2≤x≤10}，∴
【点评】 利用集合间的包含关系理解充分、必要条件，如果条件p和结论q分别对应集合A、B，若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A? B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
【变式4】已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，且给定条件p：“≤x≤”，
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若又给条件：q：“|f(x)－m|＜2”，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝2－2cos 2x－1＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin＋1.
又∵≤x≤，∴≤2x－≤，即3≤4sin(2x－)＋1≤5，
∴f(x)max＝5，f(x)min＝3.
(2)∵|f(x)－m|＜2，∴m－2＜f(x)＜m＋2.
又∵p是q的充分条件，
∴解得3＜m＜5.
一、填空题
1．命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是________．
答案：若a＋1≤b，则a≤b
2． “x>1”是“|x|>1”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”等填空)．
解析：∵x>1 |x|>1，|x|>1 x>1，∴“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
答案：充分不必要条件
3．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”
等填空)．
解析：∵0＜x＜，∴0＜sin x＜1，∴xsin x＜1，可得xsin2x＜1成立，反之不成立，所以，xsin2x＜1是xsin x＜1的必要而不充分条件．
答案：必要而不充分
4．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的________条件(用“充分不必要”、
“必要不充分”、“充分必要”等填空)．
解析：由a⊥b，得a·b＝0，
f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b，若a⊥b，f(x)＝(b2－a2)x，不一定是一次函数，
若f(x)为一次函数，则
答案：必要而不充分
5．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)
＝0是a与b互补的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要既不充分也不必要”等填空)．
解析：由＝a＋b，可得a2＋b2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，即即
故φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．
答案：充要
6．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝______
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝
________.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8垂直 1·m＋(m＋1)·2＝0 m＝－.
答案：－
8．已知p：x≤1，q：＜1，则 p是q的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
又不必要”中选择恰当的一个填写)
解析：p：x≤1， p：x＞1，q：＜1，即x＞1或x＜0.
p q但q p.
故 p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9．设A＝，B＝{x||x－b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，则实数b的取值范围是________．
解析：A＝{x|－1＜x＜1}，当a＝1时，B＝{x|b－1＜x＜b＋1}，若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，
则有－1≤b－1＜1或－1＜b＋1≤1，所以b∈(－2,2)．
答案：(－2,2)
二、解答题
10．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是
∠A＝90°.
证明：(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
(2)充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.
将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
11．已知命题p: 对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥ 恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，
若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
解析：∵m∈[－1,1]，
∴ ∈[2 ，3]．
∵对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥ 恒成立，可得a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，
∴Δ＝a2－8>0.
∴a>2 或a<－2 .
从而命题q为假命题时，－2 ≤a≤2 ，
∴命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为
－2 ≤a≤－1.
12．(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．
解析：(1)当x>2或x<－1时，x2－x－2>0，
由4x＋p<0得x<－，故－≤－1时，
“x<－” “x<－1” “x2－x－2>0”．
∴p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．
(2)若“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件，则x2－x－2>0的解集是4x＋p<0的解集的子集，由题知不存在．故不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 学案
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题．其中 的语句叫真命题， 的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题 表述形式
原命题 若p，则q
逆命题
否命题
逆否命题
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 ．
3．充分条件与必要条件
(1)如果pq，则p是q的 ，q是p的 ；
(2)如果pq，qp，则p是q的 ．
4．利用集合间的关系判定充要关系
设p、q对应的集合分别为A，B则有：
若集合AB，则p是q的 条件
若集合BA，则p是q的 条件
若集合A B，则p是q的 条件
若集合A B，则p是q的 条件
若集合A＝B，则p是q的 条件
若集合AB且BA，则p是q的 条件
1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”等填空)．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．
3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
4．命题p：若x2＜2，则－＜x＜，则p的否命题是________．命题“非p”是________．
5．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若 p是 q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
热点考向一 四种命题及其关系
【例1】函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(1)写出否命题，判定真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判定真假，并证明你的结论．
【变式1】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．①奇函数的图象关于坐标原点对称；②若x2＋y2＝0，则x，y全为0；③若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；
热点考向二 充要条件的判断
【例2】记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2…，xn}，最小数为min{x1，x2，…xn}，△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min{，，}，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的________条件(用“必要不充分，充分不必要，充要”等填空)．
【变式2】已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|>1 θ∈
p2：|a＋b|>1 θ∈
p3：|a－b|>1 θ∈
p4：|a－b|>1 θ∈
其中的真命题是________．
热点考向三 充要条件的证明
【例3】求证方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a＝1.
