北京市密云区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·密云期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵集合，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用交集的定义运算即得.
2．（2022高二下·密云期末）命题“ ，使得 ”的否定为（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“ ，使得 ”的否定为“ ，都有 ”
故答案为：C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项．
3．（2022高二下·密云期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：对于A：为非奇非偶函数，A不符合题意；
对于B：为偶函数，且在上单调递减，B不符合题意；
对于C：定义域为，故函数为非奇非偶函数，C不符合题意；
对于D：定义域为，且，
故为偶函数，又，所以在上单调递增，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
4．（2022高二下·密云期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．-10 B．10 C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式为，
令，所以的系数为.
故答案为：A.
【分析】求出的展开式为，进而即得.
5．（2022高二下·密云期末）对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图2.由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量与负相关，与正相关 B．变量与负相关，与负相关
C．变量与正相关，与正相关 D．变量与正相关，与负相关
【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】由散点图可知，变量与负相关，变量与正相关，所以，与负相关.
故答案为：B.
【分析】根据散点图直接判断可得出结论.
6．（2022高二下·密云期末）设，，则“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于“且”的充分性考核，可以有两种方法：
第一种方法可以采用函数，由于，可知同号，对于函数而言，在和这两个区间单调递减，由于，则，即.第二种方法单纯使用不等式性质，由于，左右分别先同时除以，再同时除以，由于，则同号，若均大于，则两次除法不变号，可得；若同时大于0，则两次除法变了两次号，最终并没有变化，同样，那么可知条件“且”具有充分性．
对于其必要性的考核，可以找出明显的反例，即但，是明显的反例，故不具备必要性.
故答案为：A.
【分析】利用不等式的基本性质判断即可求解.
7．（2022高二下·密云期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，
，
所以，
所以，解得.
故答案为：D
【分析】根据正态分布的性质可得，即可得到，解得即可.
8．（2022高二下·密云期末）中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽 信道内信号的平均功率 信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至6000，则的增长率为（ ）（，）
A．10% B．16% C．26% D．33%
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴，
∴的增长率约为26%.
故答案为：C
【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得.
9．（2022高二下·密云期末）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】当时，，
， ，故排除ABD.
故答案为：C.
【分析】结合图象，取时验证，利用排除法即得.
10．（2022高二下·密云期末）设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点
【解析】【解答】对于A，当时，，根据草图分析，若函数有两个零点，此时取；
检验当，由，解得或，即当时，函数有两个零点，A不正确；
对于B，当时，，取，由解得，即当时，函数只有一个零点，B不正确；
对于C，当时，函数在上单调递增，函数值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，而恒有成立，
此时函数在R上递增，函数最多一个零点，C不正确；
对于D，当时，由C知，恒有成立，当时，方程有唯一解，
当时，方程有唯一解，则当时，方程有两个解，
因此，当且仅当，函数有两个零点， D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据给定的分段函数，画出草图，分析函数y=b与y=的交点即可判断零点，需注意临界值位置，从而判断A，B；分析函数性质及在两段上的取值集合即可判断C，D即可.
11．（2022高二下·密云期末）若的展开式共有项，则 ；展开式中的常数项是 .
【答案】6；60
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因的展开式共有项，则，解得，
的展开式通项为：，
由得：，所以的展开式是.
故答案为：6；60
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.
12．（2022高二下·密云期末）根据超市统计资料显示，顾客购买产品的概率为，购买产品的概率为，既购买产品又购买产品的概率为，则顾客购买产品的条件下购买产品的概率为 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“顾客购买产品”为事件，记“顾客购买产品”为事件，
则，
∴.
故答案为：.
【分析】利用条件概率公式即可求解.
13．（2022高二下·密云期末）已知函数满足下列条件：①函数在上单调递增；②函数的极小值大于极大值.则的一个取值为 ；此时极大值为 ，极小值为 .
