圆

5.1 圆
【知识梳理】
知识点1：圆的定义
动态定义——如右图，把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
静态定义——圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
【例1】为什么车轮做成圆形？车轮能否做成正方形或长方形？
知识点2：点与圆的位置关系
如果圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么
点在圆内 点P在圆O内 d点在圆上 点P在圆O上 d=r
点在圆外 点P在圆O外 d>r
（1）利用点到圆心距离d与r的数量关系即可确定点与圆的位置关系；反之利用点与圆的位置关系，也能确定d与r的数量关系。这体现了“数”与“形”的结合思想。
（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。
【例2】已知圆O的半径r=3cm，P为线段OA的中点，当OA=8cm时，点P与圆O的位置关系是_____________.
技巧归纳：判断点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离，再与圆的半径r比较大小。
【变式】已知圆O的直径为10cm，点A与圆心O的距离为3cm，则点A与圆O的位置关系是（ ）。
A 点A在圆O内 B 点A在圆上 C 点A在圆外 D 不能确定
知识点3：圆的相关概念
名称 定义 备注
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，记作“弦AB”“弦CD”等。 直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，也就是说弦的定义要比直径的定义涵盖的范围广。
直径 经过圆心的弦叫做直径，记作“直径BC”“直径CD”等。
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示。以A、B为端点的弧记作AB，读作“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 (1)半圆是弧，但弧不一定是半圆。(2)半圆既不是优弧，也不是劣弧。
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 判断角是否是圆心角，首先要看角的顶点是否在圆心上
同心圆 圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆。 圆心重合，半径不同
等圆 能够互相重合的两个圆叫做等圆 同圆或等圆的半径相等
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧的前提必须是在同圆或等圆中，长度相等的弧不一定是等弧
【例3】下列命题中，正确的是（ ）
A 半圆是最大的弧 B 弦是圆上两点间的部分
C 直径是圆中最大的弦 D弧比弦大
【例4】如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=15 ，求∠AOC的度数。
【典例精析】
类型1：点与圆的位置关系在直角三角形中的应用
【例5】如图，已知在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=12，AB=13，CDAB于点D，以点C为圆心，5为半径作圆C，试判断A、D、B三点与圆C的位置关系。
技巧归纳：此题除了要求熟练掌握点与圆的三种位置关系，还要求具有综合处理问题的能力，只要能求出BC、DC、AC三条线段的长度就很容易判断了。
【变式1】已知：矩形ABCD，如图，试说明矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D在同一圆上。
【变式2】定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线
段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段
（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．
类型2：有关距离的分类讨论问题
【例6】若圆O的半径为4，点P到圆O的最短距离为2，则点P到圆O的最长距离是__________。
技巧归纳：本题根据点与圆的位置关系的不确定性考查了分类讨论的思想，同时也考考查了点到圆上的最长距离与最短距离的含义。
【变式】已知平面内点P到圆O上各点的最大距离为10，最小距离为4，则圆O的半径r为多少？
类型3：圆中的动点问题
【例7】如图，AB为圆O的一固定直径，它把圆O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CDAB，∠OCD的平分线交圆O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）
A.到CD的距离保持不变 B.位置不变 C.等分弧BD D.随点C的移动而移动
类型4：同圆的半径相等的应用
【例8】如图，点A、C在小圆O上，点B、D在大圆O上，∠BAO=∠DCO，则线段AB与CD相等吗？为什么？
【误区警示】
【例9】下列说法中正确的是（ ）
A.长度相等的弧是等弧 B.两个半圆是等弧
C.半径相等的弧是等弧 D.直径相等的两个圆是等圆
【链接中考】
【例10】若圆O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与圆O的位置关系是（ ）
A 点A在圆内 B 点A在圆上 C 点A在圆外 D 不能确定
【随堂练习】
1、下列说法中，正确的是（ ）
A.过圆心的线段是直径 B.优弧一定大于劣弧
C.直径是弦，而且是同一圆中最长的弦 D.不同的圆中，就不可能有相同的弦
2、已知圆O的半径为5，A为线段OP的三等分点，当OP=12时，点A与圆O的位置关系是（ ）
A 点A在圆O内 B 点A在圆O上 C 点A在圆O外 D 不能确定
3、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是_____________。
