矩阵与变换

第1讲 线性变换与二阶矩阵 教案
1．矩阵的相关概念
(1)由4个数a，b，c，d排成的正方形数表 称为二阶矩阵，数a，b，c，d称为矩阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，…表示．
(2)二阶矩阵 称为零矩阵，简记为0，矩阵 称为二阶单位矩阵，记作E2.
2．矩阵的乘法
(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则：为＝.
(2)二阶矩阵与列向量和乘法规则：＝.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
＝.
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，
由AB＝AC不一定能推出B＝C.
一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．
3．线性变换的相关概念
(1)我们把形如(*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P′(x′，y′)是P(x，y)在这个线性变换作用下的像．
(2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P，都有σ(P)＝ρ(P)，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A，B，则A＝B .
4．几种常见的线性变换
(1)由矩阵M＝确定的变换TM称为恒等变换，这时称矩阵M为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．
(2)由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换，这时称矩阵M＝或M＝伸压变换矩阵．
当M＝时确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩，当k>1时伸长，当0当M＝时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，当k>1时伸长，当0(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．由矩阵M1＝确定的变换是关于x轴的轴反射变换，由矩阵M2＝确定的变换是关于y轴的轴反射变换，由矩阵M3＝确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M4＝确定的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．
(4)将一个平面图形绕一个定点旋转角α，得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时，旋转变换的变换矩阵为.旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换．
(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M1＝，M2＝，M3＝确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射．
(6)由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以为例，矩阵把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位，当ky>0时沿x轴正方向移动，当ky<0时沿x轴负方向移动，当ky＝0时原地不动．
1．点A(3，－6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是 .
解析：∵ ＝.∴变换作用下得到的点的坐标是(9，－3)．
答案：(9，－3)
2．设 ＝，则它表示的方程组为 .
解析：∵ ＝＝.∴
答案：
3．设矩阵A＝，B＝，若A＝B，则x＝________，a＝________，b＝________.
解析：∵A＝B，∴解得∴x＝－3，a＝－9，b＝0.
答案：－3　－9　0
4．在矩阵对应的变换作用下得到点(2，－4)的平面上的点P的坐标是________．
解析：设P(x，y)，由矩阵得坐标变换公式为，∴
解得∴所求点P.
答案：
5．若曲线y＝x2(x≥0)在矩阵M对应的反射变换作用下得到的曲线为y＝x2(x≤0)，则矩阵M＝________.
解析：由图象可知，此变换为以y轴为对称轴的反射变换，
∴M＝.
答案：
热点考向一 矩阵相等问题
【例1】已知A＝，B＝，若A＝B，求a，b，c，d.
【解析】　由矩阵相等的定义知解得a＝5，b＝10，c＝－7，d＝4.
【点评】　矩阵相等，即两矩阵对应元素相等，这是寻找等式关系的关键．
【变式1】已知矩阵M＝，N＝，且MN＝.求实数a，b，c，d的值．
解析：由题设得解得
热点考向二 线性变换
【例2】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换下得到曲线F，求F的方程．
【解析】　设P(x，y)是椭圆4x2＋y2＝1上的任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′，y′)，则有＝ ，即所以.又因为点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝1上，
所以4()2＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.故曲线F的方程为x2＋y2＝1.
【点评】线性变换是基本变换，解这类问题关键是由＝A得到点P′(x′，y′)与点P(x，y)的坐标关系．
【变式2】求直线x－2y＋1＝0经二阶矩阵变换后的图形的方程．
解析：设变换后的图形上的任一点为(x，y)．与之对应的原直线上的点为(x′，y′)，
则 ＝＝.∴∴又∵(x′，y′)在直线x－2y＋1＝0上．
∴y－2(x－3y)＋1＝0，即：2x－7y－1＝0∴变换后的图形的方程为2x－7y－1＝0.
热点考向三 矩阵乘法的几何意义
【例3】求曲线x2＋y2＝1，依次经过矩阵A＝，B＝变换作用下得到的曲线方程．
【解析】∵BA＝ ＝.
任取x2＋y2＝1上一点P(x0，y0)，
它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x，y)，
则有 ＝.∴
∵P(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上．
∴y2＋＝1.
即所求曲线方程为y2＋＝1.
【点评】(1)要注意矩阵乘法不满足交换律，所以要分清AB还是BA.
(2)注意原曲线上的点P与变换后曲线上的点P′的对应关系，不要弄错．
【变式3】求出曲线x2＋y2＝1依次经过矩阵A＝，B＝作用下变换得到的曲线方程．
解析：由已知AB＝ ＝.
