人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习题 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 216.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-21 17:13:12 | ||
图片预览
文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
3．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线，嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
4．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
6．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．下列作图语句正确的是（ ）
A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线AB
C．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
11．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
二．填空题
13．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝8，则PQ的最小值为 ．
14．如图，AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是 ．
15．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 ．
16．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD＝2，△ABC的面积是 ．
三．解答题
17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．
18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．
20．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
2．解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．
3．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确．
淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，
故选：C．
4．解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
5．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
6．解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1，
故选：C．
7．解：当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵DE⊥OA，OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF的最小值是4，故选：C．
8．解：A．连接AD，不能同时使平分∠BAC，此作图错误；
B．只能反向延长射线AB，此作图错误；
C．作∠AOB的平分线OC，此作图正确；
D．过点A作AB∥CD或AB∥EF，此作图错误；故选：C．
9．解：∵BC＝7，BD＝4，
∴CD＝7﹣4＝3，
由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，故选：B．
10．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7+×4×AC＝24，
∴AC＝5，故选：D．
11．解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2＝，S3＝，
由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC，
∴S1+S2＞S3，故选：C．
12．解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．解：过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝8，
∴PE＝PA＝8，
即PQ的最小值是8，
故答案为：8．
14．解：∵AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F
∴DE＝DF
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴△AED≌△AFD（HL）
∴AE＝AF
又AD是△ABC是角平分线
∴AD垂直平分EF（三线合一）
故答案为：AD垂直平分EF．
15．解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF＝OH＝OE＝3，
∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27，
故答案为：27．
16．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×2×（AB+AC+BC）
＝×2×16＝16，
故答案为：16．
三．解答题
17．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
S△ABC＝×16 DE+×12 DF＝70，
所以，14DE＝70，
解得DE＝5．
18．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵AD＝AD，
Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
19．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．
20．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB DE+BC DF＝DE （AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
一．选择题
1．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法确定
3．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线，嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
4．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
6．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．下列作图语句正确的是（ ）
A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线AB
C．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
11．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
二．填空题
13．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝8，则PQ的最小值为 ．
14．如图，AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是 ．
15．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 ．
16．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD＝2，△ABC的面积是 ．
三．解答题
17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．
18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．
20．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
2．解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．
3．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确．
淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，
故选：C．
4．解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
5．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
6．解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1，
故选：C．
7．解：当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵DE⊥OA，OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF的最小值是4，故选：C．
8．解：A．连接AD，不能同时使平分∠BAC，此作图错误；
B．只能反向延长射线AB，此作图错误；
C．作∠AOB的平分线OC，此作图正确；
D．过点A作AB∥CD或AB∥EF，此作图错误；故选：C．
9．解：∵BC＝7，BD＝4，
∴CD＝7﹣4＝3，
由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，故选：B．
10．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7+×4×AC＝24，
∴AC＝5，故选：D．
11．解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2＝，S3＝，
由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC，
∴S1+S2＞S3，故选：C．
12．解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．解：过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝8，
∴PE＝PA＝8，
即PQ的最小值是8，
故答案为：8．
14．解：∵AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F
∴DE＝DF
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴△AED≌△AFD（HL）
∴AE＝AF
又AD是△ABC是角平分线
∴AD垂直平分EF（三线合一）
故答案为：AD垂直平分EF．
15．解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF＝OH＝OE＝3，
∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27，
故答案为：27．
16．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×2×（AB+AC+BC）
＝×2×16＝16，
故答案为：16．
三．解答题
17．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
S△ABC＝×16 DE+×12 DF＝70，
所以，14DE＝70，
解得DE＝5．
18．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵AD＝AD，
Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
19．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．
20．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB DE+BC DF＝DE （AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．