【答案】9(答案不唯一)；-6；6
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】∵函数，
∴，又函数在上单调递增，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∴，
故的一个取值为9，
此时由，可得，
当或时，，当或时，，
∴时，函数有极大值为，
时，函数有极小值为，适合题意.
故答案为：9；-6；6. (答案不唯一)
【分析】由题可得在上恒成立，进而可得，可取a=9，然后利用导数求解即可.
14．（2022高二下·密云期末）某校抽调志愿者下沉社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有 种.
【答案】72
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有种分配方案，
若两名学生分在同一社区，则有种分配方案，
所以两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有种.
故答案为：72.
【分析】利用分组分配的方法及间接法求解即可.
15．（2022高二下·密云期末）已知函数在上有定义，若对，都有，则称在上具有性质.给出下列四个结论：
①在上具有性质；
②在上具有性质；
③若函数在上具有性质且在处取得最大值，则对，都有；
④若函数在上具有性质，对，都有.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】对于①，对，，当且仅当，即时取等号，所以①正确，
对于②，对，则
，
当时，，
当时，，
所以在上不具有性质，所以②错误，
对于③，因为，，
所以，且，且，所以，所以③正确，
对于④，因为函数在上具有性质，
所以对，都有，
，
所以
即，所以④正确，
故答案为：①③④
【分析】根据所给定义逐个分析判断即可.
16．（2022高二下·密云期末）2022年我区正在创建全国文明城市，为了普及创城的相关知识.某校组织全体学生进行了创城知识答题比赛，现对其中20名学生的分数统计如下：
分数段
人数 2 2 7 4 2 3
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至90分以下为良好；90分及以上为优秀.
（1）从这20名学生中随机抽取1名学生，求该生成绩恰好为及格的概率；
（2）从这20名学生中随机抽取2名学生，求恰好这2名学生成绩都是优秀的概率；
（3）从这20名学生80分及以上的人中随机抽取2人，以表示这2人中优秀人数，求的分布列与期望.
【答案】（1）解：由题可知20名学生中成绩为及格有7人，
故从这20名学生中随机抽取1名学生，该生成绩恰好为及格的概率为
（2）解：记恰好2名学生都是优秀的事件为，
则
（3）解：由题可知的取值为，
，
，
，
故X的分布列为：
0 1 2
∴
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即得；
（2）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解；
（3）由题意可知 的取值为， ，然后分别求概率可得分布列，从而可求数学期望.
17．（2022高二下·密云期末）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：∵，
∴，
令，解得：，
所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，
即函数单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：由题可知，
由（1）可知，当时，函数有最小值，
∴，即，
故的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导根据导函数正负得到单调区间；
（2）由题可知，进而可得，即可求得a的取值范围.
18．（2022高二下·密云期末）已知关于的不等式，其中为参数.
（1）从条件① 条件② 条件③中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集；
条件①：；条件②：；条件③：.
（2）若不等式的解集为，求的取值范围.
【答案】（1）解：若选条件①：时，不等式为，即，解得，
所以不等式的解集为；
若选条件②：，不等式为，即，其中，所以不等式无解；
若选条件③：，不等式为，解得或，
所以不等式的解集为
（2）解：当时，不等式为，满足不等式的解集为，故；
当时，要使不等式的解集为，则，解得，
综上得的取值范围为
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）若选条件①：，不等式为，即，求解即可；
若选条件②：，不等式为即，由根判断式可判断其无解；
若选条件③：，不等式为，求解即可.
（2）分和两种情况讨论可求解答案.
19．（2022高二下·密云期末）某食品加工厂为了调查客户对其生产的五种口味产品的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
产品口味
回访客户（单位：人） 100 150 200 300 250
满意率 0.3 0.2 0.5 0.3 0.6
满意率是指某种口味的产品的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意相互独立，且客户对于每种口味产品满意的概率与表格中该口味产品的满意率相等.
（1）从口味产品的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；
（2）从所有客户中各随机抽取1，设其中的满意的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）用“”，“”，“”，“”，“”分别表示口味产品让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示口味产品让客户不满意.写出方差，，，，的大小关系.