任取曲线x2＋y2＝1上一点P(x0，y0)，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P′(x，y)，
则有 ＝，故
∵P在曲线x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1.
因此y2＋＝1，从而曲线x2＋y2＝1在矩阵AB作用下变成椭圆＋y2＝1.
一、填空题
1．直线2x＋y－1＝0经矩阵M＝的变换后得到的直线方程为 .
解析：由变换矩阵M知坐标变换公式为:，即
代入直线方程2x＋y－1＝0得2x′＋y′＋1＝0，即2x＋y＋1＝0.故选D.
答案：2x＋y＋1＝0
2．在某个旋转变换中，顺时针旋转所对应的变换矩阵为 .
解析：顺时针旋转即逆时针旋转π，变换矩阵为:＝＝.
答案：
3．在矩阵变换下，点A(2,1)将转换为________，这是一种________变换．
解析：∵ ＝，即点A(2,1)经过变换后变为A′(4,1)，所以该变换为平行于x轴的切变变换．
答案：(4,1)　切变
4．已知B＝，C＝，并且(AB)C＝，则矩阵A＝________.
解析：∵(AB)C＝A(BC)，又BC＝，所以A＝ ，
∴A＝ －1＝ ＝.
答案：
5．有一矩阵对应的变换把图中△ABO变成△A′B′O，其中点A的象点为A′，点B的象点为B′，则该矩阵为________．
解析：设所求矩阵为，则由 ＝， ＝
可得a＋2b＝1　　①，c＋2d＝3　　②，
2a＋b＝－1　　③，2c＋d＝3　　④，
由①、②、③、④解得a＝－1，b＝1，c＝1，d＝1，
故所求矩阵为.答案：
6．设a，b∈R，若矩阵A＝将直线l：x＋y－1＝0变为直线m：x－y－2＝0，则a，
b的值为________．
解析：在直线l上任取一点P(x，y)，经矩阵变换后为点P′(x′，y′)．
则由＝ ＝，得所以ax＋y－by－2＝0，即ax＋(1－b)y－2＝0，于是由＝＝，解得a＝2，b＝－1.
答案：2，－1
7．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(－1,2)，C(0,3)，则△ABC在矩
阵 作用下变换所得到的图形的面积为________．
解析：设A，B，C在矩阵的作用下的点为A′，B′，C′，
∵ ＝， ＝， ＝，
∴A′(0,0)，B′(－2，－1)， C′(－3,0)，
∴S△A′B′C′＝|A′C′|·|yB′|＝×3×1＝.
答案：
8．设△OAB的三个点坐标为O(0,0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩阵M＝对应的变
换下作用后形成△OA′B′，则△OAB与△OA′B′的面积之比为________．
解析：由题意知TM为切变换，故变换前后的图形面积大小不变．
答案：1∶1
二、解答题
9．正知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
解析：∵A2＝ ＝设α＝，由A2α＝β，得 ＝
∴解得∴α＝.
10．设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，
试求变换矩阵M及图形F′的方程．
解析：∵＝＝ ，∴M＝.∵圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)，
∴，即.∵x2＋y2＝1，∴(x′－2y′)2＋(y′)2＝1.即F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1.
11．已知矩阵M＝和N＝，求证：MN＝NM.
证明：MN＝ ＝，
NM＝ ＝.故MN＝NM.
12．已知梯形ABCD，其中A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，D(1,2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.
(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.
(2)求点A，B，C，D在TM作用下所得到的结果．
解析：(1)关于x轴的反射变换矩阵为M1＝，逆时针旋转90°的变换矩阵为
M2＝＝故M＝M2M1＝ ＝.
(2)A′： ＝，即A′(0,0)．
B′： ＝，即B′(0,3)．
C′： ＝，即C′(2,2)．
D′： ＝，即D′(2,1)．第1讲 线性变换与二阶矩阵 学案
1．矩阵的逆矩阵
(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．
(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．
(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A－1.
2．二阶行列式与方程组的解
对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A＝＝ad－bc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为
3．矩阵特征值、特征向量的相关概念
(1)定义：设矩阵A＝，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．
(2)一般地，设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．
(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
(4)设矩阵A＝，称f(λ)＝ 为矩阵A的特征多项式，方程 ＝0为矩阵A的特征方程．
4．特征向量的应用
(1)设A是一个二阶矩阵，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*)．
(2)性质1　设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.
1．矩阵的逆矩阵是 .
2．若矩阵可逆，则k的值不可能是 .
