冀教版九年级数学上册 24.3一元二次方程根与系数的关系同步测试题 (含答案）

2022-2023学年冀教版九年级数学上册《24.3一元二次方程根与系数的关系》
同步测试题（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
3．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
二．填空题（共8小题，满分40分）
7．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　．
8．已知x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
9．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 　 　．
10．设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 　 　．
11．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝　 　．
12．已知a，b是方程x2﹣x﹣4＝0的两个实数根，则a2﹣2a﹣b+2020＝　 　．
13．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　 　．
14．已知方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分50分）
15．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，且，求．
18．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1 x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，斜边c＝2，两直角边的长a，b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4＝0的两根，求m的值．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
2．解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：A．
3．解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（x12﹣2022）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
4．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
5．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
6．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
7．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
8．解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故答案为：m＜3．
9．解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，
则a+b＝4，ab＝3，
则原式＝＝，
故答案为：．
10．解：由题意可知：x1+x2＝﹣6，x1x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝（﹣6）2﹣4×4
＝36﹣16
＝20，
故答案为：20．
11．解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，
∵x12+x22＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝，
∴4m2﹣m＝，
∴m1＝﹣，m2＝，
∵Δ＝16m2﹣8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m＝不合题意，
故答案为：﹣．
12．解：根据题意得a+b＝1．ab＝﹣4，
把x＝a代入x2﹣x﹣4＝0，得a2﹣a＝4，
∴a2﹣2a﹣b+2020
＝a2﹣a﹣a﹣b+2020
＝4﹣1+2020
＝2023．
13．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
14．解：∵方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x2＝1，﹣2022x1+1＝0，
∴﹣2022x1＝﹣1，
∴
＝
＝
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共7小题，满分50分）
15．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
16．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1 （﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
17．（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2+mx+m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（﹣m）2﹣2（m﹣1）＝10，
解得m1＝4，m2＝﹣2，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，
当m＝4时，（x1﹣x2）2＝（4﹣2）2＝4，
当m＝﹣2时，（x1﹣x2）2＝（﹣2﹣2）2＝16，
综上所述，（x1﹣x2）2的值为4或16．
18．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当方程的一根为6时，将x＝6代入原方程，得：36﹣6（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝7，
∴原方程为x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
∵2、6、6能组成三角形，2、2、6不能构成三角形，
若6是底边，则x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0有两个相等的实数根，
由（1）可知m＝3，
∴三角形的三边为2，2，6．
∵2、2、6不能构成三角形，
∴该三角形的周长为2+6+6＝14．
19．（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）
＝k2+2k+1﹣8k+12
＝k2﹣6k+13
＝（k﹣3）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解为3，
∴9﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，
解得：k＝3，
当AB＝3为底时，则AC，BC为腰，
方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，
由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；
综上所述，k＝3．
20．解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0，
∴k≤．
∴当k≤时，原方程有两个实数根．
（2）假设存在实数k使得≥0成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴．
由≥0，
得≥0．
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有当k＝1时，上式才能成立．
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得≥0成立．
21．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
则无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵两直角边的长a，b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4＝0的两根，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣4，
∵c＝2，
∴根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝20，
∴m2﹣2（2m﹣4）＝20，即m2﹣4m﹣12＝0，
解得：m＝﹣2（舍去）或m＝6，
则m的值为6．