4、如图，在半圆O中，半径OC与直径AB垂直，OE=OF，求证：ＢＤＣＦ。
5、正方形ＡＢＣＤ的边长是１，对角线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ，现以点Ｏ为圆心作圆，若点Ｃ在圆Ｏ外，则半径可能是（　　　　　）
A. B. C. D.1
6、在圆O上有顺次三点A、B、C，若弧AB=弧BC=弧CA，那么△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7、设圆O的半径为2，点P到圆心O的距离OP=m，且m使关于x的方程有实数根，试确定P与圆O的位置关系。
8、如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且角QPN=30度，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会不会受到影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学校受影响的时间为多少秒？5.4 确定圆的条件
【讲授新知】
知识点1：确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆
过一点作圆 过两点作圆 过三点作圆
理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能做出无数个。 经过平面内的两个点A、B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，因此能作出无数多个圆。 经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段AB、BC的垂直平分线的交点O上，以O为圆心，以OA（或OB或OC）为半径可作出经过A、B、C三点的圆，这样的圆只有一个。
图形
提示：（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽略，因为过共线的三点不能作圆。
（2）“确定”一词是指不仅能作出圆，而且只能作出一个圆。
【例1】如图是一个破残的圆轮，李师傅想要再浇铸一个同样大小的圆轮，你能想办法帮李师傅解决这个难题吗？
技巧归纳：（1）根据垂径定理确定圆心。
（2）圆中每一条弦的垂直平分线必过圆心。
知识点2：三角形与圆相接
三角形的外接圆的相关概念及其作法
相关概念 作法 图形
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 分别作边AB、AC的垂直平分线DE、FG，DE与FG相交于点O；以O为圆心，OA为半径作圆。圆O就是所求作的圆。
拓展：（1）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心与各项点的连线段即为外接圆的半径，所以外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。
（2）类似地，如果一个四（n）边形的四（n）个顶点都在同一个圆上，那么这个圆称为这个四（n）边形称为这个圆的内接四（n）边形。
（3）人已死一个三角形有且只有一个外接圆，而任意一个四边形不一定有外接圆。一个圆有无数个内接三角形和内接四边形。
【例2】在Rt△ABC中，∠C=90 ，两直角边AC和BC的长分别是6和8，求Rt△ABC外接圆的面积。
技巧归纳：可以勾股定理及直角三角形外心的特点解题时，一定要分清斜边和直角边。
【典例精析】
类型1：三角形的外心与平面直角坐标系的结合
【例3】如图，直角坐标系中一条圆弧经过点A（0,4）、B（4,4）、C（6,2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
（2,1） B.（2,0） C.（3,2） D.无法确定
类型2：三角形外接圆与垂径定理的结合
【例4】如图，圆O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24.求圆O的半径。
类型3：三角形外接圆与方程
【例5】三角形的两边分别为6、8，第三边长是方程的根，求这个三角形外接圆的半径。
类型4：分类讨论思想在确定圆中的应用
【例6】一个平面内有4个点A、B、C、D，那么这四个点可以确定多少个圆？
【误区警示】
【例7】如图，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60 .试说明△ABC的外接圆半径等于CB。
【链接中考】
【例8】如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0,2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45 ，则点P的坐标为____________。
【例9】如图，△ABC的三个点顶的坐标分别为A（-1,3）、B（-2，-2）、C（4，-2），则△ABC外接圆半径的长度为______________。
【随堂练面上有A、B、C三点，若经过这三点画圆，则可画（ ）
A.1个 B.2个 C.0个或1个 D.无数个
图中△ABC外接圆的圆心坐标是_______________。
如图，圆O是△ABC的外接圆，∠C=30 ，AB=2cm，则圆O的半径为___________cm。
如图，已知圆O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则圆O的半径为_________cm。
如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB//OC。
求证：AC平方∠OAB；
过点O作OEAB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30 ，求PE的长。
如图，在△ABC的外接圆中，D是弧BC的中点，AD交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F。
试写出图中一组相似三角形；
求证：。5.6 圆与圆的位置关系
【讲授新知】
知识点1：圆与圆的位置关系
