河南省洛阳市第二外国语学校2021-2022学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2020八上·科尔沁期末）以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念：A、C、D都可以沿某一直线折叠后重合，是轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2019八上·花都期中）如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（ ）
A．AD＝AE B．DB＝AE C．DF＝EF D．DB＝EC
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A符合题意；
∴AB-AD=AC-AE，即BD=EC，故D符合题意；
在△BDF和△CEF中
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，故C符合题意；
故答案为：B．
【分析】全等三角形得判定和性质。三角形全等的判定：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.
SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.
ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.
3．（2021八上·嘉祥月考）如图，已知，BD为△ABC 的角平分线，且 BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD、其中正确的有（ )个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】 解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），故①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；
③ 由②得：∠BDC=∠BEA，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠BEA，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EC，故③正确；
④ 没有条件得出AD=CD，故④错误；
故答案为：C.
【分析】 根据角平分线的定义得出∠ABD=∠CBD，再利用SAS得出△ABD≌△EBC，即可判断①正确；
根据角平分线的定义和全等三角形的性质得出∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，即可判断②正确；
证出∠ADE=∠BEA，得出AD=AE，得出AD=AE=EC，即可判断③正确；
没有条件证出AD=CD， 即可判断④错误.
4．（2021八上·河东期末）如图， 是 的角平分线， ， ，将 沿 所在直线翻折，点 在 边上的落点记为点 ．那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．
∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，
∴BD=EC，
∴DE=EC．
∴∠EDC=∠C=20°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．
∴∠B=∠AED=40°
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，然后根据AC=AE+EC，AB+BD=AC，证得DE=EC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
5．（2021八上·洛阳开学考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4，
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AE长，再根据等边三角形的性质求出AC长，然后根据线段的和差关系求出CE长即可.
6．（2021八上·洛阳开学考）如图，，连接.若，，，则的度数为（ ）
A．54° B．63° C．64° D．68°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴AB=AE，∠D=∠C=135°，∠ABC=∠AED=15°，
∴∠CAB=180°–135°-15°=30°，
∵∠EAC=24°，
∴∠EAB=54°，
∴2∠BEA=180°–54°=126°，
∴∠BEA=63°.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AE，求出∠C和∠AED的度数，再根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，从而求出∠EAB，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求∠BEA度数即可.
7．（2021八上·洛阳开学考）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝10，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4，则△PGE的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】B
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：点P是的角平分线OC上一点，，PF的最小值为4，
，
，
的面积，
点G是线段OP的中点，
，
故答案为：B．
【分析】根据点到直线的距离和角平分线的性质定理求出PE长，则可求出△OPE的面积，再利用等底同高三角形面积相等求出△PGE的面积.
8．（2019八上·重庆月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（ ）
A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠ACD＝∠B，由角平分线的定义可得∠CAE＝∠BAF，于是易得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可求解.
9．（2018八上·洛阳期末）如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使点 落在 处的 处，折痕为 .如果 ， ， ，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】如图：
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
10．（2021八上·洛阳开学考）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．下列结论：①BD=CE；②∠BPE=180° 2α；③AP平分∠BPE；④若α=60°，则PE=AP+PD．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，故①符合题意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，
∴，且BD=CE，
∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合题意；
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，且AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD，故④符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=CE；根据全等三角形的性质得出∠ABD=∠ACE，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE=∠ACB+∠ABC= 180°-a；由全等三角形的性质得出S△BAD=S△CAE，结合三角形面积公式可得AH=AF，根据角平分线的判定可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，利用SAS证明△AOE≌△APD，得出AO=AP，证明△△APO是等边三角形，得出AP=PO，可得PE=AP+PD，即可解答.
二、填空题
11．（2021八上·洛阳开学考）一个等腰三角形一边长为3cm，另一边长为7cm，那么这个等腰三角形的周长 cm．
【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；
当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17．
故答案为：17．
【分析】分两种情况讨论，当腰为3时，当腰为7时，先根据三角形三边的关系进行判断，然后求三角形的周长即可.
12．（2021八上·洛阳开学考）边长分别为a和b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中的阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：图中的阴影部分的面积为＝，
故答案为：．
【分析】观察图形，根据“阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-三个直角三角形的面积”，列出代数式并化简即可.