【答案】（1）解：由题意知，这个客户满意的概率为，故不满意的概率为
（2）解：由题意，总共抽取2人，故.
设事件为“从口味产品所有客户中随机抽取的人满意”，
事件为“从口味产品所有客户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件.
根据题意，，.
则；
；
的分布列为
0 1 2
0.35 0.5 0.15
的期望
（3）解：由题，口味的平均数为0.3，所以
同理，
，
，
所以．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据口味产品的样本中的回访客户的满意率，结合满意与不满意的概率和为1求解即可；
（2）由题求出满意的人数为的分布列，继而求出期望；
（3）根据公式直接得出结果，然后作比较.
20．（2022高二下·密云期末）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：函数存在极小值；
（3）请直接写出函数的零点个数.
【答案】（1）解：由函数求导得，，则，而，所以曲线在点处的切线方程是
（2）证明：函数的定义域为，由（1）知，，因为，则当时，，，，则有，函数在上递减，当时，，，，则有，函数在上递增，于是得当时，函数取得极小值，所以当时，函数存在极小值
（3）解：当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【解答】（3）函数的定义域为，由，可得，显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，令，则，令，则，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，，即有，在，上都递减，令，，当时，，当时，，在上递增，在上递减，，即，恒有，当且仅当时取“=”，当时，，当时，，因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为，于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即得；
（2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答；
（3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在和上的零点情况即可作答.
21．（2022高二下·密云期末）设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集.
（1）当时，写出集合的积集；
（2）若是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由.
【答案】（1）解：因为，故集合中所有可能的元素有，即，
（2）解：设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以积集B中元素个数的最小值为7.
（3）解：不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其积集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
又，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合中元素的个数问题；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用积集的定义直接求解即可.
（2）设，且，利用积集的定义分析B中元素大小关系，再举例即可求解；
（3）不存在，利用反证法分析集合A中四个元素的乘积推出矛盾即可.
1 / 1北京市密云区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·密云期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·密云期末）命题“ ，使得 ”的否定为（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
3．（2022高二下·密云期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·密云期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．-10 B．10 C．-1 D．1
5．（2022高二下·密云期末）对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图2.由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量与负相关，与正相关 B．变量与负相关，与负相关
C．变量与正相关，与正相关 D．变量与正相关，与负相关
6．（2022高二下·密云期末）设，，则“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高二下·密云期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．-2
8．（2022高二下·密云期末）中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽 信道内信号的平均功率 信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至6000，则的增长率为（ ）（，）
A．10% B．16% C．26% D．33%
9．（2022高二下·密云期末）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·密云期末）设函数，若函数有两个零点，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．（2022高二下·密云期末）若的展开式共有项，则 ；展开式中的常数项是 .
12．（2022高二下·密云期末）根据超市统计资料显示，顾客购买产品的概率为，购买产品的概率为，既购买产品又购买产品的概率为，则顾客购买产品的条件下购买产品的概率为 .
13．（2022高二下·密云期末）已知函数满足下列条件：①函数在上单调递增；②函数的极小值大于极大值.则的一个取值为 ；此时极大值为 ，极小值为 .
14．（2022高二下·密云期末）某校抽调志愿者下沉社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有 种.
15．（2022高二下·密云期末）已知函数在上有定义，若对，都有，则称在上具有性质.给出下列四个结论：
①在上具有性质；
②在上具有性质；
③若函数在上具有性质且在处取得最大值，则对，都有；
④若函数在上具有性质，对，都有.
其中所有正确结论的序号是 .
16．（2022高二下·密云期末）2022年我区正在创建全国文明城市，为了普及创城的相关知识.某校组织全体学生进行了创城知识答题比赛，现对其中20名学生的分数统计如下：
分数段
人数 2 2 7 4 2 3
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至90分以下为良好；90分及以上为优秀.