位置关系 定义描述 图形
相离 外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内含的一种特例
相切 外切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点
内切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点
相交 两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交
【例1】如图，在12×6的网格中（每个小正方形的边长均为1个单位），圆A的半径为1，圆B的半径为2，要使圆A与静止的圆B相切，那么圆A由图示位置需要向右平移_______个单位。
知识点2：两圆的位置与半径、圆心距之间的关系
设两圆之间的半径分别为和(<)，圆心距（两圆圆心的距离）为d，列表：
两圆的位置 图形 公共点个数 数量关系 用直线描述
外离 无
外切 1
相交 2
内切 1
内含 无
【例2】已知两圆的半径分别是方程的两根，圆心距是方程的一个根，则两圆的位置关系是_____________。
【变式】已知两圆的半径之比为4:3，当两圆外切时，圆心距为21，当两圆内切时，圆心距设为d，则（ ）
d=4 B. 3知识点3：两圆相切与相交的性质
两圆的对称性
圆与圆的五种位置关系都是周对称图形，通过两圆圆心的直线（连心线）是它们的对称轴。
两圆相切的性质
如图两圆相切，那么两圆的连心线经过切点，即两个圆的圆心、切点三点共线。
提示：要正确区别连心线和圆心距，连心线是通过两圆心的一条直线，圆心距是指两个圆圆心之间的线段的长度，显然两个圆圆心的连线（线段）一定在连心线（直线）上。
两圆相交的性质
连心线垂直平分相交两圆的公共弦。如图，直线垂直平分弦AB。
提示：（1）相交两圆的“连心线垂直平分两圆的公共弦”可以由圆的轴对称性推导出来。
（2）在解有关两圆相交的问题时，常作出连心线、公共弦或连接交点与圆心，从而把圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到直角三角形中，可用直角三角形有关知识来解决。
【例3】已知两个等圆圆和圆相交于A、B两点，如图，圆经过点，求∠AB的度数。
【典例精析】
类型1：两圆位置关系和平面直角坐标系的结合
【例4】在直角坐标系中，圆O的圆心在原点，半径为3，圆A的圆心A的坐标为（-，1），半径为1，求圆O与圆A的位置关系。
类型2：用圆与圆的位置关系解决实际问题
【例5】要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形板凳，怎样才能截出直径最大的凳面？最大直径是多少厘米？
类型3：公共弦的分类讨论问题
【例6】已知圆的半径为15，圆的半径为13，圆、圆交于A、B两点，且AB=24.求两圆的圆心距。
【误区警示】
（1）相交两圆公共弦可能在圆心同侧也可能在异侧，计算时要特别注意。
（2）两圆相切分外切和内切两种，相离分为外离与内含两种，考虑问题必须要全面，防止漏解。
明确圆与圆的五种位置关系，尤其是外离与内含，外切与内切一定要区分明白。
【例7】圆O的半径为3cm，点M是圆O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与圆O相切的圆的半径是___________cm。
【链接中考】
【例8】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平方∠ACB。
试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积。
【随堂练习】
两圆外切，圆心距为16cm，且两圆半径之比为5:3，那么较小圆的半径是（ ）
A. 3cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm
已知圆与圆的半径是方程的两根，且=0.5，则圆与圆的位置关系是____________。
圆和圆相交于A、B两点，公共弦长16cm，两圆的半径分别是10cm、17cm，则两圆的圆心距的长为______________。
矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以点A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是______________。
圆心都在x轴上的两圆相交于A、B两点，已知A的坐标为（-3,4），则点B的坐标为________。
如图，圆O的半径为2R，圆和圆的半径为R，则圆的半径r=___________。
如图，大半圆O与小半圆相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点E，且AB//CD，AB=4cm，求阴影部分的面积。5.3 圆周角
【讲授新知】
知识点1：圆周角
定义及特征
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
特征：（1）顶点在圆上
（2）两边分别与圆有两个交点
圆心角与圆周角的区别及联系
圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心处 顶点在圆上
一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个
联系 两边都有圆相交
【例1】图中哪些角是圆周角？
知识点2：圆周角的性质
性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
推论：直径（或半径）所对的圆周角是直角。90 的圆周角所对的弦是直径。
拓展引申：（1）若将“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，则结论不成立。因为一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。
结论“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”成立，但前提条件是“在同圆或等圆中”，缺少这个前提条件，结论不一定成立。