3．若矩阵A＝不可逆，则实数a的值为________．
4．对任意实数x，矩阵总存在特征向量，则m的取值范围是________．
5．已知矩阵M的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e1＝，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝.则矩阵M＝________.
热点考向一 求逆矩阵
【例1】求矩阵A＝的逆矩阵．
【变式1】已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)、Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)、Q1(0,5)．
(1)求变换矩阵A；
(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1：如不可逆，请说明理由．
热点考向二 利用矩阵解二元一次方程组
【例2】(1)求矩阵A＝的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组
【变式2】用矩阵方法求解二元一次方程组
热点考向三 矩阵的特征值与特征向量
【例3】给定矩阵A＝，B＝.(1)求A的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A4B.
【变式3】已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
一、填空题
1．已知A＝可逆，则实数a的取值范围是 .
2．设矩阵M＝，则矩阵M的特征向量可以是 .
3．设可逆矩阵A＝的逆矩阵A－1＝，则a＝________，b＝________，c＝________.
4．已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．
5．A＝，则A－1＝________.
6．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a→1，b→2，…，z→26，双方约定的矩阵为，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为________．
7．矩阵M＝的特征值与特征向量分别为________．
8．已知矩阵A＝，B＝，则满足方程AX＝B的二阶矩阵X＝________.
二、解答题
9．已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.
10．已知矩阵A＝.(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵An.
11．给定矩阵M＝，N＝，向量α＝.(1)求证：M和N互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值．
12．(2011年福建)设矩阵M＝(其中a>0，b>0)
①若a＝2，b＝3，求M的逆矩阵M－1；
②若曲线C：x2＋y2＝1，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．第1讲 线性变换与二阶矩阵 学案
1．矩阵的相关概念
(1)由4个数a，b，c，d排成的正方形数表 称为二阶矩阵，数a，b，c，d称为矩阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，…表示．
(2)二阶矩阵 称为零矩阵，简记为0，矩阵 称为二阶单位矩阵，记作E2.
2．矩阵的乘法
(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则：为＝.
(2)二阶矩阵与列向量和乘法规则：＝.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
＝.
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，
由AB＝AC不一定能推出B＝C.
一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．
3．线性变换的相关概念
(1)我们把形如(*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P′(x′，y′)是P(x，y)在这个线性变换作用下的像．
(2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P，都有σ(P)＝ρ(P)，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A，B，则A＝B .
4．几种常见的线性变换
(1)由矩阵M＝确定的变换TM称为恒等变换，这时称矩阵M为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．
(2)由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换，这时称矩阵M＝或M＝伸压变换矩阵．
当M＝时确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩，当k>1时伸长，当0当M＝时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，当k>1时伸长，当0(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．由矩阵M1＝确定的变换是关于x轴的轴反射变换，由矩阵M2＝确定的变换是关于y轴的轴反射变换，由矩阵M3＝确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M4＝确定的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．
(4)将一个平面图形绕一个定点旋转角α，得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时，旋转变换的变换矩阵为.旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换．
(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M1＝，M2＝，M3＝确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射．
(6)由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以为例，矩阵把平面上的点(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位，当ky>0时沿x轴正方向移动，当ky<0时沿x轴负方向移动，当ky＝0时原地不动．
1．点A(3，－6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是 .
2．设 ＝，则它表示的方程组为 .
3．设矩阵A＝，B＝，若A＝B，则x＝________，a＝________，b＝________.
4．在矩阵对应的变换作用下得到点(2，－4)的平面上的点P的坐标是________．
5．若曲线y＝x2(x≥0)在矩阵M对应的反射变换作用下得到的曲线为y＝x2(x≤0)，则矩阵M＝________.
热点考向一 矩阵相等问题
【例1】已知A＝，B＝，若A＝B，求a，b，c，d.
【变式1】已知矩阵M＝，N＝，且MN＝.求实数a，b，c，d的值．
热点考向二 线性变换
【例2】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换下得到曲线F，求F的方程．
【变式2】求直线x－2y＋1＝0经二阶矩阵变换后的图形的方程．
热点考向三 矩阵乘法的几何意义
【例3】求曲线x2＋y2＝1，依次经过矩阵A＝，B＝变换作用下得到的曲线方程．
【变式3】求出曲线x2＋y2＝1依次经过矩阵A＝，B＝作用下变换得到的曲线方程．
一、填空题
1．直线2x＋y－1＝0经矩阵M＝的变换后得到的直线方程为 .
2．在某个旋转变换中，顺时针旋转所对应的变换矩阵为 .