【变式3】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求数列{an}成等比数列的充要条件．
热点考向四 充要条件的应用
【例4】已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若 p是 q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【变式4】已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，且给定条件p：“≤x≤”，
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若又给条件：q：“|f(x)－m|＜2”，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
一、填空题
1．命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是________．
2． “x>1”是“|x|>1”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”等填空)．
3．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”
等填空)．
4．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的________条件(用“充分不必要”、
“必要不充分”、“充分必要”等填空)．
5．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)
＝0是a与b互补的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要既不充分也不必要”等填空)．
6．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝______
7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝
________.
8．已知p：x≤1，q：＜1，则 p是q的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
又不必要”中选择恰当的一个填写)
9．设A＝，B＝{x||x－b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，则实数b的取值范围是________．
二、解答题
10．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是
∠A＝90°.
11．已知命题p: 对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥ 恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，
若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
12．(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．逻辑联结词
(1)命题中的 、 、 叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q， p的真假判断
p q p∧q p∨q p
真 真
真 假
假 真
假 假
2.全称量词
(1)短语“ ”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有 的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ，读作：“ ”．
3．存在量词
(1)短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有 的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为： ，读作：“ ”．
4．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
5.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 不一定
1．下列命题中的假命题是________．
① x∈R,2x－1>0 ② x∈N*，(x－1)2＞0 ③ x∈R，lg x<1 ④ x∈R，tan x＝2
解析：当x＝1时，(x－1)2>0不成立，
∴ x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故填②.
答案：②
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是________．
解析：由特称命题和全称命题的否定可知，命题“ x0∈R,2x0≤0”的否定是“ x∈R,2x>0”．
答案： x∈R,2x＞0
3．若p是真命题，q是假命题，则下列说法正确的是________．
①p∧q是真命题 ②p∨q是假命题 ③ p是真命题 ④ q是真命题
答案：④
4．命题“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为______________．
解析：根据全称命题的否定是特称命题可得．
答案：存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
5．命题“ x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意得对任意的x∈R,2x2－3ax＋9≥0恒成立，则Δ≤0，即(－3a)2－4×2×9≤0，解得a∈[－2，2]．
答案：[－2，2]
热点考向一 含有逻辑联结词的命题真假判断
【例1】分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“ p”形式的命题的真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：1是奇数，q：1是质数；
(3)p：0∈ ，q：{x|x2－3x－5<0} R；
(4)p：5≤5，q：27不是质数；
(5)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．
【解析】 (1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q为真，p∧q为假， p为真．
(2)∵1是奇数，∴p是真命题，又∵1不是质数，∴q是假命题，因此p∨q为真，p∧q为假， p为假．
(3)∵0 ，∴p为假命题，又∵x2－3x－5<0 (4)显然p：5≤5为真命题．q：27不是质数为真命题，∴p∨q为真命题，p∧q为真命题， p为假命题．
(5)∵x2＋2x－8<0，∴(x＋4)(x－2)<0，即－4∴命题p为真，q为假．∴p∨q为真，p∧q为假， p为假．
【点评】判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假： (1)必须弄清构成它的命题的真假；(2)弄清结构形式；(3)根据真值表判断其真假．
【变式1】已知命题:p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∧p2和q4：p1∧( p2)中，真命题是________．
解析：∵y＝2x在R上为增函数，y＝2－x＝x在R上为减函数，
∴y＝－2－x＝－x在R上为增函数，∴y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．
y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．
∴q1∶p1∨p2是真命题，因此排除B和D，
q2∶p1∧p2是假命题，q3∶ p1是假命题，
( p1)∨p2是假命题，故q3是假命题．
答案：q1，q4
热点考向二 全(特)称命题及真假判断
【例2】判断以下命题的真假
(1) x∈R，x2＋x＋1>0；(2) x∈Q，x2＋x＋1是有理数；(3) α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(4) x，y∈Z，使3x－2y＝10；(5) a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
【解析】
(1)∵x2＋x＋1＝2＋>0，∴命题为真命题．
(2)真命题．
(3)∵α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，∴sin(α＋β)＝sin α＋sin β，∴命题为真命题．
(4)∵x＝y＝10时，3x－2y＝10，∴命题为真命题．
(5)∵a＝0，b＝1时，ax＋b＝1≠0，∴a＝0，b＝1时，ax＋b＝0无解，∴命题为假命题．
【点评】 (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
【变式2】 (1)下列命题中真命题的个数是________．
① x∈R，x4＞x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“ x∈R，x3－x2＋1＞0”．
解析：命题(1)不正确，x4＞x2成立当且仅当|x|＞1；命题(2)不正确，当p∧q是假命题时，只要p，q中至少有一个是假命题即可；命题(3)正确，全称命题的否定是特称命题．
答案：1个
(2)下列命题中是真命题的是________．
① x∈，x>sin x；② x0∈R，sin x0＋cos x0＝2；③ x∈R,3x>0；④ x0∈R，lg x0＝0.
