5.3.2.2函数的最大（小）值 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
5.3.2.2函数的最大(小)值
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数最值的概念． 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1．数学抽象：函数最值概念．
2．数学运算：求函数最值．
o
x
y
2
3
－2
－3
－3
2
观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：
情境导入
(1)图中所示函数的极值点与极值分别是什么？(2)图中所示函数最值点与最值分别是什么？
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
现实当中常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.
函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？
一、函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
连续不断
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)________ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)________ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
≥
≤
二、求函数的最大值与最小值的步骤
函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值________，________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
极值
f(a)
f(b)
函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念；
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
探究点1　求函数的最值
例1(链接教科书第93页例6)当x∈[－1，1]时，
因为－1≤x≤1，所以2－x>0，当－1≤x<0时，
函数单调递减，
函数单调递增，
故当x＝－1时，函数取得最大值e.
令f′(x)＝0可得x＝e，
则当00，f(x)单调递增，
当e当x＝e时，f(x)取极大值也为最大值，
所以f(x)max＝f(e)＝eln e －e＝0.
因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.
又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，
所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37.
x [－2，0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0
f(x) 极大值
例2已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解：f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
①当a>0时，令f′(x)<0，解得0≤x0，解得x>a.所以f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上递增．所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，令f′(x)<0，
例3已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．
即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，
所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，
所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.
上是增函数，
又f(2)－f(1)＝ln 2－a.
最小值是f(1)＝－a.
当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.
含参数的函数最值问题
(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题；
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．　　
探究点2　不等式恒成立问题
例4设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值，即f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (0，1) 1 (1，2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 单调递增 极大值1－m 单调递减
∴g(t)在(0，2)内有极大值也为最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0，2]，使h(t)<－2t＋m成立”，如何求解？
令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t 0 (0，1) 1 (1，2) 2
g′(t) ＋ 0 －
g(t) －1－m 单调递增 极大值1－m 单调递减 －3－m
∴g(t)在[0，2]上有最小值g(2)＝－3－m，存在t∈[0，2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴－3－m<0，∴m>－3，
∴实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
解析：构造函数g(x)＝exf(x)－ex－1，
则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．
由已知f(x)＋f′(x)＞1，可得g′(x)＞0，所以g(x)为R上的增函数．
又因为g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝0，
即exf(x)＞ex＋1.
故不等式exf(x)＞ex＋1的解集为{x|x＞0}．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值.
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
已知函数f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是__________.
由2xln x≥－x2＋ax－3，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.∴h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤4.