由于圆心角的度数与它所对弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
【例2】如图，AB是圆O的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50 ，求∠A的度数。
【变式】如图，AB是圆O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60 ，∠ADC=50 .求∠CEB的度数。
技巧归纳：求圆中有关角的度数，经常利用“同弧所对的圆周角相等”或“直径所对的圆周角是直角”来转化。
【变式】如图，∠BAC=45 ，BC=5cm，求圆O的半径。
【典例精析】
类型1：圆周角与平面直角坐标系
【例4】如图，已知CO、CB是圆O’的弦，圆O’与直角坐标系的x轴、y轴相交于点B、A，若∠COB=45 ，∠OBC=75 ，A点坐标为（0，2），求圆O’的直径。
类型2：与圆周角有关的定值问题
【例5】如图，A、B、C三点都在圆O上，AE是圆O的直径，AD是△ABC的高，圆O的半径R=4，AD=6，试说明AB●AC的值是一个常数。
类型3：有关圆周角的分类讨论题
【例6】在半径为1的圆中，弦AB、AC的长分别为和，求∠BAC的度数。
技巧归纳：（1）对于无图题，在画图时要分类讨论，慎重考虑，防止漏解。
（2）运用垂径定理，可以将弦长的一半、圆的半径以及圆周角有机结合在一个直角三角形中。
类型4：利用圆周角的性质处理线段大小关系
【例7】如图，BC为圆O的直径，ADBC于点D，P是弧AC上一动点，连接PB，分别交AD、AC于点E、F。
（1）当弧PA=弧AB时，试比较BD与AE的大小，并说明理由。
（2）当点P在什么位置时，AF=EF？并说明理由。
【例8】在半径为5cm的圆O内有长为5cm的弦AB。求此弦所对的圆周角。
【误区警示】
【例9】在半径为5cm的圆O内有长为5cm的弦AB。求此弦所对的圆周角。
【链接中考】
【例9】如图，AB是圆O的直径，CD//AB。若∠ABD=65 ，则∠ADC=__________。
【随堂练习】
如图，AB是圆O的弦，ODAB于点D，交圆O与点E，则下列说法错误的是（ ）。
A AD=BD B ∠ACB=∠AOE C弧AE=弧BE D OD=DE
半径为6的圆中，120 的圆周角所对的弦长等于（ ）。
A 4 B 10 C 8 D 6
如图，圆O的半径为1，AB是圆O的一条弦，且AB=，则弦AB所对两个圆周角的度数之和为_____________。
如图，在圆O中，∠BAC=∠ADB=60 ,AC=,则弦AB所对两个圆周角的度数之和是_______.
如图，在△ABC中，ADBC于点D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：∠BAE=∠CAD。
如图，△ABC中的三个顶点都在圆O上，AB=BC，∠ABC=120 ，AD为圆O的直径，AD=6，那么BD=_____________。
如图，C为半圆上一点，弧AC=弧CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE交PC于D，交CB于F。求证：AD=CD。5.5 直线与圆的位置关系
知识点1：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图形
定义 直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离
公共点个数 2 1 0
圆心到直线的距离d与半径r的关系 dr
公共点名称 交点 切点 无
直线名称 割线 切线 无
提示：圆心到直线的距离是指通过圆心向直线所作的垂线段的长度，这个距离是点到直线的距离。在判断点与圆的位置关系时用到的距离是点与点之间的距离，要注意这两个距离的不同。
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？
r=4cm （2）r=4.8cm （3）r=6cm
技巧点拨：判定直线与圆的位置关系有两种方法：一是定义；二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系。
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=3，BC=4，CD为斜边AB上的高，设以点C为圆心的圆的半径为r。若r=1，圆C随着圆心从点C沿直线CA方向移动，设移动后的圆心为点P，问当点C移动多大距离时与直线AB相切。
知识点2：切线的判定定理
定理 文字语言 数字语言
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 如右图，直线lOA于点A，OA是圆O的半径，则直线l是圆O的切线
拓展引申：
“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
圆的切线的判定方法：
①定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
②数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
③定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。
【例2】如图，线段AB经过圆心O，交圆O于点C，∠A=∠ABD=30 ，边BD交圆O于点D，BD是圆O的切线吗？为什么？
【变式】如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30 ，求证：DC是圆O的切线。
知识点3：切线的性质定理
切线的性质定理
定理 文字语言 数字语言
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 直线l切圆O于点A，则lOA于点A
切线的性质
切线和圆只有一个公共点；
切线到圆心的距离等于圆的半径；
切线垂直于过切点的半径；
经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
提示：切线的性质中，①半径；②垂直于；③经过切点，这三个条件只要满足任意两个，则必具备另外一个。其中“半径”也可看作“经过圆心的直线”。