3．在矩阵变换下，点A(2,1)将转换为________，这是一种________变换．
4．已知B＝，C＝，并且(AB)C＝，则矩阵A＝________.
5．有一矩阵对应的变换把图中△ABO变成△A′B′O，其中点A的象点为A′，点B的象点为B′，则该矩阵为________．
6．设a，b∈R，若矩阵A＝将直线l：x＋y－1＝0变为直线m：x－y－2＝0，则a，b的值为________．
7．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(－1,2)，C(0,3)，则△ABC在矩阵 作用下变换所得到的图形的面积为________．
8．设△OAB的三个点坐标为O(0,0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩阵M＝对应的变换下作用后形成△OA′B′，则△OAB与△OA′B′的面积之比为________．
二、解答题
9．正知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
10．设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程．
11．已知矩阵M＝和N＝，求证：MN＝NM.
12．已知梯形ABCD，其中A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，D(1,2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.
(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.
(2)求点A，B，C，D在TM作用下所得到的结果．第1讲 线性变换与二阶矩阵
1．矩阵的逆矩阵
(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．
(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．
(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A－1.
2．二阶行列式与方程组的解
对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A＝＝ad－bc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为
3．矩阵特征值、特征向量的相关概念
(1)定义：设矩阵A＝，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．
(2)一般地，设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．
(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
(4)设矩阵A＝，称f(λ)＝ 为矩阵A的特征多项式，方程 ＝0为矩阵A的特征方程．
4．特征向量的应用
(1)设A是一个二阶矩阵，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*)．
(2)性质1　设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.
1．矩阵的逆矩阵是 .
答案：
2．若矩阵可逆，则k的值不可能是 .
答案：
3．若矩阵A＝不可逆，则实数a的值为________．
解析：由题意|A|＝
＝2×(a＋1)－1×(1－a2)＝a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.
答案：－1
4．对任意实数x，矩阵总存在特征向量，则m的取值范围是________．
解析：由条件得f(λ)＝
＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m)
＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0有实数根，
所有Δ1＝(x＋2)2－4(2x＋m2＋m－6)≥0对任意实数x恒成立，
所以Δ2＝16＋4(4m2＋4m－28)≤0，
解得m的取值范围是－3≤m≤2.
答案：－3≤m≤2.
5．已知矩阵M的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e1＝，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝.则矩阵M＝________.
解析：设M＝，则 ＝8＝，
故 ＝2＝，
故联立以上两个方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.
答案：
热点考向一 求逆矩阵
【例1】求矩阵A＝的逆矩阵．
【解析】　法一：设矩阵A的逆矩阵为，则 ＝，即＝，故且
解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，
从而矩阵A的逆矩阵A－1＝.
法二：∵A＝，∴detA＝－1.
∴A－1＝＝.
【点评】方法一是待定系数法；方法二是公式法．
【变式1】已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)、Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)、Q1(0,5)．
(1)求变换矩阵A；
(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1：如不可逆，请说明理由．
【解析】　(1)假设所求的变换矩阵A＝，依题意，可得 ＝及 ＝，
即解得：
所以所求的变换矩阵A＝
(2)∵detA＝2×2－(－1)×1＝5，
∴A可逆A－1＝＝.
热点考向二 利用矩阵解二元一次方程组
【例2】(1)求矩阵A＝的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组
【解析】　(1)法一：设矩阵A的逆矩阵为A－1＝，则由 ＝，
知解之得∴A－1＝.
法二：∵A＝，∴|A|＝4－3＝1，∴A－1＝＝.
(2)二元一次方程组的系数矩阵为A＝，由(1)知A－1＝.
因此方程有唯一解＝A－1.∴＝ ＝.
即
【点评】　二元一次方程组(a1，b1不同时为零，a2，b2不同时为零)的系数矩阵为A＝，只有当|A|≠0时，方程组有唯一解A－1，若|A|＝0，则方程组有无数解或无解．
【变式2】用矩阵方法求解二元一次方程组
解析：原方程组可以写成 ＝，
记M＝，
其行列式＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，∴M－1＝.
∴＝M－1＝，即方程组的解为
热点考向三 矩阵的特征值与特征向量
【例3】给定矩阵A＝，B＝.(1)求A的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A4B.
【解析】(1)设A的一个特征值为λ，由题意知：＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，
解得λ1＝2，λ2＝3，
当λ1＝2时，由 ＝2，得A属于特征值2的特征向量α1＝；
当λ2＝3时，由＝3，得A属于特征值3的特征向量α2＝
(2)由于B＝＝＋＝α1＋α2.故A4B＝A4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝＋＝.