解析：∵sin x＋cos x＝ sin∈[－，]，∴ x∈R，sin x＋cos x≠2.
答案：①③④
热点考向三 全(特)称命题的否定
【例3】写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
(4)p： x0∈N，x－2x0＋1≤0.
【解析】 (1) p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故 p为假命题．
(2) p：所有的三角形的三条边不全相等．显然 p为假命题．
【点评】 ①弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
②注意命题的否定与否命题的区别；
③当命题的非的真假不好判断时，可以转化为去判断原命题的真假．当原命题为真时，命题的非为假；当原命题为假时，命题的非为真．
【变式3】写出下列命题的“否定”，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解析：(1) p： x∈R，x2－x＋<0，这是假命题，因为 x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3) r： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(4) s： x∈R，x3＋1≠0，假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.
热点考向四 与命题有关的参数范围问题
【例4】已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【解析】 由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0
有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，综上所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
【变式4】命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解析：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，
所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16<0，∴－2又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，
∴3－2a>1，∴a<1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则∴1≤a<2；
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a<2，或a≤－2.
一、填空题
1．设p和q是两个简单命题，若綈p是q的充分不必要条件，则p是綈q的________条件．
解析：∵ p q但q p，∴ q p但p q，
∴p是 q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是________．
答案：存在一个能被2整除的整数不是偶数
3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．
解析：把命题改为否命题需要注意“任意”和“存在”的互换，还要注意小于等于的否定是大于，根据上述分析，可知答案．答案：存在x∈R，x3－x2＋1＞0
4．下列4个命题:
p1： x∈(0，＋∞)，xlogx
p3： x∈(0，＋∞)，x>logx p4： x∈，x其中的真命题是________．
解析：p1是假命题，p2是真命题，对于p3，x＝时，()＝＝＜1，log＝1.
∴p3是假命题，对于p4，当x∈(0，)时，()x＜1，而logx＞log＝1.∴是真命题．
答案：p2，p4
5．已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a＋b|＝|a|＋|b|，命题q： t∈R，使得a＝tb，则p是q的________
条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”等填空)．
解析：本题以平面向量为载体，考查逻辑推理能力，对于命题p，可知a与b同向；对于命题q，可知a与b共线，即同向一定共线，而共线不一定同向，所以p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
6．命题“ x∈R，x2＋1≥0”的否定是________．
解析：因为原命题是全称命题，所以它的否定应为特称命题形式．
答案： x∈R，x2＋1＜0
7．已知命题：“ x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．
解析：当1≤x≤2时，8≥x2＋2x≥3，如果“ x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题应
有－a≤8，所以a≥－8.
答案：a≥－8
8．已知命题p： m∈R，m＋1＜0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，若p∧q为假命题，则实数
m的取值范围是________．
解析：因为p∧q为假命题，所以p、q中至少有一个为假命题，而命题p： m∈R，m＋1＜0为真命题，所以命题q： x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2，又命题p： m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m＜－1，故综上可知：m≤－2.
答案：m≤－2
9．下列结论：
①若命题p： x∈R，tan x＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为____________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.答案：①③
二、解答题
10．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．
解析：∵p且q为假，∴p、q至少有一命题为假，又“非q”为假，∴q为真，从而可知p为假．
由p为假且q为真，可得：即∴∴
故x的取值为：－1、0、1、2.
11．已知a、b、c、d均为实数，且2bd－c－a＝0.
命题p：关于x的二次方程ax2＋2bx＋1＝0有实根；命题q：关于x的二次方程cx2＋2dx＋1＝0有实根；
求证：“p或q”为真命题．
证明：由ax2＋2bx＋1＝0，得Δ1＝4b2－4a，由cx2＋2dx＋1＝0，得Δ2＝4d2－4c，
又∵2bd－c－a＝0，∴a＋c＝2bd.∴Δ1＋Δ2＝4[b2＋d2－(a＋c)]＝4(b2＋d2－2bd)＝4(b－d)2≥0.
即Δ1、Δ2中至少有一个大于或等于0.∴ax2＋2bx＋1＝0，cx2＋2dx＋1＝0中至少有一个方程有实根．∴“p或q”为真命题．
12．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>
恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．
解析：由命题p知：0恒成立，则2>，即c>.
又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，p为真，q为假时，c的取值范围为0当p为假，q为真时，c≥1.综上，c的取值范围为