【例3】如图，AB为圆O的切线，B为切点，若∠OAB=30 ，AO=6，则AB=__________。
知识点4：三角形的内切圆
1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。由于三角形角平分线交于一点，因此，只要作出两条角平分线，即可确定三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
如果三角形的内心已知，过三角形顶点和内心的射线平方三角形的内角。
【例4】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=75 ，则∠BOC的度数为__________。
知识点5：切线长的概念及定理
名称 内容 符号语言 图形
切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 直线PA是圆O的切线，A是切点，线段PA的长是点P到圆O的切线长
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平方这两条切线的夹角 因为PA、PB是圆O的两条切线，所以PA=PB，∠APO=∠OPB=∠APB
注意：切线与切线长的区别：切线是直线，不可度量；而切线长是切线上的一条线段的长，可以度量。
拓展引申：如图是切线长定理的一个基本图形，还可以得出很多结论，如，①POAB；②AC=BC；③弧AD=弧BD；④PAOA，PBOB；⑤∠1=∠2=∠3=∠4等。
【例5】如图，P为圆O外一点，PA、PB均为圆O的切线，A和B是切点，BC是直径。
求证：（1）∠APB=2∠ABC；
（2）AC//OP。
【典例精析】
类型1：三角形内切圆与圆心角、圆周角的结合
【例6】如图，圆O内切与△ABC，切点分别为D、E、F，已知∠B=50 ，∠C=60 ，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于_____________。
类型2：直线与圆位置关系的实际应用
【例7】如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（）
类型3：开放型问题
【例8】已知△ABC内接于圆O，过点A作直线EF。
如图1，AB为直径，要是的EF是圆O的切线，还需要添加的条件是_________________（只需写出三种情况）；
如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，试说明EF是⊙O的切线．
规律总结：形如（1）的问题称为条件开放题，解决问题的方法一般是从结论出发，逆向思维，寻找结论成立的条件，试题一般不要求把所有结论成立的条件都写出来。
类型4：有关切线的动点问题
【例9】如图，已知圆O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与圆O相切于点Q。A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动。设运动时间为t s。
求PQ的长；
当t为何值时，直线AB与圆O相切？
类型5：切线与函数的综合
【例10】如图，在直角坐标系中，以（a，0）为圆心的圆O’与x轴交于C、D两点，与y轴交于A、B两点，连接AC。
（1）点E在AB上，EA=EC，求证：AC2=AE AB；
（2）在（1）的结论下，延长EC到F，连接FB，若FB=FE，试判断FB与⊙O′的位置关系，并说明理由；
（3）如果a=2，⊙O′的半径为4，求（2）中直线FB的解析式．
技巧归纳：（1）本题用了数形结合思想、函数思想，运用了坐标、切线、相似三角形、直线与圆的位置关系等知识，有较强的综合性。
（2）本题通过函数思想把代数知识与几何知识融合在一起，除了能灵活考查相关的知识外，更注重与考查分析转化能力、探究能力及用函数的观点探究、解决问题的能力。
【误区警示】
切线长定理的逆命题不成立，所以不能倒过来判定圆的切线，而是利用“有切点，连半径，证垂直”来判定圆的切线。
切线长定理中既有线段的数量关系，还有位置关系，另外还有角的关系，求解、证明时要注意灵活运用。
三角形的内心与外心要注意区分。
【例11】如图，AB是圆O的直径，BC与圆O相切于点B，弦AD//OC，求证：CD是圆O的切线。
【链接中考】
【例12】如图，点O在∠APB的平分线上，圆O与PA相切于点C。
求证：直线PB与圆O相切；
PO的延长线与圆O交于点E。若圆O的半径为3，PC=4，求弦CE的长。
【随堂练习】
在平面直角坐标系中，以点（2,3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
与x轴相离、与y轴相切 B. 与x轴、y轴都相离
C. 与x轴相切、与y轴相离 D. 与x轴、y轴都相切
如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，DC切圆O于点C，若∠A=25 ，
∠D=___________。
圆O的半径为6，一条弦AB长为6，以O为圆心，3为半径的圆与直线AB的位置关系是______________。
已知点P是半径为2的圆O外一点，PA是圆O的切线，切点为A，且PA=2，在圆O内作出长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为___________。
如图，PA、PB且圆O与点A、B，点C是圆O上一点，且∠ACB=65 ，求∠P的度数。
已知AB是圆O的直径，AP是圆O的切线，A是切点，BP与圆O交于点C。
如图（1），若AB=2，∠P=30 ，求AP的长（结果保留根号）；
如图（2），若D为AP的中点，求证：直线CD是圆O的切线。
如图，Rt△ABC中，∠C=90 ，BC=5。圆O内切于Rt△ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，圆O的半径r=2.求△ABC的周长。5.2 圆的对称性
【讲授新知】
知识点1：圆的对称性
圆的对称性从中心对称性、旋转不变形、轴对称形三方面进行考虑：
中心对称性 —— 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