【点评】　求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量．请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便．
【变式3】已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
解析：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，
即c＋d＝6；
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝，
可得 ＝，即3c－2d＝－2，
解得，
即A＝.A的逆矩阵是.
一、填空题
1．已知A＝可逆，则实数a的取值范围是 .
解析：矩阵A可逆当且仅当det(A)≠0，即6－3a≠0，∴a≠2，∴a的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)
2．设矩阵M＝，则矩阵M的特征向量可以是 .
解析：矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝λ2－1.由于f(λ)＝0得矩阵M的特征值为：λ1＝1，λ2＝－1.经计算可得，矩阵M属于特征值λ＝1的一个特征向量为，而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为.
答案：
3．设可逆矩阵A＝的逆矩阵A－1＝，则a＝________，b＝________，c＝
________.
解析：由AA－1＝E得：＝，即解方程组得a＝2，b＝－，c＝.
答案：2　－　
4．已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕
原点作顺时针旋转________的旋转变换．
解析：因为方程组的矩阵形式是：＝，它是把向量绕原点作逆时针旋转变换得到，所以解方程组就是把向量绕原点作顺时针旋转的旋转变换．
答案：
5．A＝，则A－1＝________.
解析：A＝＝，∵|A|＝×－×＝1≠0.
∴A－1＝.
答案：
6．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a→1，b→2，…，z→26，双
方约定的矩阵为，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为________．
解析：因为A＝，所以det A＝＝2≠0，所以A－1＝，而密码矩阵为B＝，
故明码矩阵X＝A－1B＝＝，对应信息为“good”．
答案：good
7．矩阵M＝的特征值与特征向量分别为________．
解析：由＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－)＝λ2－2λ－8＝0，得矩阵M的特征值为λ1＝4，λ2＝－2.
设属于特征值λ1＝4的特征向量为，则它满足方程(λ1＋1)x＋(－2)y＝0，即5x－2y＝0.故可取为属于特征值λ1＝4的一个特征向量．
设属于特征值λ2＝－2的特征向量为，同理可得x＋2y＝0.故可取为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．
综上所述，矩阵M＝有两个特征值λ1＝4，λ2＝－2，属于λ1＝4的一个特征向量为α1＝；属于λ2＝－2的一个特征向量为α2＝.
答案：λ1＝4，α1＝和λ2＝－2，α2＝
8．已知矩阵A＝，B＝，则满足方程AX＝B的二阶矩阵X＝________.
解析：∵A＝，∴|A|＝＝2×3－(－1)×(－4)＝2≠0.
∴A－1＝.∵AX＝B，∴X＝A－1B，∴X＝＝.
答案：
二、解答题
9．已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.
解析：AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1而A－1AXB·B－1＝EXBB－1
＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1因为A－1＝，B－1＝，
所以X＝A－1CB－1＝ ＝ ＝.
10．已知矩阵A＝.(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵An.
解析： (1)矩阵A的特征方程为＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0.
得矩阵A的特征值为λ1＝8，λ2＝2.
当λ1＝8时，A属于λ1的特征向量为α1＝；
当λ2＝2时，A属于λ2的特征向量为α2＝.
(2)设An＝ Anα1＝8nα1，Anα2＝2nα2，即 ＝ ＝，
即解得a＝，b＝，c＝，d＝.
故An＝.
11．给定矩阵M＝，N＝，向量α＝.
(1)求证：M和N互为逆矩阵；
(2)求证：向量α同时是M和N的特征向量；
(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值．
解析：(1)证明：因MN＝ ＝，
且NM＝ ＝，所以M和N互为逆矩阵．
(2)证明：因为Mα＝ ＝，所以α是N的特征向量．
因为Nα＝ ＝，所以α是N的特征向量．
(3)由(2)知，M对应于特征向量的特征值为1，N对应于特征向量的特征值也为1，
故1是矩阵M和N的一个公共特征值．
12．(2011年福建)设矩阵M＝(其中a>0，b>0)
①若a＝2，b＝3，求M的逆矩阵M－1；
②若曲线C：x2＋y2＝1，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线
C′：＋y2＝1，求a，b的值．
解析：①设M－1＝，则MM－1＝又M＝，∴ ＝.
∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1.即x＝，y1＝0，x2＝0，y2＝.∴M－1＝.
②设C上任一点P(x，y)，在M作用下得点P′(x′，y′)则 ＝，∴
又点P′(x′，y′)在C′上，所以＋y′2＝1.即＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又C的方程为x2＋y2＝1，∴又a>0，b>0，所以