北师大版九年级数学上册 4.4探索三角形相似的条件同步练习题 (含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别，，，则△ABC与△DEF（　　）
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判定是否相似
2．如图，在下列四个三角形中，与△ABC相似的是（　　）
A．B．C．D．
3．如图，D，E是△ABC边上的两个点，请你再添加一个条件，使得△ABC∽△AED，则下列选项不成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．∠C＝∠ADE D．∠B＝∠AED
4．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　）
A．△BFE B．△BDA C．△BDC D．△AFD
5．已知等边△ABC，点D、点E分别是边BC，AC上的动点，BD＝CE，则图中相似的三角形的对数是（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝8，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（　　）
A．或 B．10或
C．或10 D．以上答案都不对
7．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
二．填空题
8．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　 　，使△ADE∽△ABC．
9．如图，点P为△ABC的边AB上的一点，添加 　 　，可以使△ABC与△APC相似．
10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AQ＝　 　；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间t＝　 　．
11．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当△APB和△CPD相似时，PD＝　 　cm．
三．解答题
12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．
13．已知：CD是△ABC的角平分线，以B为圆心，BD为半径画弧交CD于E．
求证：△ACD∽△BCE．
14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD DE＝BE CD．求证：△BCD∽△BDE．
15．如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4．求证：△ACD∽△ABC．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
17．如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
18．已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．
求证：△ABC∽△ADE．
19．如图，在矩形ABCD中，BD＝6，CD＝3，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE交AD于点F．求证：△ABF∽△EBD．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°，求证：△ABD∽△DCE．
21．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AB于F，连接AE．求证：△BAE∽△ACE．
参考答案
一．选择题
1．解：因为＝＝＝，
所以△ABC与△DEF一定相似．
故选：A．
2．解：设网格的边长是1，
则AB＝＝，
BC＝＝2，
AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：2：，
A、三边之比是，2：4：2＝1：2：，故本选项符合题意；
B、三边之比是，：：3≠1：2：，故本选项不符合题意；
C、三边之比是，：：4≠1：2：，故本选项不符合题意；
D、三边之比是，：3：2≠1：2：，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．解：A．∵，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故A选项不符合题意；
B．由，∠A＝∠A不能判定△ABC∽△AED，故B选项符合题意；
C．∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故C选项不符合题意；
D．∵∠B＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
故D选项不符合题意．
故选：B．
4．解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：B．
5．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴△ABD∽△BCE且∠DBF＝∠BAD，∠BDF＝∠BEC，
又∵∠BDF＝∠ADB，∠DBF＝∠EBC，
∴△BDF∽△ADB，△BDF∽△BEC；
∵∠BAD＝∠CBE，∠BAC＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CAD，
又∵AB＝CA，∠BAE＝∠C，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴△ABE∽△CAD且∠AEF＝∠ADC，
又∵∠EAF＝∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∵∠EAF＝∠ABE，∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．
故选：D．
6．解：∵△ABC与△ADE相似，
∴＝或＝，
∵AD＝8，AB＝12，AC＝15，
∴＝或＝，
解得：AE＝10或6.4．
故选：C．
7．解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
二．填空题
8．解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．
9．解：∵∠A＝∠A，
∴添加∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或＝，可以使得△ABC与△APC相似．
故答案为：∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或＝．
10．解：（1）因为AC＝16cm，CQ＝3tcm，
所以AQ＝AC﹣CQ＝（16﹣3t）cm．
故答案是：（16﹣3t）cm；
（2）∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以2cm/s的速度向A运动．
∴AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝16﹣3t，
∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∴＝或＝，
∴或＝．
∴t＝4或．
故答案为：4或．
11．解：设BP＝xcm，则DP＝（14﹣x）cm，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当＝或＝时，△APB和△CPD相似，
∴＝或＝，
解得：x＝2或12或，
即BP＝2或12或，
∴PD＝12或2或cm，
故答案为：12或2或．
三．解答题
12．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
13．证明：∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠BDE+∠ADC＝180°，∠BED+∠CEB＝180°，
∴∠ADC＝∠CEB，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
14．证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝∠BED＝90°，
∵BD DE＝BE CD，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
15．解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝8，
∴，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
16．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴，
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
17．解：相似．
理由如下：
∵AB＝＝，BC＝5，AC＝＝，DE＝1，EF＝＝，DF＝，
∴＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
18．证明：设BD与CE交于点O，
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BEC＝∠BDC，
∵∠BOE＝∠COD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
19．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°．
∵BD＝6，CD＝3，
∴CD＝BD，
∴∠CBD＝30°，
由折叠可知：∠EBD＝∠CBD＝30°，∠E＝∠C＝90°，
∴∠ABF＝30°，
∴∠ABF＝∠EBD，
又∵∠A＝∠E，
∴△ABF∽△EBD．
20．证明：∵AB＝AC，且∠BAC＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB，
∴△ABD∽△DCE．
21．证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠ADE﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠B，
∴△BAE∽△ACE．