第2讲 函数及其表示 教案
1．函数的有关概念
(1)函数的概念：设A、B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么就称 ，记作 ．其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ，显然，值域是集合B的 集 ．
(2)函数的三要素有： 、 和 ．
(3)函数的表示方法有： 、 、 ．
(4)相等函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数．
2．映射的概念
映射：设A，B是两个 ，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 元素x，在集合B中都有 的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作：
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 函数．
4．复合函数
如果y是u的函数，记为y＝f(u)，u又是x的函数，记为u＝g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数y＝f(g(x))，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，y＝f(u)叫做外层函数，u＝g(x)叫做内层函数．
1．函数f(x)＝lg (x－1)的定义域是________．
解析：要使函数f(x)有意义，则x－1>0，即x>1.
答案：(1，＋∞)
2．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其中不正确的有________．
解析：只有①正确，②③④错误．
答案：②③④
3．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是________．
解析：由得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,1)∪(1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析：方程3x＝2(x≤1)的解为x＝log32；方程－x＝2(x＞1)无解．
答案：log32
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a，解得a＝2.
答案：2
热点考向一 求函数的定义域
【例1】(1)函数f(x)＝的定义域是________； (2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是________．
【解析】 (1)要使函数有意义，应有∴解之得－＜x＜且x≠±，
所以函数的定义域是{x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜}．
(2)∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x≤1，∴≤2x≤2，∴函数y＝f(log2x)中≤log2x≤2.
即log2≤log2x≤log24，∴≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为[，4]．
【答案】 (1){x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜} (2)[，4]
【点评】 (1)求函数的定义域，其实质就是函数解析式有意义，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其依据一般是：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数非负；③y＝x0中x≠0；④对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤实际问题中，函数定义域要考虑实际意义．
(2)求抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．
【变式1】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
(1)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由得解得x≥3，所以函数的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)
(2)若f(x)＝，则f(x)的定义域为________．
解析：根据题意得log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈(－，0)．答案：(－，0)
热点考向二 求函数的解析式
【例2】(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
【解析】 (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴解得∴f(x)＝2x＋7.
(2)解法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有： f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
【点评】①题(1)的求解是利用待定系数法，待定系数法的关键是设出某种类型的函数，列出方程组求待定系数；②求函数解析式的常用方法有：1°配凑法；2°换元法；3°待定系数法；4°消元法等．
【变式2】
(1)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为________．
解析：各班人数除以10的余数大于6，即人数除以10的余数大于等于7.故即为代表人数．
答案：y＝
(2)设函数f(x)＝，若f(α)＝2，则实数α＝________.
解析：∵f(α)＝＝2，∴α＝－1.答案：－1
热点考向三 分段函数问题
【例3】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水 超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x＞4时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过 4吨，即3x＞4时， y＝2×4×1.8＋3[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈[0，]时，y≤f＜26.4；当x∈[，]时，y≤f＜26.4；当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
【点评】(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要受实际问题的约束)．
(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义．
【变式3】
（1）已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：当x<－1时有1>1，∴无解．
当－1≤x<0时，有(1－x2)2＋1>1，∴x≠±1，∴－1
当0≤x≤1时，有(1－x2)2＋1>(2x)2＋1，∴0≤x<－1.
当x>1时有1>(2x)2＋1，∴无解．综上：－1答案：(－1，－1)
(2)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15，所以必有4＜A，且＝＝30，解得c＝60，A＝16.
答案：60,16
热点考向四 综合应用
【例4】已知定义域为R的函数f(x)满足：f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.
(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．
【解析】 (1)因为对任意x∈R有：f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，
又f(2)＝3，从而f(1)＝1.又f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.
(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，
故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.
在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1.
若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.
若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，
易验证该函数满足题设条件．
综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
【点评】 对于此类综合问题，应特别注意题干所给的条件的特点，准确理解其实质，另外对函数与方程思想、分类讨论思想的灵活应用也是重点，因而熟练地掌握这些思想是解决问题的关键．
【变式4】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；
(3)若函数f(x)为理想函数，假定 x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.
解析：(1)取x1＝x2＝0可得f(0)≥f(0)＋f(0) f(0)≤0.又由条件①f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2)显然g(x)＝2x－1在[0,1]满足条件①g(x)≥0，也满足条件②g(1)＝1.
