5.3.2.1函数的极值 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
5.3.2.1函数的极值
新课程标准解读 核心素养
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观地理解函数的极值与导数的关系． 2.掌握函数极值的判定及求法． 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 1．数学抽象：函数极值的概念．
2．数学运算、函数极值的求解．
情境导入
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点．
在数学上，这种现象如何来刻画呢？
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律
a
b
t
h
O
放大t=a附近的图像，可以看出
h'(t)=0，
当t0;
当t>a时,函数h(t)单调递减,h'(t)<0
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小，f '(d)=0.左侧f '(x)<0，右侧f '(x)>0，
函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附近其他点的函数值都大，f '(e)=0.左侧f '(x)>0，右侧f '(x)<0，
函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;并把x0称为函数f(x)的一个极大值点;
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；
(5)单调函数一定没有极值．　
探究点1　求函数的极值(点)
例1　(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
o
x
y
1
2
(1)由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0，则函数f(x)有极小值f(2)，
－2
函数的定义域为R. f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
当x＝0时，f(x)有极小值0.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 极大值
故当x＝e时函数取得极大值，
函数的定义域为R.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 极小值 极大值
当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
探究点2　含参数的函数极值问题
角度一　含参数的函数极值求法
例2若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
(2)当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
当0a时，f′(x)>0.
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．　　
求函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的极值．
解：f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，
当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；
当a>0时，令f′(x)＝0，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ ) － (－ ， ) ( ，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值f(－ ) 单调递减 极小值f( ) 单调递增
角度二　已知函数的极值求参数值或范围
例3(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(　　)
A．4或－3　　　　　　　 B．4或－11
C．4 D．－3
(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故函数f(x)单调递增，无极值，不符合题意
令f′(x)<0，得0令f′(x)>0，得x>1.f(x)在x＝1处取极小值．
必有一个正数解x＝－a，
①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．
②若a≠－1，此正数解为x≠1，f′(x)＝0必有2个不同的正数解，f(x)存在2个极值．综上，a＝－1，
1．已知函数的极值求参数
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解；
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
2．对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．　
由题意知f′(1)＝2＋a＝0.解得a＝－2，故f(x)＝2ln x－2x，x>0，
令f′(x)<0，得x>1，故f′(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x＝1是极大值点，符合题意
2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，由题意知方程ex＋a＝0有大于零的解．
∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
探究点3　利用导数研究方程根(函数零点)的问题
例4已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
o
x
y
1
－1
解得－2利用导数研究方程根(函数零点)的问题的步骤
(1)利用导数判断函数的单调性；
(2)研究函数的极值情况；
(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；
(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数．若含有参数，则需要讨论极值的正负．
给定三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f′(x)＝0的根的判别式，有以下结论：
(1)当Δ＝4(b2－3ac)＞0时，有两个极值点；
当Δ＝4(b2－3ac)≤0时，无极值点．
(2)函数f(x)的图象存在水平切线，则f′(x)＝0有实数解，从而Δ＝4(b2－3ac)≥0；
(3)函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4(b2－3ac)≤0.
已知函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范围是 (　)
A．[－2，2]　　　　　B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，2) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜－1，此时函数单调递增；
由f′(x)＜0，得－1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x＝－1时，函数f(x)取得极大值；当x＝1时，函数f(x)取得极小值．
要使函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，则需满足f(－1)·f(1)＞0，
即(m＋2)(m－2)＞0，解得m＞2或m＜－2.
综上，实数m的取值范围是m＜－2或m＞2.