13．（2020八上·江油月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= ．
【答案】96°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°．
故答案为：96°．
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，易证Rt△DEB≌Rt△DFC，得到对应角相等，即可推出∠BDC=∠EDF，根据
∠DEB=∠DFC=90°可得∠EAF+∠EDF=180゜，则不难计算出∠BDC的度数.
14．（2021八上·洛阳开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ．设EC＝EJ＝m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝，
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝22.5°，
∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，
∴∠EJC＝45°，
∵∠EJC＝∠JCB＋∠JBC，
∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，
∴JC＝JB＝，
∴EB＝m＋，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，
∴EH＝EK，
∴，
∴ ．
故答案为：4.
【分析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K，在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ，设EC＝EJ＝m，利用勾股定理求出AB，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求出m2的值，则可计算出△ECB的面积，由角平分线的性质得出EH=EK，再求出△AEB和△ECB的面积比，即可解答.
15．（2021八上·洛阳开学考）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若BPD是直角三角形，则PA＝ ．
【答案】2或4
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，，
，
如图1所示：
由翻折的性质可知：，
，
，
，
∴若BPD是直角三角形，则，
∴，
，
，
解得；
如图2所示：
由翻折的性质可知：，
，
，
，
∴若BPD是直角三角形，则，
∴，
，
，
解得，
综上所述，的长为2或4，
故答案为：2或4．
【分析】分为点D在AC上和点D在AC的延长线上两种情况讨论，根据翻折的性质得出AP=PD，然后证明△PBD为含30°角的直角三角形，最后根据AP+PB=6，列方程求解，即可解答.
三、解答题
16．（2021八上·洛阳开学考）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
（1）求证：△AEC≌△BED．
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
即是．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据条件先求出 ，再利用ASA证明 △AEC≌△BED即可；
（2）由全等三角形的性质得出ED=EC，∠ACE=∠BDE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ECD=∠EDC=70°，然后根据全等三角形的性质即可解答.
17．（2019八上·新昌期中）已知:如图，△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
求证：∠M=∠N.
【答案】证明：在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B=∠C
∵∠1=∠2
∴∠1+∠NAM=∠2+∠NAM
即∠BAN=∠CAM
在△ABN与△ACM
∴△ABN≌△ACM（ASA）
∴∠M=∠N
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先利用SAS判断出 △ABD≌△ACE ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠B=∠C ，然后根据等式的性质，由 ∠1=∠2 得出 ∠BAN=∠CAM ，再根据ASA判断出 △ABN≌△ACM ，最后根据全等三角形的对应角相等得出 ∠M=∠N .
18．（2020八上·泰兴月考）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm.
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长.
【答案】（1）解：∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5，
∴AD+DE+EA＝5，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）解：如图：
∵△OBC的周长为13，
∴OB+OC+BC＝13，
∵BC＝5，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB、EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可.
19．（2021八上·千山期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝ BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝ AC，
∵CE＝ BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）解：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝ ∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝∠CDE＝30°，即可求出∠EFB的度数，由此得出结论；
（2）连接BD，求出DE＝BD，根据含30度角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出结论。
20．（2018八上·洛阳期末）已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C.
（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝ 度；
（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围.
【答案】（1）45
（2）解：∠ACB的大小不变化.
理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝ ∠OAB，∠EBA＝ ∠YBA，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝ ∠YBA﹣ ∠OAB＝ （∠YBA﹣∠OAB），
∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，
∴∠C＝ ×90°＝45°，
即：∠ACB的大小不发生变化.
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，
∴∠ABY＝130°，
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝ ∠OAB＝20°，∠EBA＝ ∠YBA＝65°，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，
故答案为：45
【分析】（1）先利用角平分线得出∠CAB＝ ∠OAB，∠EBA＝ ∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论；（2）先利用角平分线得出∠CAB＝ ∠OAB，∠EBA＝ ∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论.