（1）从这20名学生中随机抽取1名学生，求该生成绩恰好为及格的概率；
（2）从这20名学生中随机抽取2名学生，求恰好这2名学生成绩都是优秀的概率；
（3）从这20名学生80分及以上的人中随机抽取2人，以表示这2人中优秀人数，求的分布列与期望.
17．（2022高二下·密云期末）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18．（2022高二下·密云期末）已知关于的不等式，其中为参数.
（1）从条件① 条件② 条件③中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集；
条件①：；条件②：；条件③：.
（2）若不等式的解集为，求的取值范围.
19．（2022高二下·密云期末）某食品加工厂为了调查客户对其生产的五种口味产品的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
产品口味
回访客户（单位：人） 100 150 200 300 250
满意率 0.3 0.2 0.5 0.3 0.6
满意率是指某种口味的产品的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意相互独立，且客户对于每种口味产品满意的概率与表格中该口味产品的满意率相等.
（1）从口味产品的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；
（2）从所有客户中各随机抽取1，设其中的满意的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）用“”，“”，“”，“”，“”分别表示口味产品让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示口味产品让客户不满意.写出方差，，，，的大小关系.
20．（2022高二下·密云期末）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：函数存在极小值；
（3）请直接写出函数的零点个数.
21．（2022高二下·密云期末）设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集.
（1）当时，写出集合的积集；
（2）若是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵集合，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用交集的定义运算即得.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“ ，使得 ”的否定为“ ，都有 ”
故答案为：C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项．
3．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：对于A：为非奇非偶函数，A不符合题意；
对于B：为偶函数，且在上单调递减，B不符合题意；
对于C：定义域为，故函数为非奇非偶函数，C不符合题意；
对于D：定义域为，且，
故为偶函数，又，所以在上单调递增，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
4．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式为，
令，所以的系数为.
故答案为：A.
【分析】求出的展开式为，进而即得.
5．【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】由散点图可知，变量与负相关，变量与正相关，所以，与负相关.
故答案为：B.
【分析】根据散点图直接判断可得出结论.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于“且”的充分性考核，可以有两种方法：
第一种方法可以采用函数，由于，可知同号，对于函数而言，在和这两个区间单调递减，由于，则，即.第二种方法单纯使用不等式性质，由于，左右分别先同时除以，再同时除以，由于，则同号，若均大于，则两次除法不变号，可得；若同时大于0，则两次除法变了两次号，最终并没有变化，同样，那么可知条件“且”具有充分性．
对于其必要性的考核，可以找出明显的反例，即但，是明显的反例，故不具备必要性.
故答案为：A.
【分析】利用不等式的基本性质判断即可求解.
7．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，
，
所以，
所以，解得.
故答案为：D
【分析】根据正态分布的性质可得，即可得到，解得即可.
8．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴，
∴的增长率约为26%.
故答案为：C
【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得.
9．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】当时，，
， ，故排除ABD.
故答案为：C.
【分析】结合图象，取时验证，利用排除法即得.
10．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点
【解析】【解答】对于A，当时，，根据草图分析，若函数有两个零点，此时取；
检验当，由，解得或，即当时，函数有两个零点，A不正确；
对于B，当时，，取，由解得，即当时，函数只有一个零点，B不正确；
对于C，当时，函数在上单调递增，函数值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，而恒有成立，
此时函数在R上递增，函数最多一个零点，C不正确；
对于D，当时，由C知，恒有成立，当时，方程有唯一解，
当时，方程有唯一解，则当时，方程有两个解，
因此，当且仅当，函数有两个零点， D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据给定的分段函数，画出草图，分析函数y=b与y=的交点即可判断零点，需注意临界值位置，从而判断A，B；分析函数性质及在两段上的取值集合即可判断C，D即可.
11．【答案】6；60
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因的展开式共有项，则，解得，
的展开式通项为：，
由得：，所以的展开式是.
故答案为：6；60
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.
12．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“顾客购买产品”为事件，记“顾客购买产品”为事件，
则，
∴.
故答案为：.
【分析】利用条件概率公式即可求解.
