5.3.2.3导数的综合应用 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
5.3.2.3导数的综合应用
新课程标准解读 核心素养
1.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 2.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题． 1．逻辑推理：利用导数求解和函数相关问题．
2．数学运算：导数的计算．
探究点1　导数与不等式
角度一　利用导数比较大小、解不等式
f′(x)＝1－sin x≥0，所以y＝f(x)在x∈R上单调递增，
又由0.3－1>2－0.3>log20.2，可得f(0.3－1)>f(2－0.3)>f(log2 0.2)，
(2)(2021·安徽省皖江名校联盟联考)函数y＝f(x)，x∈R，f(1)＝2 021，对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2>0成立，则不等式f(x)A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
设h(x)＝f(x)－x3，则h′(x)＝f′(x)－3x2>0，所以h(x)在R上单调递增，
h(1)＝f(1)－13＝2 020，
而f(x)即h(x)所以x<1
角度二　证明不等式
因为x>1，所以f′(x)>0，
在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)>f(1)＝ln 1＋1＝1.
对于任意x∈R,ex≥x+1.(当且仅当x=0时等号成立)
设f(x)=ex-x+1，f'(x)=ex-1
x∈(-∞,0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈(0，+∞)时，f(x)单调递增，[f(x)]min=f(0)=0
f(x)≥f(0),即ex-x+1≥0，ex≥x+1.
角度三　不等式恒成立问题
(2021·安徽省皖江名校联盟高三联考)若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在(0，＋∞)上单调递减，则b的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－2，＋∞) D．[－2，＋∞)
f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在(0，＋∞)上单调递减，即f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，
在(0，＋∞)上恒成立，
即b≤(2x2－4x)min，
因为2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，
所以b≤－2，
探究点2　导数与函数的零点
角度一　判断函数零点个数
m∈R，讨论函数g(x)
零点的个数．
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
所以x＝1是φ(x)的唯一极值点且是极大值点．
因此x＝1也是φ(x)的最大值点．
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，
o
x
y

y＝φ(x)
1
函数g(x)有且只有一个零点；
函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
角度二　由零点个数求参数范围
得m＝x ln x－2x，
设g(x)＝x ln x－2x(x>0)，
则g′(x)＝ln x－1，
令g′(x)<0，解得0令g′(x)>0，解得x>e，
所以g(x)＝x ln x－2x在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
o
x
y

e
－e若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
则函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
数k(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，
( )
令k′(x)＝0得x＝2，
k′(x)<0，所以k(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
当x∈(0,2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，
所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为
有两个不同的交点，
方法归纳
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
跟踪训练　若函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围．
g(x)＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，
相当于曲线u(x)＝ex·(x－2)与直线y＝m有两个交点．
u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
所以u(x)在(－∞，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0
所以u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e，又x→＋∞时，u(x)→＋∞；x<2时，u(x)<0，所以－e探究点3　导数在实际问题中的应用
类型一 几何中的最值问题
例6　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，
B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.
将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，水箱的容积最大？
①
③
④
⑤
⑥
②
⑦
(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(2－2x)m，
故水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，令y′＝0，
所以y＝2x3－8x2＋6x(0类型二 生活中的最值问题
命题角度1　利润最大问题
因为当x＝5时，y＝11，
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
由(1)可知，该商品每日的销售量为
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
命题角度2　用料、费用最少问题
例8　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；
设需新建n个桥墩，
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
1
2
x
1
2
-
令f′(x)＝0，得 ＝512，所以x＝64.
x
3
2
x
3
2
当0当640，f(x)在区间(64,640)上为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值.
(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.