21．（2021八上·洛阳开学考）如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．
【观察猜想】
①AE与BD的数量关系是 ▲ ；
②∠APD的度数为 ▲ ．
【数学思考】
如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
【拓展应用】
如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为 ▲ ．
【答案】解：【观察猜想】AE＝BD；∠APD＝60°；
【数学思考】结论仍然成立．
理由：设AC交BD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，
∵∠AOP＝∠DOC，
∴∠APO＝∠DCO＝60°，
即∠APD＝60°．
【拓展应用】50
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】【观察猜想】：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．
理由：设AE交CD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，
∵∠AOC＝∠DOP，
∴∠DPO＝∠ACO＝60°，
即∠APD＝60°．
故答案为：AE＝BD，60°；
【拓展应用】解：
设AC交BE于点O．
∵△ADE，△ECB都是等腰直角三角形，
∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，
∴∠AEC＝∠DEB
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，
∵∠BOP＝∠EOC，
∴∠BPO＝∠CEO＝90°，
∴AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝ AC DP+ AC PB＝ AC （DP+PB）＝ AC BD＝50．
故答案为：50．
：【分析】 【观察猜想】设AE交CD于O，用SAS证△ACE≌△DCB ，得出AE=BD，∠CAO=∠ODP，结合∠AOC=∠DOP，根据三角形内角和定理则可推出∠APD=∠ACO=60°；
【数学思考】 结论成立，证明方法与上题类似；
【拓展应用】 设AC交BE于点O，利用SAS证明△AEC≌△DEB，得出AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，再证明AC⊥BD，推出S四边形ABCD＝ AC BD，即可解答．
22．（2017七下·南平期末）问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
【答案】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；归纳证明：证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：解：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBA．在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．
归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；
拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．
23．（2021八上·洛阳开学考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】
如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）【模型应用】
①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内任一点，点B的坐标为（4，1）．若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标为 ▲ ．
【答案】（1）DE；AE
（2）解：①如图2，作于，于，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又∵，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
点是的中点；
②点的坐标为，或，，
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵．
∴，；
故答案为：，；
（2）②如图3，过作轴于，过作轴于，与相交于，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
设，则，
，
，
，，
点的坐标，；
如图4，过作轴于，过作轴于，与相交于，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
设，则，
，
，
，，
又∵此时点A在第四象限，
点的坐标，，
综上所述，点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）①作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，由同角的余角相等得∠B=∠1，用AAS证△ABH≌△DAM，则可得到AH=DM，同理求出AH=EN，则可得到EN=DM，利用AAS证明△DMG≌△ENG，得出DG= EG，即点G是DE的中点；
②分点A在第一象限和第四象限两种情况讨论，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，根据余角的性质得到∠BAC=∠AOD，利用AAS证明，得到AD= BC，OD= AC，设AD=x，则BC=AD=x，再表示出AC的长，根据，建立方程求解，即可解答.
1 / 1河南省洛阳市第二外国语学校2021-2022学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2020八上·科尔沁期末）以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八上·花都期中）如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（ ）
A．AD＝AE B．DB＝AE C．DF＝EF D．DB＝EC
3．（2021八上·嘉祥月考）如图，已知，BD为△ABC 的角平分线，且 BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD、其中正确的有（ )个.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021八上·河东期末）如图， 是 的角平分线， ， ，将 沿 所在直线翻折，点 在 边上的落点记为点 ．那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·洛阳开学考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2021八上·洛阳开学考）如图，，连接.若，，，则的度数为（ ）
A．54° B．63° C．64° D．68°
7．（2021八上·洛阳开学考）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝10，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4，则△PGE的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
8．（2019八上·重庆月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（ ）
A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
9．（2018八上·洛阳期末）如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使点 落在 处的 处，折痕为 .如果 ， ， ，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021八上·洛阳开学考）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．下列结论：①BD=CE；②∠BPE=180° 2α；③AP平分∠BPE；④若α=60°，则PE=AP+PD．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021八上·洛阳开学考）一个等腰三角形一边长为3cm，另一边长为7cm，那么这个等腰三角形的周长 cm．
12．（2021八上·洛阳开学考）边长分别为a和b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中的阴影部分的面积为 ．
13．（2020八上·江油月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= ．
14．（2021八上·洛阳开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为 ．
15．（2021八上·洛阳开学考）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若BPD是直角三角形，则PA＝ ．
三、解答题
16．（2021八上·洛阳开学考）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
（1）求证：△AEC≌△BED．
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
17．（2019八上·新昌期中）已知:如图，△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
求证：∠M=∠N.
18．（2020八上·泰兴月考）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm.
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长.
19．（2021八上·千山期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝ BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
20．（2018八上·洛阳期末）已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C.
（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝ 度；
（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围.
21．（2021八上·洛阳开学考）如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．
【观察猜想】
①AE与BD的数量关系是 ▲ ；
②∠APD的度数为 ▲ ．
【数学思考】
如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
【拓展应用】
如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为 ▲ ．
22．（2017七下·南平期末）问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
23．（2021八上·洛阳开学考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】
如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）【模型应用】
①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内任一点，点B的坐标为（4，1）．若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念：A、C、D都可以沿某一直线折叠后重合，是轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A符合题意；
∴AB-AD=AC-AE，即BD=EC，故D符合题意；
在△BDF和△CEF中
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，故C符合题意；
故答案为：B．
【分析】全等三角形得判定和性质。三角形全等的判定：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.
SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.
ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】 解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），故①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；
③ 由②得：∠BDC=∠BEA，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠BEA，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EC，故③正确；
④ 没有条件得出AD=CD，故④错误；
故答案为：C.
【分析】 根据角平分线的定义得出∠ABD=∠CBD，再利用SAS得出△ABD≌△EBC，即可判断①正确；
根据角平分线的定义和全等三角形的性质得出∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，即可判断②正确；
证出∠ADE=∠BEA，得出AD=AE，得出AD=AE=EC，即可判断③正确；
没有条件证出AD=CD， 即可判断④错误.
4．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．
∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，
∴BD=EC，
∴DE=EC．
∴∠EDC=∠C=20°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．
∴∠B=∠AED=40°
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，然后根据AC=AE+EC，AB+BD=AC，证得DE=EC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4，
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AE长，再根据等边三角形的性质求出AC长，然后根据线段的和差关系求出CE长即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴AB=AE，∠D=∠C=135°，∠ABC=∠AED=15°，
∴∠CAB=180°–135°-15°=30°，
∵∠EAC=24°，
∴∠EAB=54°，
∴2∠BEA=180°–54°=126°，
∴∠BEA=63°.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AE，求出∠C和∠AED的度数，再根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，从而求出∠EAB，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求∠BEA度数即可.
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：点P是的角平分线OC上一点，，PF的最小值为4，
，
，
的面积，
点G是线段OP的中点，
，
故答案为：B．
【分析】根据点到直线的距离和角平分线的性质定理求出PE长，则可求出△OPE的面积，再利用等底同高三角形面积相等求出△PGE的面积.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠ACD＝∠B，由角平分线的定义可得∠CAE＝∠BAF，于是易得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】如图：
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，故①符合题意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，
∴，且BD=CE，
∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合题意；
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，且AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD，故④符合题意．
故答案为：C.
【分析】利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=CE；根据全等三角形的性质得出∠ABD=∠ACE，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE=∠ACB+∠ABC= 180°-a；由全等三角形的性质得出S△BAD=S△CAE，结合三角形面积公式可得AH=AF，根据角平分线的判定可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，利用SAS证明△AOE≌△APD，得出AO=AP，证明△△APO是等边三角形，得出AP=PO，可得PE=AP+PD，即可解答.
11．【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；
当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17．
故答案为：17．
【分析】分两种情况讨论，当腰为3时，当腰为7时，先根据三角形三边的关系进行判断，然后求三角形的周长即可.
12．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：图中的阴影部分的面积为＝，
故答案为：．
【分析】观察图形，根据“阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-三个直角三角形的面积”，列出代数式并化简即可.
13．【答案】96°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°．
故答案为：96°．
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，易证Rt△DEB≌Rt△DFC，得到对应角相等，即可推出∠BDC=∠EDF，根据
∠DEB=∠DFC=90°可得∠EAF+∠EDF=180゜，则不难计算出∠BDC的度数.
14．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ．设EC＝EJ＝m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝，
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝22.5°，
∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，
∴∠EJC＝45°，
∵∠EJC＝∠JCB＋∠JBC，
∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，
∴JC＝JB＝，
∴EB＝m＋，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，
∴EH＝EK，
∴，
∴ ．
故答案为：4.
【分析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K，在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ，设EC＝EJ＝m，利用勾股定理求出AB，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求出m2的值，则可计算出△ECB的面积，由角平分线的性质得出EH=EK，再求出△AEB和△ECB的面积比，即可解答.
15．【答案】2或4
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，，
，
如图1所示：
由翻折的性质可知：，
，
，
，
∴若BPD是直角三角形，则，
∴，
，
，
解得；
如图2所示：
由翻折的性质可知：，
，
，
，
∴若BPD是直角三角形，则，
∴，
，
，
解得，
综上所述，的长为2或4，
故答案为：2或4．
【分析】分为点D在AC上和点D在AC的延长线上两种情况讨论，根据翻折的性质得出AP=PD，然后证明△PBD为含30°角的直角三角形，最后根据AP+PB=6，列方程求解，即可解答.