旋转不变形 —— 一个圆绕圆心旋转任何角度后，与它自身重合
轴对称形 —— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称
轴，对称轴有无数条
圆的中心对称性是其旋转不变性的特殊情况。
不能说直径是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，而不是线段。
采用旋转的方法研究中心对称图形，采用折叠的方法研究轴对称图形。
【例1】如图是由一个圆和一个矩形组成的图形，要求画一条直线，同时把圆与矩形的面积等分，应如何分割？请保留作图痕迹。
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
提示：（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢失这个条件，虽然圆心角相等，但其所对应的弧、弦不一定相等。
（2）在同圆或等圆中“弦相等弧相等”，应强调“弦所对的弧”是指“同为优弧”或“同为劣弧”。
圆心角的度数与弧的度数的关系
将顶点在圆心的圆周角等分成360份，每一份的圆心角是1 的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把1 的圆心角所对的弧叫做1 的弧。
一般地，n 的圆心角对着n 的弧，n 的弧对着n 的圆心角。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
【例2】如图，AB、CD是圆O的两条直径，CE//AB。求证：弧BC=弧AE。
技巧归纳：在同圆中，要证弧相等，可考虑证明这两条弧所对的弦相等或所对的圆心角相等。
【变式】如图，以圆O的直径BC为一边作等边三角形ABC，AB、AC分别交圆O于D、E两点，求证：BD=DE=EC。
【例3】如图，△AOB中，∠AOB=90 ，∠B=26 ，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C。求弧AC的度数。
【例4】如图，在圆O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60 .求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。
技巧归纳：利用圆心角、弧、弦、弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系可实现线段与弧、线段与角、弧与角之间的转化。
知识点3：垂径定理
内容 表示形式 图形
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 直径CD弦AB，垂足为M，
拓展引申：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其余三个：①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧。
【例5】如图，圆O中，弦AB的长为12cm，圆心O到AB的距离为8cm，则圆O的半径为（ ）。
A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm
技巧点拨：在运用垂径定理解题过程中，常用辅助线是半径或垂直于弦的直径，构造出运用垂径定理的条件，结合勾股定理进行有关计算。
【变式】如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为____________cm。
【典例精析】
类型1：运用圆心角、弧、弦之间的关系判断四边形的形状
【例6】如图，在圆O中，AB、DE为圆O的直径，C是圆O上一点，且弧AD=弧CE，BE与CE的大小有什么关系？为什么？如果∠BOE=60 ，那么四边形OACE是什么形状？
类型2：垂径定理与定值问题
【例7】如图，圆O的直径AB=15，有一条定长为9的动弦CD在弧AMB上滑动。点C和点A，点D和点B都不重合，且CECD交AB于点E，DFCD交AB于点F。
求证：AE=BF。
在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由。
类型3：垂径定理中的分类讨论
【例8】已知圆O的半径为10cm，弦AB//CD ,AB=12cm,CD=16cm,求AB和CD之间的距离。
技巧归纳：此题中没有给出图形，圆又是中心对称图形和轴对称图形，所以AB和CD与圆心O的位置关系不定，故要分类讨论。
类型4：垂径定理在生活中的应用
【例9】如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面（AB）的宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这座拱桥，此货船能顺利通过吗？
【误区警示】
【例10】如图，在圆O中，劣弧AB=2弧CD，则弦AB与CD的大小关系为（ ）
A AB>2CD B AB=2CD C AB<2CD D 不能确定
【链接中考】
【例11】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10,0），点B的坐标为（8,0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标。
【随堂练习】
如图，AB、AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论不一定正确的是（ ）
A 弧AB=弧DB B 弧BD=弧CD C BCAD D ∠B=∠C
如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O则折痕AB的长为（ ）
A 2cm B cm C 2cm D 2
圆心到圆的两条平行弦的距离分别为2和5，则两条平行弦之间的距离为（ ）
A 2 B 3 C 7 D 7或3
如图，D、E分别是圆O的半径OA、OB上的点，CDOA，CEOB，CD=CE，问弧AC与弧CB的大小关系，并说明你的理由。
如图，已知PB与圆O交于点A，PO与圆O交于点C，且PA=AB=6，PO=12.