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)是理想函数．
(3)证明：由条件③知，任给m、n∈[0,1]，当m＜n时，由m＜n知n－m∈(0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，前后矛盾；若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，前后矛盾，故x0＝f(x0)．
一、填空题
1．已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数与f(x)表示同一函数的是________．21世纪教育网
①g(x)＝ ②g(x)＝ ③g(x)＝ ④g(x)＝x－1
解析：因为②中g(x)与f(x)定义域均为R且g(x)＝＝|x－1|.与f(x)解析式一样，故二者属同一函数．
2．函数y＝的定义域为________．解析：由log0.5(4x－3)>0得0<4x－3<1，解得3．已知函数f(x)满足f(x)＝，则f(－7.5)＝________.
解析：f(－7.5)＝f(－7.5＋2×4)＝f(0.5)＝20.5＝.
4．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0.可见不存在实数a满足条件，当a＜0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得 a＝－3，满足条件．
5．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝________.21世纪教育网
解析：当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或2.
6．函数f(x)＝lg (x－2)的定义域是________．
解析：要使函数f(x)有意义，则x－2>0，即x>2，所以函数的定义域为(2，＋∞)．
7．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.解析：f(－2)＝10－2＝，f()＝lg ＝－2.
8．已知函数f(x)＝，则f()＋f(－)的值为____．
解析：f()＝－cos＝cos＝，f(－)＝f(－)＋1＝f()＋2＝－cos＋2＝2＋＝，所以f()＋f(－)＝3.
9．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(x＋a)，则a的值为________．
解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，得a＝－，符合题意，所以，a＝－.
二、解答题
10．已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝.
解析：当f(x)≤0，即x2＋2x－3≤0，－3≤x≤1时，g(x)＝0.当f(x)＞0，
即x＜－3或x＞1时，
g(x)＝f(x)＝(x＋1)2－4，∴g(x)＝
图象如图所示．
11．A、B两地相距150 km，某汽车以50 km/h的速度从A地到B地，在B地停留2 h之后，又以60 km/h
的速度返回A地．写出该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系，并画出相应的图象．
解析：由题意，离A地的距离s与时间t的关系式为：
s＝
图象如图所示：
12．(1)求函数y＝＋lg cos x的定义域；
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，求函数f的定义域；
(3)在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，且点P沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(4)已知函数y＝lg [x2＋(a＋1)x＋1]的定义域为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)由得
所以函数定义域为∪∪.
(2)要使f有意义，则－2≤x－1≤2，即－4≤x≤12，故f的定义域为[－4,12]．
(3)当点P在线段BC上运动时， S△APB＝|AB||PB|＝2x，x∈[0,4]；当点P在线段CD上运动时，
S△APB＝|AB||CB|＝8，x∈(4,8]；当点P在线段DA上运动时， S△APB＝|AB||AP|＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上y＝
(4)由题意得x2＋(a＋1)x＋1>0对任意x∈R恒成立，应有Δ＝(a＋1)2－4<0，解得－31．函数的有关概念
(1)函数的概念：设A、B是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 唯一 确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f(x)(x∈A) ．其中，x叫做 自变量 ，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做 函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ，显然，值域是集合B的 子集 ．
(2)函数的三要素有： 定义域 、 值域 和 对应法则 ．
(3)函数的表示方法有： 解析法 、 图像法 、 列表法 ．
(4)相等函数：如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应法则 完全一致，则这两个函数为相等函数．
2．映射的概念
映射：设A，B是两个 非空的集合 ，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个 元素x，在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作： f：A→B
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 函数．
4．复合函数
如果y是u的函数，记为y＝f(u)，u又是x的函数，记为u＝g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数y＝f(g(x))，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，y＝f(u)叫做外层函数，u＝g(x)叫做内层函数．
1．函数f(x)＝lg (x－1)的定义域是________．
解析：要使函数f(x)有意义，则x－1>0，即x>1.
答案：(1，＋∞)
2．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其中不正确的有________．
解析：只有①正确，②③④错误．
答案：②③④
3．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是________．
解析：由得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,1)∪(1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析：方程3x＝2(x≤1)的解为x＝log32；方程－x＝2(x＞1)无解．
答案：log32
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a，解得a＝2.
答案：2
热点考向一 求函数的定义域
【例1】(1)函数f(x)＝的定义域是________； (2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是________．
【解析】 (1)要使函数有意义，应有∴解之得－＜x＜且x≠±，
所以函数的定义域是{x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜}．
(2)∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x≤1，∴≤2x≤2，∴函数y＝f(log2x)中≤log2x≤2.