16．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
即是．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据条件先求出 ，再利用ASA证明 △AEC≌△BED即可；
（2）由全等三角形的性质得出ED=EC，∠ACE=∠BDE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ECD=∠EDC=70°，然后根据全等三角形的性质即可解答.
17．【答案】证明：在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B=∠C
∵∠1=∠2
∴∠1+∠NAM=∠2+∠NAM
即∠BAN=∠CAM
在△ABN与△ACM
∴△ABN≌△ACM（ASA）
∴∠M=∠N
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先利用SAS判断出 △ABD≌△ACE ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠B=∠C ，然后根据等式的性质，由 ∠1=∠2 得出 ∠BAN=∠CAM ，再根据ASA判断出 △ABN≌△ACM ，最后根据全等三角形的对应角相等得出 ∠M=∠N .
18．【答案】（1）解：∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5，
∴AD+DE+EA＝5，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）解：如图：
∵△OBC的周长为13，
∴OB+OC+BC＝13，
∵BC＝5，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB、EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可.
19．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝ AC，
∵CE＝ BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）解：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝ ∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝∠CDE＝30°，即可求出∠EFB的度数，由此得出结论；
（2）连接BD，求出DE＝BD，根据含30度角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出结论。
20．【答案】（1）45
（2）解：∠ACB的大小不变化.
理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝ ∠OAB，∠EBA＝ ∠YBA，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝ ∠YBA﹣ ∠OAB＝ （∠YBA﹣∠OAB），
∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，
∴∠C＝ ×90°＝45°，
即：∠ACB的大小不发生变化.
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，
∴∠ABY＝130°，
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝ ∠OAB＝20°，∠EBA＝ ∠YBA＝65°，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，
故答案为：45
【分析】（1）先利用角平分线得出∠CAB＝ ∠OAB，∠EBA＝ ∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论；（2）先利用角平分线得出∠CAB＝ ∠OAB，∠EBA＝ ∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论.
21．【答案】解：【观察猜想】AE＝BD；∠APD＝60°；
【数学思考】结论仍然成立．
理由：设AC交BD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，
∵∠AOP＝∠DOC，
∴∠APO＝∠DCO＝60°，
即∠APD＝60°．
【拓展应用】50
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】【观察猜想】：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．
理由：设AE交CD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，
∵∠AOC＝∠DOP，
∴∠DPO＝∠ACO＝60°，
即∠APD＝60°．
故答案为：AE＝BD，60°；
【拓展应用】解：
设AC交BE于点O．
∵△ADE，△ECB都是等腰直角三角形，
∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，
∴∠AEC＝∠DEB
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，
∵∠BOP＝∠EOC，
∴∠BPO＝∠CEO＝90°，
∴AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝ AC DP+ AC PB＝ AC （DP+PB）＝ AC BD＝50．
故答案为：50．
：【分析】 【观察猜想】设AE交CD于O，用SAS证△ACE≌△DCB ，得出AE=BD，∠CAO=∠ODP，结合∠AOC=∠DOP，根据三角形内角和定理则可推出∠APD=∠ACO=60°；
【数学思考】 结论成立，证明方法与上题类似；
【拓展应用】 设AC交BE于点O，利用SAS证明△AEC≌△DEB，得出AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，再证明AC⊥BD，推出S四边形ABCD＝ AC BD，即可解答．
22．【答案】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；归纳证明：证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：解：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBA．在△ABD与△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．
归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；
拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．
23．【答案】（1）DE；AE
（2）解：①如图2，作于，于，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又∵，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
点是的中点；
②点的坐标为，或，，
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵．
∴，；
故答案为：，；
（2）②如图3，过作轴于，过作轴于，与相交于，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
设，则，
，
，
，，
点的坐标，；
如图4，过作轴于，过作轴于，与相交于，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
设，则，
，
，
，，
又∵此时点A在第四象限，
点的坐标，，
综上所述，点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）①作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，由同角的余角相等得∠B=∠1，用AAS证△ABH≌△DAM，则可得到AH=DM，同理求出AH=EN，则可得到EN=DM，利用AAS证明△DMG≌△ENG，得出DG= EG，即点G是DE的中点；
②分点A在第一象限和第四象限两种情况讨论，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，根据余角的性质得到∠BAC=∠AOD，利用AAS证明，得到AD= BC，OD= AC，设AD=x，则BC=AD=x，再表示出AC的长，根据，建立方程求解，即可解答.
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