求圆O的半径；
求△PBO的面积（结果可带根号）。
6、如图，已知圆O的直径为4cm，M是劣弧AB的中心，MN为弦，且MN=2cm，MN与AB相交于点P，求∠APM的度数。5.8 弧长及扇形的面积
知识点1：弧长公式
圆周长
圆周长C与半径R之间有如下关系：C=2R。这里=3.14159…是圆的周长与直径的比值。这个无限不循环小数叫做圆周率。
弧长的计算公式
公式：在半径为R的圆中，n 的圆心角所对的弧长l的计算公式为：.
推导过程：因为360 的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R，所以1 的圆心角所对的弧长是圆周长的，即，所以n 的圆心角所对的弧长为.
【例1】挂钟分针长10cm，经过15分钟，它的针尖划过的弧长为__________cm。
技巧归纳：分针1小时（60分钟）走过360 ，时针1小时走过30 .
【变式】如图，以O为圆心的同心圆，大圆的半径OA、OB分别交小圆于点C、D。弧CD长为8，弧AB长为12，AC=12。求∠AOB、小圆半径r和大圆半径R。
知识点2：扇形的面积公式
概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形。
面积：已知半径R和圆心角n ，则
已知弧长l和半径R，则
周长：已知弧长l和半径R，
提示：（1）面积公式中与弧长公式中的n一样，应该理解为1 的倍数，不带单位。
（2）已知半径R和圆心角的度数n，求扇形的面积时，选用公式；已知弧长l和半径R，求扇形面积时，选用公式。
（3）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形、l、n、R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个。
【例2】已知扇形的面积为6cm2，其所在圆的半径为6cm，求此扇形的圆心角和弧长。
【变式】若扇形的弧长为4 cm，半径为12cm，则扇形的面积为___________cm2，圆心角为_______________。
【例3】如图，在同心圆中，两圆半径分别为2和1，∠AOB=120 ，则阴影部分的面积为______________。
【典例精析】
类型1：应用弧长公式求角度
【例4】一个滑轮装置如图，滑轮的半径是10cm，当重物上升15cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为____________。
类型2：应用弧长公式解决实际问题
【例5】在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊．其半径为10km，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，下面有两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短．
类型3：扇形面积中的整体计算
【例6】如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（　　）
A．π B．1.5π C．2π D．2.5π
规律总结：此题采用化零为整的方法，将五个扇形作为一个整体来求解。同时体现了转化思想，将多边形内角度数转化为扇形圆心角度数，解法巧妙。
类型4：应用扇形面积公式解决生活问题
【例7】如图，有一把折扇和一把团扇，已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120° ，问哪一种扇子的面积大，从而得到的风量也大。
类型5：应用扇形面积公式求不规则图形的面积
【例8】如图，AB为半圆O的直径，C、D是弧AB上的三等分点。若圆O的半径为2，E为线段AB上的任意一点，求图中阴影部分的面积。
【例9】如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刮刷，如果AO=65cm，CO=15cm，当AC绕点O顺时针旋转90 时，求挂雨刷AC扫过的面积。
规律总结：（1）求解不规则图形面积时，一般不能直接利用公式求解。常用的方法有①割补法；②拼凑法；③等积变形法；④迁移变换法；⑤构造方程法。其中前4种方法的基本思想都是将不规则图形转化为规则图形（可直接求面积的图形，比如三角形、特殊四边形、圆、扇形、弓形）或规则图形的和、差进行求解。
（2）在等积变形中，可根据①平移、旋转或周对称等图形变换；②同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化。
类型6：应用方程思想求不规则图形的面积
【例10】如图，正方形ABCD中，有一个以正方形的中心为圆心，以边长的一半为半径的圆，分别以A、B、C、D为圆心，以边长的一半为半径画四条弧，若正方形边长为2a，求所围阴影部分的面积。
类型7：开放探究题
【例11】如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90 .曲线CDEF…叫做等腰三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF…的圆心依次按A，B，C循环．如果AC=1，求曲线CDEF和线段CF围成图形的面积。
拓展引申：“渐开线”是由若干条弧按照一定的规律组成的，而弧的形成事实上来自于以不同的点为圆心和不同的长度为半径的旋转，因此，在解决“渐开线”问题时，要注意旋转的中心和半径，利用弧长公式或扇形的面积公式进行计算。
【误区警示】