即log2≤log2x≤log24，∴≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为[，4]．
【答案】 (1){x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜} (2)[，4]
【点评】 (1)求函数的定义域，其实质就是函数解析式有意义，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其依据一般是：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数非负；③y＝x0中x≠0；④对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤实际问题中，函数定义域要考虑实际意义．
(2)求抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．
【变式1】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
(1)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由得解得x≥3，所以函数的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)
(2)若f(x)＝，则f(x)的定义域为________．
解析：根据题意得log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈(－，0)．答案：(－，0)
热点考向二 求函数的解析式
【例2】(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
【解析】 (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴解得∴f(x)＝2x＋7.
(2)解法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有： f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
【点评】①题(1)的求解是利用待定系数法，待定系数法的关键是设出某种类型的函数，列出方程组求待定系数；②求函数解析式的常用方法有：1°配凑法；2°换元法；3°待定系数法；4°消元法等．
【变式2】
(1)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为________．
解析：各班人数除以10的余数大于6，即人数除以10的余数大于等于7.故即为代表人数．
答案：y＝
(2)设函数f(x)＝，若f(α)＝2，则实数α＝________.
解析：∵f(α)＝＝2，∴α＝－1.答案：－1
热点考向三 分段函数问题
【例3】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水 超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x＞4时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过 4吨，即3x＞4时， y＝2×4×1.8＋3[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈[0，]时，y≤f＜26.4；当x∈[，]时，y≤f＜26.4；当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
【点评】(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要受实际问题的约束)．
(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义．
【变式3】
（1）已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：当x<－1时有1>1，∴无解．
当－1≤x<0时，有(1－x2)2＋1>1，∴x≠±1，∴－1当0≤x≤1时，有(1－x2)2＋1>(2x)2＋1，∴0≤x<－1.
当x>1时有1>(2x)2＋1，∴无解．综上：－1答案：(－1，－1)
(2)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15，所以必有4＜A，且＝＝30，解得c＝60，A＝16.
答案：60,16
热点考向四 综合应用
【例4】已知定义域为R的函数f(x)满足：f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.
(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．
【解析】 (1)因为对任意x∈R有：f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，
又f(2)＝3，从而f(1)＝1.又f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.
(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，
故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.
在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1.
若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.
若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，
易验证该函数满足题设条件．
综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
【点评】 对于此类综合问题，应特别注意题干所给的条件的特点，准确理解其实质，另外对函数与方程思想、分类讨论思想的灵活应用也是重点，因而熟练地掌握这些思想是解决问题的关键．
【变式4】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；
(3)若函数f(x)为理想函数，假定 x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.
解析：(1)取x1＝x2＝0可得f(0)≥f(0)＋f(0) f(0)≤0.又由条件①f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2)显然g(x)＝2x－1在[0,1]满足条件①g(x)≥0，也满足条件②g(1)＝1.
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)是理想函数．
(3)证明：由条件③知，任给m、n∈[0,1]，当m＜n时，由m＜n知n－m∈(0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，前后矛盾；若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，前后矛盾，故x0＝f(x0)．
一、填空题
1．已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数与f(x)表示同一函数的是________．21世纪教育网
①g(x)＝ ②g(x)＝ ③g(x)＝ ④g(x)＝x－1
解析：因为②中g(x)与f(x)定义域均为R且g(x)＝＝|x－1|.与f(x)解析式一样，故二者属同一函数．
2．函数y＝的定义域为________．解析：由log0.5(4x－3)>0得0<4x－3<1，解得3．已知函数f(x)满足f(x)＝，则f(－7.5)＝________.
解析：f(－7.5)＝f(－7.5＋2×4)＝f(0.5)＝20.5＝.
4．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0.可见不存在实数a满足条件，当a＜0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得 a＝－3，满足条件．
5．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝________.21世纪教育网
解析：当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或2.
6．函数f(x)＝lg (x－2)的定义域是________．
解析：要使函数f(x)有意义，则x－2>0，即x>2，所以函数的定义域为(2，＋∞)．
7．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.解析：f(－2)＝10－2＝，f()＝lg ＝－2.
8．已知函数f(x)＝，则f()＋f(－)的值为____．
解析：f()＝－cos＝cos＝，f(－)＝f(－)＋1＝f()＋2＝－cos＋2＝2＋＝，所以f()＋f(－)＝3.
9．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(x＋a)，则a的值为________．
解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，得a＝－，符合题意，所以，a＝－.