13．【答案】9(答案不唯一)；-6；6
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】∵函数，
∴，又函数在上单调递增，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∴，
故的一个取值为9，
此时由，可得，
当或时，，当或时，，
∴时，函数有极大值为，
时，函数有极小值为，适合题意.
故答案为：9；-6；6. (答案不唯一)
【分析】由题可得在上恒成立，进而可得，可取a=9，然后利用导数求解即可.
14．【答案】72
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有种分配方案，
若两名学生分在同一社区，则有种分配方案，
所以两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有种.
故答案为：72.
【分析】利用分组分配的方法及间接法求解即可.
15．【答案】①③④
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】对于①，对，，当且仅当，即时取等号，所以①正确，
对于②，对，则
，
当时，，
当时，，
所以在上不具有性质，所以②错误，
对于③，因为，，
所以，且，且，所以，所以③正确，
对于④，因为函数在上具有性质，
所以对，都有，
，
所以
即，所以④正确，
故答案为：①③④
【分析】根据所给定义逐个分析判断即可.
16．【答案】（1）解：由题可知20名学生中成绩为及格有7人，
故从这20名学生中随机抽取1名学生，该生成绩恰好为及格的概率为
（2）解：记恰好2名学生都是优秀的事件为，
则
（3）解：由题可知的取值为，
，
，
，
故X的分布列为：
0 1 2
∴
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即得；
（2）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解；
（3）由题意可知 的取值为， ，然后分别求概率可得分布列，从而可求数学期望.
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
令，解得：，
所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，
即函数单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：由题可知，
由（1）可知，当时，函数有最小值，
∴，即，
故的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导根据导函数正负得到单调区间；
（2）由题可知，进而可得，即可求得a的取值范围.
18．【答案】（1）解：若选条件①：时，不等式为，即，解得，
所以不等式的解集为；
若选条件②：，不等式为，即，其中，所以不等式无解；
若选条件③：，不等式为，解得或，
所以不等式的解集为
（2）解：当时，不等式为，满足不等式的解集为，故；
当时，要使不等式的解集为，则，解得，
综上得的取值范围为
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）若选条件①：，不等式为，即，求解即可；
若选条件②：，不等式为即，由根判断式可判断其无解；
若选条件③：，不等式为，求解即可.
（2）分和两种情况讨论可求解答案.
19．【答案】（1）解：由题意知，这个客户满意的概率为，故不满意的概率为
（2）解：由题意，总共抽取2人，故.
设事件为“从口味产品所有客户中随机抽取的人满意”，
事件为“从口味产品所有客户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件.
根据题意，，.
则；
；
的分布列为
0 1 2
0.35 0.5 0.15
的期望
（3）解：由题，口味的平均数为0.3，所以
同理，
，
，
所以．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据口味产品的样本中的回访客户的满意率，结合满意与不满意的概率和为1求解即可；
（2）由题求出满意的人数为的分布列，继而求出期望；
（3）根据公式直接得出结果，然后作比较.
20．【答案】（1）解：由函数求导得，，则，而，所以曲线在点处的切线方程是
（2）证明：函数的定义域为，由（1）知，，因为，则当时，，，，则有，函数在上递减，当时，，，，则有，函数在上递增，于是得当时，函数取得极小值，所以当时，函数存在极小值
（3）解：当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【解答】（3）函数的定义域为，由，可得，显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，令，则，令，则，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，，即有，在，上都递减，令，，当时，，当时，，在上递增，在上递减，，即，恒有，当且仅当时取“=”，当时，，当时，，因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为，于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即得；
（2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答；
（3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在和上的零点情况即可作答.
21．【答案】（1）解：因为，故集合中所有可能的元素有，即，
（2）解：设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以积集B中元素个数的最小值为7.
（3）解：不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其积集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
又，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合中元素的个数问题；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用积集的定义直接求解即可.
（2）设，且，利用积集的定义分析B中元素大小关系，再举例即可求解；
（3）不存在，利用反证法分析集合A中四个元素的乘积推出矛盾即可.
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