在求阴影部分面积时，不会运用“割补法”或“整体法”解题，导致出错。
求解弧长和扇形面积易找错圆心角。
【例12】如图，扇形OAB的圆心角为90 ，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，5.7 正多边形与圆
知识点1：正多边形与圆
正多边形的定义
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的外接圆
我们可以借助量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
注意：“各边相等”与“各角相等”是正多边形的两个特征，缺一不可。
【例1】下列说法正确的是（ ）
平行四边形是正四边形 B. 矩形是正四边形
C. 菱形是正四边形 D. 正方形是正四边形
知识点2：正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形，如果有偶数条，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
【例2】下列的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？是轴对称图形的，画出对称轴；是中心对称图形的，找出对称中心。
知识点3：画正多边形
正多边形的画法与等分圆周有关，要作正n边形，只需把圆n等分，然后顺次连接各分点即可。具体做法有两种：
用量角器等分圆，可以画任意正多边形，这是近似画法。具体地说，先计算出顶点在圆心角的度数，即正n边形的中心角为，然后依次用量角器将圆n等分，顺次连接各分点，就画出正n边形。
用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：①先画出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就画出正方形；②用圆规从圆上一点起顺次截取等于半径的弦，将圆六等分，顺次连接各分点，就画出正六边形。
【例3】如图，已知圆O和圆O上的一点A，求作圆O的内接正八边形ABCDEFGH。
【典例精析】
类型1：正多边形密铺地面问题探索
【例4】阅读下面的一段文字，回答问题。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个圆周时，就拼成了一个平面图形，如正六边形的每个内角为120 ，三个120 拼在一起恰好组拼成周角，所以全部用正六边形瓷砖就可以铺满地面。
全用一种任意三角形瓷砖为什么可以铺满地面？
全用一种任意四边形瓷砖为什么可以铺满地面？
全用正五边形瓷砖为什么不可铺满地面？
设计出由四个多边形铺满地面的方案。
类型2：与正多边形及圆有关的计算题
【例5】如图，两正方形彼此相邻内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为_______________。
类型3：探究正五边形的有关性质
【例6】如图，圆O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点M。
请你仔细观察图像，并直接写出图中的所有的等腰三角形；
求证：BM2=BE●ME。
规律总结：圆内接正五边形是一个典型图形，它与一元二次方程、三角形相似有着密切联系，经常综合其他知识出题。
类型4：规律探究题
【例7】如图，M、N分别是圆O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON。
试求图①中∠MON的度数；
（2）猜想图②中∠MON的度数是__________，图3中∠MON的度数是__________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
【误区警示】
判定正多边形时误认为只要满足“各边相等”、“各角相等”中的一个条件即可。
【例8】各角相等的多边形一定是正多边形。（ ）
【链接中考】
【例9】如图，圆内接三角形ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为圆O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G。
（1）求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的；
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的。
【随堂练习】
现有四种地板砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等。同时选择其中两种地板砖密铺地面，选择的方式有________种。
正六边形的对称轴有__________条。
一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过___________mm（保留根号）。
如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为___________。
作外接圆半径为1cm的正四边形。
将一个边长为a的正方形硬纸板减去四角，使它成为正八边形，则正八边形的面积为______________。
如图，已知△ABC是圆O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36 ，弦BD、CE分别平方∠ABC、∠ACB。求证：五边形AEBCD是正五边形。