二、解答题
10．已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝.
解析：当f(x)≤0，即x2＋2x－3≤0，－3≤x≤1时，g(x)＝0.当f(x)＞0，
即x＜－3或x＞1时，
g(x)＝f(x)＝(x＋1)2－4，∴g(x)＝
图象如图所示．
11．A、B两地相距150 km，某汽车以50 km/h的速度从A地到B地，在B地停留2 h之后，又以60 km/h
的速度返回A地．写出该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系，并画出相应的图象．
解析：由题意，离A地的距离s与时间t的关系式为：
s＝
图象如图所示：
12．(1)求函数y＝＋lg cos x的定义域；
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，求函数f的定义域；
(3)在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，且点P沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(4)已知函数y＝lg [x2＋(a＋1)x＋1]的定义域为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)由得
所以函数定义域为∪∪.
(2)要使f有意义，则－2≤x－1≤2，即－4≤x≤12，故f的定义域为[－4,12]．
(3)当点P在线段BC上运动时， S△APB＝|AB||PB|＝2x，x∈[0,4]；当点P在线段CD上运动时，
S△APB＝|AB||CB|＝8，x∈(4,8]；当点P在线段DA上运动时， S△APB＝|AB||AP|＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上y＝
(4)由题意得x2＋(a＋1)x＋1>0对任意x∈R恒成立，应有Δ＝(a＋1)2－4<0，解得－31．函数的单调性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，①若都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数 ．
②若都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数 ．
(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．判断函数单调性的方法
(1)定义法：步骤： 取值 → 作差 → 定号 ．
(2)图象法：若函数图象从左到右一直在 上升 (或 下降 )，则函数就是增(或减)函数．
(3)导数法：函数f(x)在定义域内某个区间D上可导，若在区间D上有 f′(x)＞0(f′(x)＜0)
，则f(x)在区间D上为增(减)函数．
(4)若f(x)、g(x)均为增(减)函数，则①f(x)＋g(x)为 增(减) 函数；②为 减(增)
函数(f(x)＞0)；③为 增(减) 函数(f(x)≥0)；④－f(x)为 减(增) 函数．
3．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ①对于任意x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 ①对于任意x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得
结论 M为最大值 M为最小值
1．函数f(x)＝lg (x－1)的定义域是________．
解析：要使函数f(x)有意义，则x－1>0，即x>1.
答案：(1，＋∞)
2．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其中不正确的有________．
解析：只有①正确，②③④错误．
答案：②③④
3．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是________．
解析：由得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,1)∪(1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析：方程3x＝2(x≤1)的解为x＝log32；方程－x＝2(x＞1)无解．
答案：log32
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a，解得a＝2.
答案：2
热点考向一 求函数的定义域
【例1】(1)函数f(x)＝的定义域是________； (2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是________．
【解析】 (1)要使函数有意义，应有∴解之得－＜x＜且x≠±，
所以函数的定义域是{x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜}．
(2)∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x≤1，∴≤2x≤2，∴函数y＝f(log2x)中≤log2x≤2.
即log2≤log2x≤log24，∴≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为[，4]．
【答案】 (1){x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜} (2)[，4]
【点评】 (1)求函数的定义域，其实质就是函数解析式有意义，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其依据一般是：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数非负；③y＝x0中x≠0；④对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤实际问题中，函数定义域要考虑实际意义．
(2)求抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．
【变式1】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
(1)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由得解得x≥3，所以函数的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)
(2)若f(x)＝，则f(x)的定义域为________．
解析：根据题意得log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈(－，0)．答案：(－，0)
热点考向二 求函数的解析式
【例2】(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
【解析】 (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴解得∴f(x)＝2x＋7.
(2)解法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有： f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
【点评】①题(1)的求解是利用待定系数法，待定系数法的关键是设出某种类型的函数，列出方程组求待定系数；②求函数解析式的常用方法有：1°配凑法；2°换元法；3°待定系数法；4°消元法等．
【变式2】
(1)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为________．
解析：各班人数除以10的余数大于6，即人数除以10的余数大于等于7.故即为代表人数．
答案：y＝
(2)设函数f(x)＝，若f(α)＝2，则实数α＝________.
解析：∵f(α)＝＝2，∴α＝－1.答案：－1
热点考向三 分段函数问题
【例3】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水 超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x＞4时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过 4吨，即3x＞4时， y＝2×4×1.8＋3[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈[0，]时，y≤f＜26.4；当x∈[，]时，y≤f＜26.4；当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
【点评】(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要受实际问题的约束)．
(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义．
【变式3】
（1）已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：当x<－1时有1>1，∴无解．
当－1≤x<0时，有(1－x2)2＋1>1，∴x≠±1，∴－1当0≤x≤1时，有(1－x2)2＋1>(2x)2＋1，∴0≤x<－1.
当x>1时有1>(2x)2＋1，∴无解．综上：－1答案：(－1，－1)
(2)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15，所以必有4＜A，且＝＝30，解得c＝60，A＝16.
答案：60,16
热点考向四 综合应用
【例4】已知定义域为R的函数f(x)满足：f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.
(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．
【解析】 (1)因为对任意x∈R有：f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，
又f(2)＝3，从而f(1)＝1.又f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.
(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，
故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.
在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1.
若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.
若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，
易验证该函数满足题设条件．
综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
【点评】 对于此类综合问题，应特别注意题干所给的条件的特点，准确理解其实质，另外对函数与方程思想、分类讨论思想的灵活应用也是重点，因而熟练地掌握这些思想是解决问题的关键．
【变式4】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；
(3)若函数f(x)为理想函数，假定 x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.
解析：(1)取x1＝x2＝0可得f(0)≥f(0)＋f(0) f(0)≤0.又由条件①f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2)显然g(x)＝2x－1在[0,1]满足条件①g(x)≥0，也满足条件②g(1)＝1.
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)是理想函数．
(3)证明：由条件③知，任给m、n∈[0,1]，当m＜n时，由m＜n知n－m∈(0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，前后矛盾；若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，前后矛盾，故x0＝f(x0)．
一、填空题
1．已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数与f(x)表示同一函数的是________．21世纪教育网
①g(x)＝ ②g(x)＝ ③g(x)＝ ④g(x)＝x－1
解析：因为②中g(x)与f(x)定义域均为R且g(x)＝＝|x－1|.与f(x)解析式一样，故二者属同一函数．
2．函数y＝的定义域为________．解析：由log0.5(4x－3)>0得0<4x－3<1，解得3．已知函数f(x)满足f(x)＝，则f(－7.5)＝________.
解析：f(－7.5)＝f(－7.5＋2×4)＝f(0.5)＝20.5＝.
4．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0.可见不存在实数a满足条件，当a＜0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得 a＝－3，满足条件．
5．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝________.21世纪教育网
解析：当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或2.
6．函数f(x)＝lg (x－2)的定义域是________．
解析：要使函数f(x)有意义，则x－2>0，即x>2，所以函数的定义域为(2，＋∞)．
7．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.解析：f(－2)＝10－2＝，f()＝lg ＝－2.
8．已知函数f(x)＝，则f()＋f(－)的值为____．
解析：f()＝－cos＝cos＝，f(－)＝f(－)＋1＝f()＋2＝－cos＋2＝2＋＝，所以f()＋f(－)＝3.
9．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(x＋a)，则a的值为________．
解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，得a＝－(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，得a＝－，符合题意，所以，a＝－.
二、解答题
10．已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝.
解析：当f(x)≤0，即x2＋2x－3≤0，－3≤x≤1时，g(x)＝0.当f(x)＞0，
即x＜－3或x＞1时，
g(x)＝f(x)＝(x＋1)2－4，∴g(x)＝
图象如图所示．
11．A、B两地相距150 km，某汽车以50 km/h的速度从A地到B地，在B地停留2 h之后，又以60 km/h
的速度返回A地．写出该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系，并画出相应的图象．
解析：由题意，离A地的距离s与时间t的关系式为：
s＝
图象如图所示：
12．(1)求函数y＝＋lg cos x的定义域；
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，求函数f的定义域；
(3)在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，且点P沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(4)已知函数y＝lg [x2＋(a＋1)x＋1]的定义域为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)由得
所以函数定义域为∪∪.
(2)要使f有意义，则－2≤x－1≤2，即－4≤x≤12，故f的定义域为[－4,12]．
(3)当点P在线段BC上运动时， S△APB＝|AB||PB|＝2x，x∈[0,4]；当点P在线段CD上运动时，
S△APB＝|AB||CB|＝8，x∈(4,8]；当点P在线段DA上运动时， S△APB＝|AB||AP|＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上y＝
(4)由题意得x2＋(a＋1)x＋1>0对任意x∈R恒成立，应有Δ＝(a＋1)2－4<0，解得－3